De palabras a símbolos

Sea $P$: "La tienda está abierta" y $Q$: "Tengo dinero". Escribe cada frase en símbolos: (a) La tienda está abierta y tengo dinero. (b) La tienda no está abierta o tengo dinero. (c) La tienda está abierta pero no tengo dinero. (d) La tienda no está abierta y no tengo dinero.

Frase (a): La palabra *y* une dos partes que se afirman ambas como verdaderas = $P \land Q$

Frase (b): *no* pertenece solo a la primera parte, *o* une las dos partes = $\neg P \lor Q$

Frase (c): *pero* significa Y, y *no tengo dinero* es la negación de $Q$ = $P \land \neg Q$

Frase (d): Las dos partes están negadas y unidas con *y* = $\neg P \land \neg Q$

Answer: (a) $P \land Q$, (b) $\neg P \lor Q$, (c) $P \land \neg Q$, (d) $\neg P \land \neg Q$. La frase (d) también se puede decir con ni ... ni: ni la tienda está abierta ni tengo dinero.

Valores de verdad con números

Sea $P$: "$7$ es un número primo" y $Q$: "$10$ es un número impar". Halla el valor de verdad de $P \land Q$, $P \lor Q$ y $P \land \neg Q$.

Halla el valor de cada proposición simple: $7$ solo tiene los divisores $1$ y $7$, así que $P$ es verdadera. $10$ es par, así que $Q$ es falsa = $P = 1$, $Q = 0$

Calcula $P \land Q$: $1 \land 0$: Y necesita que las dos partes sean verdaderas = $0$ (falso)

Calcula $P \lor Q$: $1 \lor 0$: O necesita al menos una parte verdadera = $1$ (verdadero)

Calcula $P \land \neg Q$: Primero $\neg Q = \neg 0 = 1$, luego $1 \land 1$ = $1$ (verdadero)

Answer: $P \land Q$ es falsa, $P \lor Q$ es verdadera y $P \land \neg Q$ es verdadera: $7$ es primo y $10$ no es impar.

¿Dónde está el NO?

Sea $P$: "$3 > 5$" y $Q$: "$2 + 2 = 4$". Compara los valores de verdad de $\neg(P \lor Q)$ y $\neg P \lor Q$.

Halla los valores de las partes: $3 > 5$ es falso y $2 + 2 = 4$ es verdadero = $P = 0$, $Q = 1$

Calcula primero el paréntesis: $P \lor Q = 0 \lor 1$ = $1$

Niega todo el paréntesis: $\neg(P \lor Q) = \neg 1$ = $0$

Ahora calcula $\neg P \lor Q$: Aquí NO afecta solo a $P$: $\neg 0 \lor 1 = 1 \lor 1$ = $1$

Answer: $\neg(P \lor Q)$ es falsa, pero $\neg P \lor Q$ es verdadera. Los paréntesis deciden a qué se aplica el NO: a toda la proposición o solo a $P$.

Negar una proposición compuesta con palabras

Niega la proposición "Tom juega al fútbol y Tom juega al ajedrez". ¿En qué casos es verdadera la negación?

Escribe la proposición en símbolos: $F$: Tom juega al fútbol, $C$: Tom juega al ajedrez = $F \land C$

Niega toda la proposición: Pon *no es cierto que* delante: no es cierto que Tom juegue tanto al fútbol como al ajedrez = $\neg(F \land C)$

Revisa los cuatro casos: $F \land C$ vale 1 solo cuando $F = 1$ y $C = 1$, así que $\neg(F \land C)$ vale 1 en los otros tres casos = Verdadera en 3 de los 4 casos

Dilo con palabras sencillas: La negación es verdadera en cuanto falta al menos una de las dos actividades = Tom no hace las dos cosas

Answer: La negación es: no es cierto que Tom juegue tanto al fútbol como al ajedrez, así que falta al menos una de las dos. No es "Tom no juega ni al fútbol ni al ajedrez": esa frase es verdadera solo en 1 caso, no en 3.

Tres partes, ocho casos

Un club te deja entrar si eres socio, o si tienes entrada y tienes más de 16 años. Con $M$: eres socio, $T$: tienes entrada, $A$: tienes más de 16 años, la regla es $M \lor (T \land A)$. ¿En cuántos de los 8 casos puedes entrar?

Cuenta los casos: 3 proposiciones simples, cada una vale 0 o 1 = $2^3 = 8$ casos

Escribe los casos en orden: $M$, $T$, $A$: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 filas, empezando por 0

Columna $T \land A$: Verdadera solo cuando $T = 1$ y $A = 1$: casos 011 y 111 = 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

Columna $M \lor (T \land A)$: Verdadera cuando $M = 1$ (casos 100 a 111) o cuando $T \land A = 1$ (el caso 011 añade uno más) = 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

Cuenta los casos verdaderos: 4 casos con $M = 1$ más 1 caso sin ser socio = 5 casos

Answer: Entras en 5 de los 8 casos: siempre como socio, y sin ser socio solo con entrada y si tienes más de 16 años.

Mistake: Pensar que "$P$ o $Q$" es falsa cuando las dos partes son verdaderas

Why: En el día a día *o* suele significar una cosa o la otra, pero no las dos. En lógica O es inclusivo: $1 \lor 1 = 1$.

Correct: $P \lor Q$ solo es falsa cuando las dos partes son falsas. Para una pero no las dos existe otro operador: el O exclusivo (XOR).

Mistake: Negar "Me gustan el té y el café" como "No me gusta ni el té ni el café"

Why: *Ni ... ni* solo es verdadero cuando las dos partes son falsas (1 caso). La negación de una proposición con Y debe ser verdadera siempre que al menos una parte sea falsa (3 casos).

Correct: Di "No es cierto que me gusten tanto el té como el café": al menos uno de los dos no me gusta. La regla general (leyes de De Morgan) llega en la lección Álgebra de Boole.

Mistake: Leer $\neg P \land Q$ como si fuera $\neg(P \land Q)$

Why: Sin paréntesis, NO se aplica solo a la proposición que va justo después. Para $P = 0$ y $Q = 0$: $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$, pero $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$.

Correct: Comprueba a qué afecta el NO. Escribe paréntesis cuando el NO deba aplicarse a toda la proposición compuesta.

Mistake: No reconocer *pero* como Y

Why: "El examen fue difícil pero aprobé" suena a contraste, pero se afirma que las dos partes son verdaderas.

Correct: Traduce *pero*, *aunque* y *tanto ... como* como Y: $H \land S$ (examen difícil Y aprobado).

Filtros de tiendas en línea

Las tiendas y los buscadores combinan condiciones con Y, O y NO para decidir qué artículos ves.

El filtro (negro O azul) Y NO usado muestra solo artículos nuevos, en cualquiera de los dos colores.

Reglas de juego en el código

Los videojuegos y las aplicaciones comprueban condiciones compuestas muchas veces por segundo para decidir qué pasa después.

Una puerta se abre si (llave Y NO alarma). Con la llave y sin alarma: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$, así que la puerta se abre.

Normas y carteles

Las normas de los carteles, las entradas y los contratos son proposiciones compuestas, y a menudo importa saber exactamente cuándo NO se cumple una norma.

"Aparcamiento gratis los domingos o después de las 20 h" se cumple un domingo a mediodía, un lunes a las 21 h y también un domingo a las 21 h.

Q: ¿Significa "o ... o" lo mismo que O?

A: No siempre. El operador O es siempre inclusivo: también es verdadero cuando las dos partes son verdaderas. En el día a día, *o ... o* suele sugerir una pero no las dos. Cuando una frase quiere decir claramente una pero no las dos, escríbela como O exclusivo (XOR): $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$. Si no, léela como O.

Q: ¿Necesito siempre paréntesis?

A: Con dos partes y un solo operador, no. En cuanto aparecen Y y O juntos, o un NO debe aplicarse a más de una proposición, los paréntesis aclaran el significado. Las reglas para leer una proposición sin paréntesis (NO antes que Y antes que O) llegan en la lección Expresiones booleanas.

Q: ¿Puedo usar una calculadora para los valores de verdad?

A: En parte. Con 1 y 0, Y funciona como una multiplicación ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$) y NO $P$ es igual a $1 - P$. La calculadora de esta lección no conoce las palabras Y, O y NO, así que úsala para estos productos y para contar casos como $2^3$.

Q: ¿Por qué una pregunta no puede formar parte de una proposición compuesta?

A: Una proposición debe ser verdadera o falsa. Una pregunta como "¿Está lloviendo?" o una orden como "¡Cierra la puerta!" no tiene valor de verdad, así que no puede ser una de las partes.