Invertir un valor de verdad

Sea $P$ = "7 es un número par". Halla los valores de verdad de $P$, $\neg P$ y $\neg(\neg P)$.

Evalúa P: 7 es impar, así que la proposición "7 es un número par" es **falsa** = P = F

Escribe la negación con palabras: $\neg P$ = "7 no es un número par" = ¬P con palabras

Aplica NO: $\neg P = \neg F = V$ = ¬P = V

Aplica NO por segunda vez: $\neg(\neg P) = \neg V = F$, que es lo mismo que P = ¬(¬P) = F

Answer: P es falsa, ¬P es verdadera y ¬(¬P) vuelve a ser falsa. Dos NO se anulan: ¬(¬P) = P.

Negar frases en español

Escribe la negación de "Ana tiene una bicicleta." y de "Ana está en casa."

Busca el verbo de la primera frase: En "Ana tiene una bicicleta" el verbo es tiene = Verbo: tiene

Niega a la manera española: En español, no va justo delante del verbo: tiene pasa a ser no tiene, y el artículo una suele desaparecer. "Ana tiene no una bicicleta" es incorrecto = Ana no tiene bicicleta.

Niega la segunda frase: La misma regla: no delante del verbo, está pasa a ser no está = Ana no está en casa.

Comprueba los valores de verdad: Si "Ana tiene una bicicleta" es verdadera, entonces "Ana no tiene bicicleta" es falsa, y al revés = Exactamente una es verdadera

Answer: "Ana no tiene bicicleta." y "Ana no está en casa." Negar no es solo añadir una palabra en cualquier sitio: sigue la gramática de tu idioma.

Negar una frase con "todos"

Escribe la negación de "Todos los alumnos aprobaron el examen."

Entiende la afirmación: La frase dice que cada uno de los alumnos, sin excepción, aprobó = Afirmación: todos aprobaron

Pregúntate qué la hace falsa: Basta con un solo alumno suspendido para que la afirmación sea falsa = Al menos uno suspendió

Escribe la negación: "No todos los alumnos aprobaron el examen", o dicho de otro modo, "Al menos un alumno no aprobó el examen" = No todos aprobaron.

Descarta la respuesta incorrecta que tienta: "Ningún alumno aprobó" es demasiado fuerte: si aprobaron 20 y suspendió 1, la afirmación y esta frase son falsas las dos = No es una negación

Answer: "No todos los alumnos aprobaron el examen" (al menos uno no aprobó). La negación de "todos" es "no todos", no "ninguno".

NO junto con Y

P = "Está lloviendo" es verdadera y Q = "Hace frío" es falsa. Calcula $\neg P \land Q$ y $\neg(P \land Q)$.

El NO afecta solo a lo que va justo detrás: En $\neg P \land Q$ solo se niega P: $\neg P = \neg V = F$ = ¬P = F

Termina la primera expresión: $\neg P \land Q = F \land F = F$ = ¬P ∧ Q = F

Segunda expresión: primero el paréntesis: $P \land Q = V \land F = F$ = P ∧ Q = F

Ahora niega todo el paréntesis: $\neg(P \land Q) = \neg F = V$ = ¬(P ∧ Q) = V

Answer: $\neg P \land Q$ es falsa, pero $\neg(P \land Q)$ es verdadera. ¡Los paréntesis deciden a qué afecta el NO!

Un primer vistazo a De Morgan

Comprueba que $\neg(P \vee Q)$ y $\neg P \land \neg Q$ tienen el mismo valor para cualquier elección de P y Q.

Lado izquierdo para P = V, Q = F: $\neg(V \vee F) = \neg V = F$ = F

Lado derecho para P = V, Q = F: $\neg V \land \neg F = F \land V = F$ = F, igual

Los dos lados para P = F, Q = F: $\neg(F \vee F) = \neg F = V$ y $\neg F \land \neg F = V \land V = V$ = V, igual

Los dos casos que quedan: P = V, Q = V: $\neg V = F$ y $F \land F = F$. P = F, Q = V: $\neg V = F$ y $V \land F = F$ = F, igual

Answer: Los dos lados coinciden siempre, así que $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. "No quiero ni té ni café" significa "No quiero té Y no quiero café". Es una de las leyes de De Morgan.

Mistake: Negar "Todos los gatos son negros" como "Ningún gato es negro"

Why: Las dos frases pueden ser falsas a la vez (algunos gatos son negros y otros no), así que la segunda no es la negación de la primera.

Correct: La negación es "No todos los gatos son negros", es decir, "Al menos un gato no es negro".

Mistake: Escribir la negación de $x > 5$ como $x < 5$

Why: Se olvida el caso $x = 5$. Para $x = 5$, tanto $x > 5$ como $x < 5$ son falsas.

Correct: $\neg(x > 5)$ es $x \leq 5$: todos los números que no son mayores que 5.

Mistake: Meter el NO dentro de un paréntesis sin cambiar Y/O: $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$

Why: Pruébalo con P = V, Q = F: $\neg(V \land F) = \neg F = V$, pero $\neg V \land \neg F = F \land V = F$. Los dos lados son distintos.

Correct: Cuando el NO entra en el paréntesis, Y se convierte en O: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$.

Mistake: Pensar que "no no" sigue siendo una negación

Why: En algunos idiomas, una doble negación al hablar es solo una negación reforzada (en español "No veo nada", en italiano "Non vedo niente"). En lógica, en cambio, cada NO cuenta.

Correct: Dos NO se anulan: $\neg(\neg P) = P$. "No es verdad que la tienda no esté abierta" significa que la tienda está abierta.

Programación y aplicaciones

Los programadores escriben ! delante de una condición para que un código se ejecute solo cuando esa condición es falsa.

Una aplicación de deberes usa la regla !hecho: muestra un recordatorio solo si los deberes NO están hechos.

Puertas NO en electrónica

Una puerta NO (también llamada inversor) tiene una entrada y una salida. Siempre da la señal contraria.

Una luz nocturna usa un sensor de luz que envía 1 cuando hay claridad. Después de una puerta NO, la lámpara recibe 1 solo cuando está oscuro.

Reglas de tiendas y filtros de búsqueda

Las reglas y las búsquedas a menudo excluyen algo con Y NO: el resultado debe cumplir una cosa, pero no otra.

Una búsqueda pizza AND NOT piña muestra páginas de pizza, excepto las que mencionan la piña.

Q: ¿Por qué el NO tiene una sola entrada si Y y O tienen dos?

A: Y y O unen dos proposiciones, mientras que el NO simplemente cambia el valor de verdad de una sola proposición. Por eso la tabla de verdad de NO tiene solo dos filas: P = V y P = F.

Q: ¿"No estar contento" es lo mismo que "estar triste"?

A: No. "No estar contento" es la negación y abarca todo lo que no es estar contento: triste, aburrido, tranquilo, etc. "Triste" es solo una de esas posibilidades. Una negación es verdadera exactamente cuando la proposición original es falsa.

Q: ¿Cuál es la negación de "$x > 5$"?

A: Es $x \leq 5$. Cada número o es mayor que 5 o no lo es, y "no mayor que 5" incluye también al propio 5.

Q: ¿Qué son las leyes de De Morgan?

A: Te dicen cómo entra el NO en un paréntesis: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ y $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. Y se convierte en O, y O se convierte en Y. Las comprobarás fila a fila en la lección sobre tablas de verdad.