Graficando y > x - 2

Grafica la desigualdad $y > x - 2$ en un plano de coordenadas.

Identifica la recta frontera: Trátala como $y = x - 2$. Pendiente $m = 1$, intersección con el eje y $b = -2$ = Frontera: $y = x - 2$

Determina el estilo de la recta: Como el símbolo es $>$ (no $\geq$), los puntos EN la recta NO están incluidos = Usa una línea DISCONTINUA

Dibuja la recta frontera: Marca la intersección en el eje y $(0, -2)$, usa la pendiente para encontrar $(1, -1)$, $(2, 0)$ = Línea discontinua a través de estos puntos

Elige un punto de prueba: Usa $(0, 0)$ ya que es fácil de calcular y no está en la recta = Punto de prueba: $(0, 0)$

Sustituye en la desigualdad: $0 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2$ ¡VERDADERO! = $(0, 0)$ es una solución

Sombrea la región correcta: Como $(0, 0)$ funciona, sombrea el lado que contiene $(0, 0)$ = Sombrea POR ENCIMA de la recta

Answer: Línea discontinua a través de $(0, -2)$ con pendiente 1, sombreada por encima de la recta.

Graficando 2x + y ≤ 4

Grafica la desigualdad $2x + y \leq 4$ en un plano de coordenadas.

Reescribe en forma pendiente-intersección: $y \leq -2x + 4$ = Pendiente $m = -2$, intersección $b = 4$

Determina el estilo de la recta: Como el símbolo es $\leq$, los puntos EN la recta SÍ están incluidos = Usa una línea CONTINUA

Dibuja la recta frontera: Marca $(0, 4)$, usa pendiente $-2$ para encontrar $(1, 2)$, $(2, 0)$ = Línea continua a través de estos puntos

Prueba el punto $(0, 0)$: $2(0) + 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4$ ¡VERDADERO! = $(0, 0)$ es una solución

Sombrea la región correcta: Como $(0, 0)$ funciona, sombrea el lado que contiene el origen = Sombrea POR DEBAJO de la recta

Answer: Línea continua a través de $(0, 4)$ y $(2, 0)$, sombreada por debajo (incluyendo la recta).

Graficando y < -½x + 3

Grafica la desigualdad $y < -\frac{1}{2}x + 3$.

Identifica pendiente e intersección: Pendiente $m = -\frac{1}{2}$, intersección $b = 3$ = Frontera: $y = -\frac{1}{2}x + 3$

Determina el estilo de la recta: El símbolo es $<$ (desigualdad estricta), así que los puntos en la recta NO son soluciones = Usa una línea DISCONTINUA

Dibuja la recta frontera: Comienza en $(0, 3)$. Ve 2 a la derecha, 1 abajo para obtener $(2, 2)$. Continúa a $(4, 1)$ = Línea discontinua dibujada

Prueba el punto $(0, 0)$: $0 < -\frac{1}{2}(0) + 3 \Rightarrow 0 < 3$ ¡VERDADERO! = $(0, 0)$ satisface la desigualdad

Sombrea la región solución: Sombrea el lado que contiene $(0, 0)$ = Sombrea POR DEBAJO de la recta

Answer: Línea discontinua con intersección 3 y pendiente $-\frac{1}{2}$, sombreada por debajo.

Cuando el punto de prueba está en la recta

Grafica $y \geq 2x$ en un plano de coordenadas.

Identifica la recta frontera: $y = 2x$ pasa por el origen con pendiente 2 = La frontera pasa por $(0, 0)$

Determina el estilo de la recta: El símbolo es $\geq$, así que usa una línea continua = Línea CONTINUA

Elige un punto de prueba diferente: $(0, 0)$ está EN la recta, así que usa $(1, 0)$ en su lugar = Prueba: $(1, 0)$

Prueba el punto: $0 \geq 2(1) \Rightarrow 0 \geq 2$ ¡FALSO! = $(1, 0)$ NO es una solución

Sombrea el lado opuesto: Como $(1, 0)$ falló, sombrea el OTRO lado (por encima de la recta) = Sombrea POR ENCIMA de la recta

Answer: Línea continua a través del origen con pendiente 2, sombreada por encima de la recta.

Mistake: Usar el estilo de línea incorrecto (continua vs. discontinua)

Why: Los estudiantes olvidan que $<$ y $>$ requieren una línea discontinua porque los puntos EN la recta no son soluciones.

Correct: Línea continua para $\leq$ y $\geq$ (recta incluida). Línea discontinua para $<$ y $>$ (recta excluida).

Mistake: Sombrear la región equivocada

Why: Los estudiantes sombrean arriba para 'mayor que' sin probar, pero la desigualdad podría estar en forma estándar.

Correct: ¡SIEMPRE prueba un punto! Sustituye un punto simple como $(0, 0)$ para verificar qué lado sombrear.

Mistake: Olvidar invertir la desigualdad al multiplicar por negativo

Why: Al reorganizar a forma pendiente-intersección, dividir por un número negativo invierte la desigualdad.

Correct: Si multiplicas o divides por un número negativo, invierte el símbolo de desigualdad: $-2y > 6$ se convierte en $y < -3$.

Mistake: Probar un punto que está en la recta frontera

Why: Los puntos en la recta no ayudan a determinar qué lado sombrear.

Correct: Elige un punto de prueba claramente NO en la recta. El origen $(0, 0)$ es ideal a menos que la recta pase por él.

Restricciones de presupuesto

Al planificar gastos, a menudo tienes una cantidad máxima que puedes gastar.

Si las entradas de concierto cuestan 75 dólares y la comida cuesta 25 dólares por persona, y tienes 300 dólares en total, entonces $75e + 25c \leq 300$ donde $e$ = entradas, $c$ = compras de comida.

Límites de producción

Las fábricas tienen restricciones de capacidad de producción y recursos.

Una fábrica puede producir como máximo 500 artículos por día. Si hacen sillas y mesas, y las mesas toman el doble de tiempo, entonces $s + 2m \leq 500$.

Q: ¿Cómo sé qué lado sombrear?

A: Elige un punto de prueba que no esté en la recta ($(0,0)$ es el más fácil). Sustituye en la desigualdad original. Si es VERDADERO, sombrea ese lado. Si es FALSO, sombrea el lado opuesto.

Q: ¿Por qué la línea a veces es discontinua?

A: Una línea discontinua significa que los puntos EN la recta NO son soluciones. Esto ocurre con desigualdades estrictas ($<$ o $>$). Las líneas continuas ($\leq$ o $\geq$) incluyen los puntos en la recta.

Q: ¿Qué pasa si el origen está en la recta frontera?

A: Elige un punto de prueba diferente como $(1, 0)$ o $(0, 1)$. Cualquier punto claramente no en la recta funciona.