Álgebra de Boole

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué ley dice que $A \land \neg A = 0$ ?
1. a)Ley del complemento
2. b)Ley de idempotencia
3. c)Ley de absorción
4. d)Ley de identidad
Respuesta: Ley del complemento
La ley del complemento: una variable Y su propia negación siempre vale 0, porque $A$ y $\neg A$ nunca son verdaderas a la vez. Su forma O es $A \lor \neg A = 1$ .
2.
¿Cuánto vale $A \lor 1$ , sea cual sea el valor de $A$ ? Escribe 1 para verdadero o 0 para falso.
Respuesta: 1
Ley de dominación: $A \lor 1 = 1$ . Si $A = 0$ , entonces $0 \lor 1 = 1$ ; si $A = 1$ , entonces $1 \lor 1 = 1$ .
3.
Simplifica $(A \lor 0) \land (B \lor 1)$ y comprueba dos filas.
Respuesta: 0
1. Por la ley de dominación, $B \lor 1$ es una constante. ¿Cuál? Escribe 0 o 1. 1
2. Así que la expresión es $A \land 1 = A$ . Comprobación: ¿cuánto vale la expresión original para $A = 1$ , $B = 0$ ? 1
3. ¿Y para $A = 0$ , $B = 0$ ? 0
4.
$A \lor A$ se simplifica a:
1. a) $2A$
2. b) $A$
3. c) $\neg A$
4. d) $A^2$
Respuesta: $A$
Idempotencia: $A \lor A = A$ , porque $0 \lor 0 = 0$ y $1 \lor 1 = 1$ . $2A$ y $A^2$ vienen del álgebra normal y aquí no sirven.
5.
Simplifica $\neg\neg A \land 0$ . El resultado es una constante: escribe 0 o 1.
Respuesta: 0
La doble negación da $\neg\neg A = A$ , y la ley de dominación da $A \land 0 = 0$ . El valor de $A$ no importa.
6.
Comprueba la ley de De Morgan $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$ para $A = 1$ y $B = 0$ .
Respuesta: 1
1. ¿Cuánto vale $A \land B$ ? 0
2. Entonces, ¿cuánto vale $\neg(A \land B)$ ? 1
3. ¿Cuánto vale $\neg A$ ? 0
4. ¿Cuánto vale $\neg A \lor \neg B$ ? 1
7.
¿Qué expresión es equivalente a $\neg(A \lor B)$ ?
1. a) $\neg A \land \neg B$
2. b) $A \land B$
3. c) $\neg A \lor \neg B$
4. d) $\neg A \lor B$
Respuesta: $\neg A \land \neg B$
Ley de De Morgan: $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$ . NO (A O B) solo es verdadera si ninguna de las dos lo es. $\neg A \lor \neg B$ es, en cambio, la negación de $A \land B$ .
8.
¿Qué expresión es igual a $A \lor (B \land C)$ ?
1. a) $A \land (B \lor C)$
2. b) $(A \lor B) \land C$
3. c) $(A \lor B) \land (A \lor C)$
4. d) $(A \land B) \lor (A \land C)$
Respuesta: $(A \lor B) \land (A \lor C)$
Ley distributiva (O respecto de Y): $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ . Comprueba $A = 1$ : los dos lados valen 1. Comprueba $A = 0$ : los dos lados valen $B \land C$ .
9.
¿Cuál es el valor de $\neg(A \land \neg B)$ para $A = 1$ y $B = 0$ ? Escribe 0 o 1.
Respuesta: 0
$\neg B = 1$ , así que $A \land \neg B = 1 \land 1 = 1$ y $\neg 1 = 0$ . Con De Morgan: $\neg A \lor B = 0 \lor 0 = 0$ , el mismo valor.
10.
$(A \land B) \lor (A \land \neg B)$ se simplifica a $A$ . Si cuentas una puerta por cada $\land$ , $\lor$ y $\neg$ , ¿cuántas puertas ahorra la simplificación?
Respuesta: 4
Original: dos Y, una NO y una O, es decir, 4 puertas. $A$ necesita 0 puertas. Ahorro: $4 - 0 = 4$ .
11.
Comprueba la ley de absorción $A \land (A \lor B) = A$ fila por fila.
Respuesta: 2
1. Para $A = 0$ , ¿cuánto vale $A \land (A \lor B)$ , sea cual sea $B$ ? 0
2. Para $A = 1$ y $B = 0$ , ¿cuánto vale $A \land (A \lor B)$ ? 1
3. ¿Y para $A = 1$ y $B = 1$ ? 1
4. ¿En cuántas de las 4 filas es verdadera $A \land (A \lor B)$ ? 2
12.
Simplifica $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$ y compruébalo.
Respuesta: 2
1. La ley distributiva da $A \lor (B \land \neg B)$ . ¿Qué constante es $B \land \neg B$ ? Escribe 0 o 1. 0
2. Así que la expresión es $A \lor 0 = A$ . Comprueba la fila $A = 0$ , $B = 1$ : ¿cuánto vale la expresión original? 0
3. Comprueba la fila $A = 1$ , $B = 0$ : 1
4. ¿En cuántas de las 4 filas es verdadera la expresión original? 2
13.
Simplifica $\neg(A \lor \neg B)$ con la ley de De Morgan.
Respuesta: 1
1. La ley de De Morgan da $\neg A \land \neg\neg B$ . ¿Cuántos signos $\neg$ tiene esta forma? 3
2. Tras la doble negación, la expresión es $\neg A \land B$ . ¿Cuántos signos $\neg$ quedan? 1
3. $\neg A \land B$ solo es verdadera en una fila. ¿Cuánto vale $A$ en esa fila? Escribe 0 o 1. 0
4. ¿Y cuánto vale $B$ en esa fila? 1
14.
¿Qué expresión NO es equivalente a $A$ ?
1. a) $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$
2. b) $A \lor (A \land B)$
3. c) $A \land (A \lor B)$
4. d) $A \lor (\neg A \land B)$
Respuesta: $A \lor (\neg A \land B)$
Las dos primeras son las leyes de absorción, y $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A \lor (B \land \neg B) = A$ . Pero $A \lor (\neg A \land B) = (A \lor \neg A) \land (A \lor B) = A \lor B$ , que vale 1 para $A = 0$ , $B = 1$ .
15.
¿En cuántas de las 4 filas es verdadera $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) \land (\neg A \lor B)$ ?
Respuesta: 1
$(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A$ . Después $A \land (\neg A \lor B) = (A \land \neg A) \lor (A \land B) = 0 \lor (A \land B) = A \land B$ , que solo es verdadera en la fila $A = 1$ , $B = 1$ .
16.
Simplifica $\neg(A \land B) \land (A \lor \neg B)$ y cuenta las puertas ahorradas.
Respuesta: 4
1. De Morgan da $(\neg A \lor \neg B) \land (A \lor \neg B)$ , y la ley distributiva da $\neg B \lor (\neg A \land A)$ . ¿Qué constante es $\neg A \land A$ ? 0
2. Así que la expresión es $\neg B \lor 0 = \neg B$ . Comprueba $A = 1$ , $B = 1$ : ¿cuánto vale la expresión original? 0
3. Comprueba $A = 0$ , $B = 0$ : 1
4. Si cuentas una puerta por cada $\land$ , $\lor$ y $\neg$ , ¿cuántas puertas usa la expresión original? 5
5. ¿Cuántas puertas se ahorran usando $\neg B$ en su lugar? 4
17.
Simplifica $A \lor (\neg A \land B)$ .
Respuesta: 3
1. La ley distributiva da $(A \lor \neg A) \land (A \lor B)$ . ¿Qué constante es $A \lor \neg A$ ? 1
2. Así que la expresión es $1 \land (A \lor B) = A \lor B$ . Comprueba $A = 0$ , $B = 1$ : ¿cuánto vale la expresión original? 1
3. ¿En cuántas de las 4 filas es verdadera $A \lor B$ ? 3
18.
Simplifica $(A \land B) \lor (A \land \neg B \land C)$ y cuenta las filas en las que es verdadera.
Respuesta: 3
1. Sacar $A$ como factor común da $A \land (B \lor (\neg B \land C))$ , y la ley distributiva convierte el paréntesis en $(B \lor \neg B) \land (B \lor C)$ . ¿Qué constante es $B \lor \neg B$ ? 1
2. Así que la expresión es $A \land (B \lor C)$ . Si cuentas una puerta por cada $\land$ , $\lor$ y $\neg$ , ¿cuántas puertas usa? 2
3. Una tabla para $A$ , $B$ y $C$ tiene 8 filas. ¿En cuántas de ellas es $A = 1$ ? 4
4. En esas filas, $B \lor C$ solo es falsa para $B = 0$ y $C = 0$ . ¿En cuántas filas es verdadera la expresión? 3