¿Necesito siempre paréntesis?

Con dos partes y un solo operador, no. En cuanto aparecen Y y O juntos, o un NO debe aplicarse a más de una proposición, los paréntesis aclaran el significado. Las reglas para leer una proposición sin paréntesis (NO antes que Y antes que O) llegan en la lección Expresiones booleanas.

¿Puedo usar una calculadora para los valores de verdad?

En parte. Con 1 y 0, Y funciona como una multiplicación ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$) y NO $P$ es igual a $1 - P$. La calculadora de esta lección no conoce las palabras Y, O y NO, así que úsala para estos productos y para contar casos como $2^3$.

¿Por qué una pregunta no puede formar parte de una proposición compuesta?

Una proposición debe ser verdadera o falsa. Una pregunta como "¿Está lloviendo?" o una orden como "¡Cierra la puerta!" no tiene valor de verdad, así que no puede ser una de las partes.

Recursos para profesores

Proposiciones booleanas compuestas

Aprende a formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples con Y, O y NO, a pasar de palabras a símbolos y a hallar su valor de verdad.

Avanzado25 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una proposición simple es una frase que es verdadera o falsa, por ejemplo "Está lloviendo." Una proposición compuesta une dos o más proposiciones simples con los operadores lógicos Y (

\land

), O (

\lor

) y NO (

\neg

). Su valor de verdad depende solo de los valores de verdad de sus partes.

Escribimos 1 para verdadero y 0 para falso. Las tablas interactivas de esta lección también usan 1 y 0.

De palabras a símbolos. Sea

P

: "Está lloviendo" y

Q

: "Hace frío".

En palabras	Símbolos	Verdadera cuando
Está lloviendo y hace frío.	$P \land Q$	las dos partes son verdaderas
Está lloviendo o hace frío.	$P \lor Q$	al menos una parte es verdadera
No está lloviendo.	$\neg P$	$P$ es falsa
Está lloviendo pero no hace frío.	$P \land \neg Q$	$P$ es verdadera y $Q$ es falsa
Ni está lloviendo ni hace frío.	$\neg P \land \neg Q$	las dos partes son falsas

Palabras clave: *y*, *pero*, *tanto ... como* significan Y. *o* significa O, que también es verdadero cuando las dos partes son verdaderas. *no*, *no es cierto que* significan NO.

Hallar el valor de verdad en 3 pasos:

1.Da a cada proposición simple su valor: 1 o 0.
2.Calcula las partes entre paréntesis y cada NO.
3.Combina los resultados con Y u O.

Los cuatro casos de dos proposiciones (empezando por 0, como en la tabla interactiva; la lección Tablas de verdad empieza por T, y los dos órdenes muestran los mismos casos):

$P$	$Q$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$\neg P$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

Tres partes, ocho casos. Con una tercera proposición

R

hay

2^3 = 8

casos, y los paréntesis muestran qué partes van juntas. Para

(P \lor Q) \land \neg R

$P$	$Q$	$R$	$P \lor Q$	$\neg R$	$(P \lor Q) \land \neg R$
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Esta proposición compuesta es verdadera en 3 de los 8 casos: cuando al menos una de

P

Q

es verdadera y

R

es falsa. Cómo leer una proposición sin paréntesis (la precedencia de operadores) es el tema de la lección Expresiones booleanas.

Pruébalo ahora

Sea

P

: "El perro tiene hambre" y

Q

: "El perro está cansado". ¿Qué símbolos significan "El perro tiene hambre y está cansado"?

Ejemplos resueltos

Sea $P$ : "La tienda está abierta" y $Q$ : "Tengo dinero". Escribe cada frase en símbolos: (a) La tienda está abierta y tengo dinero. (b) La tienda no está abierta o tengo dinero. (c) La tienda está abierta pero no tengo dinero. (d) La tienda no está abierta y no tengo dinero.

Frase (a)

La palabra *y* une dos partes que se afirman ambas como verdaderas → $P \land Q$

Frase (b)

*no* pertenece solo a la primera parte, *o* une las dos partes → $\neg P \lor Q$

Frase (c)

*pero* significa Y, y *no tengo dinero* es la negación de $Q$ → $P \land \neg Q$

Frase (d)

Las dos partes están negadas y unidas con *y* → $\neg P \land \neg Q$

Respuesta: (a) $P \land Q$ , (b) $\neg P \lor Q$ , (c) $P \land \neg Q$ , (d) $\neg P \land \neg Q$ . La frase (d) también se puede decir con ni ... ni: ni la tienda está abierta ni tengo dinero.

Errores comunes

Pensar que " $P$ o $Q$ " es falsa cuando las dos partes son verdaderas

Por qué está mal: En el día a día *o* suele significar una cosa o la otra, pero no las dos. En lógica O es inclusivo: $1 \lor 1 = 1$ .

Correcto: $P \lor Q$ solo es falsa cuando las dos partes son falsas. Para una pero no las dos existe otro operador: el O exclusivo (XOR).

Negar "Me gustan el té y el café" como "No me gusta ni el té ni el café"

Por qué está mal: *Ni ... ni* solo es verdadero cuando las dos partes son falsas (1 caso). La negación de una proposición con Y debe ser verdadera siempre que al menos una parte sea falsa (3 casos).

Correcto: Di "No es cierto que me gusten tanto el té como el café": al menos uno de los dos no me gusta. La regla general (leyes de De Morgan) llega en la lección Álgebra de Boole.

Leer $\neg P \land Q$ como si fuera $\neg(P \land Q)$

Por qué está mal: Sin paréntesis, NO se aplica solo a la proposición que va justo después. Para $P = 0$ y $Q = 0$ : $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$ , pero $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$ .

Correcto: Comprueba a qué afecta el NO. Escribe paréntesis cuando el NO deba aplicarse a toda la proposición compuesta.

No reconocer *pero* como Y

Por qué está mal: "El examen fue difícil pero aprobé" suena a contraste, pero se afirma que las dos partes son verdaderas.

Correcto: Traduce *pero*, *aunque* y *tanto ... como* como Y: $H \land S$ (examen difícil Y aprobado).

Visual interactivo

Tabla de verdad

Seleccionar operador

P ∧ Q

P	Q	P ∧ Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1= Verdadero0= Falso

Tabla de verdad

Expresión(P ∨ Q) ∧ ¬R

P	Q	R	P ∨ Q	¬R	(P ∨ Q) ∧ ¬R
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

1= Verdadero0= Falso

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Sea $P$ : "El perro tiene hambre" y $Q$ : "El perro está cansado". ¿Qué símbolos significan "El perro tiene hambre y está cansado"?

Por qué es importante

Casi todas las reglas que encuentras son proposiciones compuestas:

Tiendas en línea y buscadores: un filtro como "zapatos Y talla 38 Y NO rojo" combina tres condiciones
Programación: condiciones como (sesión iniciada Y NO bloqueado) O administrador deciden qué hace una aplicación a continuación
Normas y carteles: "Los menores de 12 años entran gratis si vienen con un adulto" se cumple o no según dos hechos
Argumentos y debates: saber exactamente cuándo O y NO son verdaderos te ayuda a detectar frases que suenan parecidas pero dicen cosas distintas
Circuitos digitales: cada chip está hecho de Y, O y NO, los mismos operadores que usas aquí

Ya conoces Y, O y NO por separado. En esta lección los combinas en proposiciones más largas y hallas su valor de verdad con seguridad.

Aplicaciones del mundo real

Filtros de tiendas en línea

Las tiendas y los buscadores combinan condiciones con Y, O y NO para decidir qué artículos ves.

Ejemplo:

El filtro (negro O azul) Y NO usado muestra solo artículos nuevos, en cualquiera de los dos colores.

1Inténtalo tú mismo

Un filtro muestra una chaqueta si $(B \lor S) \land C$ , donde $B$ : la chaqueta es azul, $S$ : está rebajada, $C$ : cuesta menos de 50 dólares. Una chaqueta es azul, está rebajada y cuesta 65 dólares.

¿Muestra el filtro esta chaqueta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Con 1 y 0, Y funciona como una multiplicación. Escribe el último paso como un producto:

Reglas de juego en el código

Los videojuegos y las aplicaciones comprueban condiciones compuestas muchas veces por segundo para decidir qué pasa después.

Ejemplo:

Una puerta se abre si (llave Y NO alarma). Con la llave y sin alarma: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$ , así que la puerta se abre.

2Inténtalo tú mismo

Una jugadora sube de nivel si $S \land (\neg T \lor K)$ , donde $S$ : la puntuación es al menos 100, $T$ : se acabó el tiempo, $K$ : tiene una llave extra.

¿En cuántos de los 8 casos sube de nivel?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la cantidad como los casos con $S$ verdadera menos los casos que fallan:

Normas y carteles

Las normas de los carteles, las entradas y los contratos son proposiciones compuestas, y a menudo importa saber exactamente cuándo NO se cumple una norma.

Ejemplo:

"Aparcamiento gratis los domingos o después de las 20 h" se cumple un domingo a mediodía, un lunes a las 21 h y también un domingo a las 21 h.

3Inténtalo tú mismo

Un cartel de un museo dice: los niños entran gratis si tienen menos de 12 años y vienen con un adulto. Sea $U$ : el niño tiene menos de 12 años, $A$ : el niño viene con un adulto.

¿En cuántos de los 4 casos NO se cumple la norma de entrada gratis?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la cantidad como todos los casos menos los casos en que se cumple la norma:

Puntos clave

1Una proposición compuesta une proposiciones simples con Y ( $\land$ ), O ( $\lor$ ) y NO ( $\neg$ )
2*y* y *pero* se traducen como Y, *o* como O, *no* y *no es cierto que* como NO
3Y solo es verdadero cuando las dos partes son verdaderas; O solo es falso cuando las dos partes son falsas
4Para hallar el valor de verdad, da 1 o 0 a cada parte, calcula los paréntesis y cada NO, y luego combina
5Los paréntesis deciden a qué se aplica el NO: $\neg(P \land Q)$ no es lo mismo que $\neg P \land Q$
6Con 3 proposiciones simples hay $2^3 = 8$ casos, y la negación de una proposición con Y es verdadera siempre que al menos una parte sea falsa

Preguntas frecuentes

No siempre. El operador O es siempre inclusivo: también es verdadero cuando las dos partes son verdaderas. En el día a día, *o ... o* suele sugerir una pero no las dos. Cuando una frase quiere decir claramente una pero no las dos, escríbela como O exclusivo (XOR):

(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)

. Si no, léela como O.

Glosario

Proposición simple: Una sola frase que es verdadera o falsa, por ejemplo " $7$ es primo"
Proposición compuesta: Una proposición formada por proposiciones simples con Y, O y NO, por ejemplo $P \land \neg Q$
Valor de verdad: Si una proposición es verdadera (1) o falsa (0)
Conjunción (Y): $P \land Q$ , verdadera solo cuando las dos partes son verdaderas
Disyunción (O): $P \lor Q$ , verdadera cuando al menos una parte es verdadera
Negación (NO): $\neg P$ , verdadera exactamente cuando $P$ es falsa

Tarjeta de fórmulas

Y (conjunción)

P \land Q

Verdadera (1) solo cuando $P$ y $Q$ son las dos verdaderas

O (disyunción)

P \lor Q

Falsa (0) solo cuando $P$ y $Q$ son las dos falsas

NO (negación)

\neg P

Invierte el valor: $\neg 1 = 0$ y $\neg 0 = 1$

Número de casos

2^n

$n$ proposiciones simples dan $2^n$ casos: 4 para dos, 8 para tres

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