Graficando desigualdades lineales

Aprende a graficar desigualdades en un plano de coordenadas usando rectas frontera y sombreado.

Avanzado25 minLección
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Definición

Una desigualdad lineal es como una ecuación lineal, pero en lugar de un signo igual, usa un símbolo de desigualdad: <<, >>, ≤\leq o ≥\geq.
y<2x+3y≥−x+1y < 2x + 3 \quad\quad y \geq -x + 1
Para graficar una desigualdad lineal:
  1. 1.Dibuja la recta frontera (trata la desigualdad como una ecuación)
  2. 2.Determina el estilo de la recta: línea continua para ≤\leq o ≥\geq, línea discontinua para << o >>
  3. 3.Sombrea la región correcta: prueba un punto para ver qué lado satisface la desigualdad
El conjunto solución son todos los puntos en la región sombreada que hacen verdadera la desigualdad.

Pruébalo ahora

¿Qué tipo de línea usas para y>2x+1y > 2x + 1?

Ejemplos resueltos

Grafica la desigualdad y>x−2y > x - 2 en un plano de coordenadas.
1

Identifica la recta frontera

Trátala como y=x−2y = x - 2. Pendiente m=1m = 1, intersección con el eje y b=−2b = -2 → Frontera: y=x−2y = x - 2
2

Determina el estilo de la recta

Como el símbolo es >> (no ≥\geq), los puntos EN la recta NO están incluidos → Usa una línea DISCONTINUA
3

Dibuja la recta frontera

Marca la intersección en el eje y (0,−2)(0, -2), usa la pendiente para encontrar (1,−1)(1, -1), (2,0)(2, 0) → Línea discontinua a través de estos puntos
4

Elige un punto de prueba

Usa (0,0)(0, 0) ya que es fácil de calcular y no está en la recta → Punto de prueba: (0,0)(0, 0)
5

Sustituye en la desigualdad

0>0−2⇒0>−20 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2 ¡VERDADERO! → (0,0)(0, 0) es una solución
6

Sombrea la región correcta

Como (0,0)(0, 0) funciona, sombrea el lado que contiene (0,0)(0, 0) → Sombrea POR ENCIMA de la recta

Errores comunes

Usar el estilo de línea incorrecto (continua vs. discontinua)

Por qué está mal: Los estudiantes olvidan que << y >> requieren una línea discontinua porque los puntos EN la recta no son soluciones.

Correcto: Línea continua para ≤\leq y ≥\geq (recta incluida). Línea discontinua para << y >> (recta excluida).

Sombrear la región equivocada

Por qué está mal: Los estudiantes sombrean arriba para 'mayor que' sin probar, pero la desigualdad podría estar en forma estándar.

Correcto: ¡SIEMPRE prueba un punto! Sustituye un punto simple como (0,0)(0, 0) para verificar qué lado sombrear.

Olvidar invertir la desigualdad al multiplicar por negativo

Por qué está mal: Al reorganizar a forma pendiente-intersección, dividir por un número negativo invierte la desigualdad.

Correcto: Si multiplicas o divides por un número negativo, invierte el símbolo de desigualdad: −2y>6-2y > 6 se convierte en y<−3y < -3.

Probar un punto que está en la recta frontera

Por qué está mal: Los puntos en la recta no ayudan a determinar qué lado sombrear.

Correcto: Elige un punto de prueba claramente NO en la recta. El origen (0,0)(0, 0) es ideal a menos que la recta pase por él.

Visual interactivo

Gráfica de la función

Elige el signo de la desigualdad:

y > m · x + b
-6-4-20246-6-4-20246xy(0; 0)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = mx + bRegión soluciónBorde no incluido (< o >)

Gráfica de la función

-6-4-20246-505xy(0; 0)
Región soluciónBorde incluido (≤ o ≥)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

x - 2

m=1, b=-2

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
¿Qué tipo de línea usas para y>2x+1y > 2x + 1?

Por qué es importante

Las desigualdades lineales describen restricciones y límites del mundo real:
  • Presupuesto: Puedes gastar *como máximo* 200 dólares en comestibles (x+y≤200x + y \leq 200)
  • Límites de velocidad: Debes conducir a *menos de* 120 km/h (v<120v < 120)
  • Manufactura: Una fábrica produce *al menos* 100 unidades diarias (p≥100p \geq 100)
  • Nutrición: Consume *no más de* 2000 calorías (c≤2000c \leq 2000)
¡Entender cómo graficar estas desigualdades ayuda a visualizar todas las soluciones posibles!

Aplicaciones del mundo real

Restricciones de presupuesto

Al planificar gastos, a menudo tienes una cantidad máxima que puedes gastar.

Ejemplo:

Si las entradas de concierto cuestan 75 dólares y la comida cuesta 25 dólares por persona, y tienes 300 dólares en total, entonces 75e+25c≤30075e + 25c \leq 300 donde ee = entradas, cc = compras de comida.

1Inténtalo tú mismo

Tienes 100 dólares para gastar en libros (15 dólares cada uno) y revistas (5 dólares cada una).

Escribe y grafica la desigualdad, luego determina si comprar 4 libros y 6 revistas es posible.

Paso 1: Elige la respuesta correcta

¿Qué desigualdad describe el presupuesto?

Límites de producción

Las fábricas tienen restricciones de capacidad de producción y recursos.

Ejemplo:

Una fábrica puede producir como máximo 500 artículos por día. Si hacen sillas y mesas, y las mesas toman el doble de tiempo, entonces s+2m≤500s + 2m \leq 500.

2Inténtalo tú mismo

Una panadería hace como máximo 200 artículos diarios. Los pasteles toman 2 unidades de tiempo; las galletas toman 1 unidad.

¿Pueden hacer 50 pasteles y 80 galletas?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

¿Qué desigualdad describe el límite de 200 unidades de tiempo?

Puntos clave

  • 1Las desigualdades lineales usan <<, >>, ≤\leq o ≥\geq en lugar de un signo igual
  • 2La recta frontera se dibuja tratando la desigualdad como una ecuación
  • 3Usa línea continua para ≤\leq o ≥\geq (recta incluida) y discontinua para << o >> (recta excluida)
  • 4Prueba un punto que no esté en la recta para determinar qué lado sombrear
  • 5El conjunto solución son todos los puntos en la región sombreada

Preguntas frecuentes

Elige un punto de prueba que no esté en la recta ((0,0)(0,0) es el más fácil). Sustituye en la desigualdad original. Si es VERDADERO, sombrea ese lado. Si es FALSO, sombrea el lado opuesto.
Elige un punto de prueba que no esté en la recta ((0,0)(0,0) es el más fácil). Sustituye en la desigualdad original. Si es VERDADERO, sombrea ese lado. Si es FALSO, sombrea el lado opuesto.
Una línea discontinua significa que los puntos EN la recta NO son soluciones. Esto ocurre con desigualdades estrictas (<< o >>). Las líneas continuas (≤\leq o ≥\geq) incluyen los puntos en la recta.
Elige un punto de prueba diferente como (1,0)(1, 0) o (0,1)(0, 1). Cualquier punto claramente no en la recta funciona.

Glosario

Desigualdad lineal
Una desigualdad que involucra expresiones lineales, usando <<, >>, ≤\leq o ≥\geq
Recta frontera
La recta que obtienes cuando reemplazas el símbolo de desigualdad con un signo igual
Conjunto solución
Todos los pares ordenados (x,y)(x, y) que hacen verdadera la desigualdad
Punto de prueba
Un punto usado para determinar qué lado de la recta frontera sombrear
Semiplano
La región del plano de coordenadas en un lado de una recta
Reto de hoyUn problema, tres intentos