Leer las tablas de las puertas

Las entradas son $A = 1$ y $B = 0$. Halla la salida de una puerta AND, OR, XOR, NAND y NOR.

Puerta AND: AND necesita que las dos entradas valgan 1, pero $B = 0$ = AND: $0$

Puerta OR: OR necesita al menos un 1, y $A = 1$ = OR: $1$

Puerta XOR: Las entradas $1$ y $0$ son distintas = XOR: $1$

Puerta NAND: NAND es lo contrario de AND: AND dio $0$, así que se invierte = NAND: $1$

Puerta NOR: NOR es lo contrario de OR: OR dio $1$, así que se invierte = NOR: $0$

Answer: AND $= 0$, OR $= 1$, XOR $= 1$, NAND $= 1$, NOR $= 0$. NAND y NOR son siempre lo contrario de AND y OR.

AND seguida de NOT

$A$ y $B$ entran en una puerta AND, y su salida entra en una puerta NOT. Halla la salida $Y$ para las cuatro filas de entrada. ¿Qué puerta sola hace el mismo trabajo?

Escribir las filas de entrada: Empieza por $0, 0$: las filas son $00$, $01$, $10$, $11$ = 4 filas

Salida de la puerta AND: AND vale 1 solo cuando las dos entradas valen 1 = AND: $0, 0, 0, 1$

Salida de la puerta NOT: Invierte cada valor de la columna AND = $Y$: $1, 1, 1, 0$

Comparar con la tabla de puertas: La columna $1, 1, 1, 0$ es la columna NAND = $Y = \overline{A \cdot B}$

Answer: La salida es $1, 1, 1, 0$, así que AND seguida de NOT se comporta exactamente como una puerta NAND. De ahí viene el nombre NOT AND.

Seguir un circuito de tres puertas

$A$ y $B$ entran en una puerta OR. $B$ y $C$ entran en una puerta AND. Las dos salidas entran en una puerta XOR, que da $Y$. Halla $Y$ para $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Primera puerta: OR de $A$ y $B$: $0 \lor 1$: al menos una entrada vale 1 = Salida de OR $= 1$

Segunda puerta: AND de $B$ y $C$: $1 \land 0$: no valen 1 las dos entradas = Salida de AND $= 0$

Última puerta: XOR de las dos salidas: La puerta XOR recibe $1$ y $0$, que son distintos = $Y = 1$

Comprobar con la expresión: $Y = (A \lor B) \oplus (B \land C) = 1 \oplus 0$ = $Y = 1$

Answer: $Y = 1$. La última puerta nunca ve directamente $A$, $B$ y $C$: solo ve las salidas de las dos primeras puertas.

Del circuito a la expresión booleana

$A$ pasa por una puerta NOT. Su salida y $B$ entran en una puerta AND. Esa salida y $C$ entran en una puerta OR, que da $Y$. Escribe la expresión booleana del circuito y halla $Y$ para $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$.

Nombrar la salida de la puerta NOT: La puerta NOT invierte $A$ = $\neg A$

Nombrar la salida de la puerta AND: Sus entradas son $\neg A$ y $B$ = $\neg A \land B$

Nombrar la salida de la puerta OR: Sus entradas son $\neg A \land B$ y $C$ = $Y = (\neg A \land B) \lor C$

Evaluar para $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$: $\neg A = 0$, luego $0 \land 1 = 0$, luego $0 \lor 0 = 0$ = $Y = 0$

Answer: $Y = (\neg A \land B) \lor C$, que en ingeniería se escribe $Y = \overline{A} \cdot B + C$. Para $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$ la salida es $Y = 0$.

El semisumador

Un ordenador suma dos cifras binarias $A$ y $B$. El resultado tiene una cifra de suma $S$ y una cifra de acarreo $C$ (por ejemplo, $1 + 1 = 10$ en binario: $C = 1$, $S = 0$). ¿Qué puertas producen $S$ y $C$?

Escribir las cuatro sumas en binario: $0 + 0 = 00$, $0 + 1 = 01$, $1 + 0 = 01$, $1 + 1 = 10$ = Resultados: 00, 01, 01, 10

Leer la columna de suma $S$ (cifra derecha): $S$: $0, 1, 1, 0$, que vale 1 solo cuando las entradas son distintas = $S = A \oplus B$ (XOR)

Leer la columna de acarreo $C$ (cifra izquierda): $C$: $0, 0, 0, 1$, que vale 1 solo cuando las dos entradas valen 1 = $C = A \land B$ (AND)

Comprobar $1 + 1$: $S = 1 \oplus 1 = 0$ y $C = 1 \land 1 = 1$, así que el resultado es $10$ en binario = $10_2 = 2$ ✓

Answer: $S = A \oplus B$ y $C = A \land B$. Una puerta XOR y una puerta AND forman un **semisumador**, la primera pieza de toda calculadora y todo ordenador.

Mistake: Creer que una puerta OR da $0$ cuando las dos entradas valen $1$

Why: Esa es la puerta XOR. OR vale 1 cuando al menos una entrada vale 1, y eso incluye el caso en que las dos valen 1.

Correct: OR: $1 \lor 1 = 1$. XOR: $1 \oplus 1 = 0$. Solo XOR exige que las entradas sean distintas.

Mistake: Leer $A + B$ como una suma normal y escribir $1 + 1 = 2$

Why: En la notación de puertas, $+$ significa OR, y la salida de una puerta solo puede ser 0 o 1.

Correct: Con puertas, $1 + 1 = 1$ (OR). El valor 2 solo aparece al sumar números binarios, y entonces se escribe $10$ con una cifra de acarreo.

Mistake: Tratar NAND como NOT A AND NOT B, es decir, como $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Why: NAND invierte la salida de AND, no las entradas. Para $A = 1$, $B = 0$: NAND da $\overline{1 \cdot 0} = 1$, pero $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.

Correct: NAND $= \overline{A \cdot B}$: primero AND, después NOT. La barra cubre todo el producto.

Mistake: Meter las entradas originales en la última puerta de un circuito

Why: En un circuito, cada puerta solo recibe los cables conectados a ella. La última puerta suele recibir las salidas de puertas anteriores, no A, B y C.

Correct: Ve de las entradas a la salida, escribe la salida de cada puerta a su lado y usa esos valores en la puerta siguiente.

Alarmas

Una alarma doméstica es un pequeño circuito lógico: los sensores dan 1 o 0 y las puertas deciden si la sirena recibe un 1.

Con el interruptor de activación $A$, el sensor de la puerta de entrada $D$ y el sensor de la ventana $W$, la alarma suena cuando $Y = A \land (D \lor W) = 1$.

Sumar en un chip

Cada suma que hace un ordenador está construida con semisumadores y sumadores completos hechos de puertas.

Un semisumador calcula la cifra de suma $S = A \oplus B$ y la cifra de acarreo $C = A \land B$ de dos cifras binarias.

Construir chips con puertas NAND

A los fabricantes de chips les gustan las puertas NAND, porque cualquier otra puerta se puede construir solo con puertas NAND.

Conecta las dos entradas de una puerta NAND a la misma señal $A$: la salida es $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$, así que funciona como una puerta NOT.

Q: ¿Por qué las puertas usan 1 y 0 en vez de verdadero y falso?

A: Dentro de un chip solo hay tensiones. Una tensión alta representa 1 (verdadero) y una baja, 0 (falso). Usar solo dos niveles hace los circuitos rápidos y fiables, porque una señal algo más débil se sigue leyendo claramente como 1.

Q: ¿Qué diferencia hay entre OR y XOR?

A: Solo se diferencian en una fila: cuando las dos entradas valen 1. OR da $1$ (al menos una está encendida) y XOR da $0$ (las entradas no son distintas). XOR es la puerta de o una o la otra, pero no las dos.

Q: ¿Por qué son tan populares las puertas NAND?

A: Cualquier otra puerta se puede construir solo con puertas NAND. Por ejemplo, una NAND con las dos entradas unidas es una puerta NOT. Así una fábrica puede hacer chips con un único tipo de puerta. Verás el álgebra que lo explica en la lección Álgebra de Boole.

Q: ¿Puedo comprobar las puertas con aritmética normal?

A: Sí, con 0 y 1: AND es $A \times B$, NOT es $1 - A$, OR es $A + B - A \times B$ y XOR es $A + B - 2 \times A \times B$. Por ejemplo, OR para $1, 1$ da $1 + 1 - 1 = 1$. Pruébalo en la calculadora.