¿"No estar contento" es lo mismo que "estar triste"?

No. "No estar contento" es la negación y abarca todo lo que no es estar contento: triste, aburrido, tranquilo, etc. "Triste" es solo una de esas posibilidades. Una negación es verdadera exactamente cuando la proposición original es falsa.

¿Cuál es la negación de "$x > 5$"?

Es $x \leq 5$. Cada número o es mayor que 5 o no lo es, y "no mayor que 5" incluye también al propio 5.

¿Qué son las leyes de De Morgan?

Te dicen cómo entra el NO en un paréntesis: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ y $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. Y se convierte en O, y O se convierte en Y. Las comprobarás fila a fila en la lección sobre tablas de verdad.

Recursos para profesores

La operación NO

Aprende cómo la operación NO convierte lo verdadero en falso y lo falso en verdadero, y cómo negar frases correctamente.

Intermedio20 minLección

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Definición

La operación NO (también llamada negación lógica) toma una sola proposición e invierte su valor de verdad: lo verdadero pasa a ser falso y lo falso pasa a ser verdadero.

Escribimos NO con estos símbolos:

$\neg P$ (notación matemática, se lee "no P")
NO P (escrito, en inglés NOT P)
!P (programación)

Tabla de verdad para NO:

$P$	$\neg P$
V	F
F	V

Con 1 para verdadero y 0 para falso: NO 1 = 0 y NO 0 = 1. Un truco práctico es

\neg P = 1 - P

La idea clave: a diferencia de Y y O, el NO solo necesita una entrada. Una proposición y su negación nunca son las dos verdaderas ni las dos falsas. ¡Exactamente una de ellas es verdadera!

Pruébalo ahora

P

es verdadera, ¿qué es

\neg P

Ejemplos resueltos

Sea $P$ = "7 es un número par". Halla los valores de verdad de $P$ , $\neg P$ y $\neg(\neg P)$ .

Evalúa P

7 es impar, así que la proposición "7 es un número par" es falsa → P = F

Escribe la negación con palabras

$\neg P$ = "7 no es un número par" → ¬P con palabras

Aplica NO

$\neg P = \neg F = V$ → ¬P = V

Aplica NO por segunda vez

$\neg(\neg P) = \neg V = F$ , que es lo mismo que P → ¬(¬P) = F

Respuesta: P es falsa, ¬P es verdadera y ¬(¬P) vuelve a ser falsa. Dos NO se anulan: ¬(¬P) = P.

Errores comunes

Negar "Todos los gatos son negros" como "Ningún gato es negro"

Por qué está mal: Las dos frases pueden ser falsas a la vez (algunos gatos son negros y otros no), así que la segunda no es la negación de la primera.

Correcto: La negación es "No todos los gatos son negros", es decir, "Al menos un gato no es negro".

Escribir la negación de $x > 5$ como $x < 5$

Por qué está mal: Se olvida el caso $x = 5$ . Para $x = 5$ , tanto $x > 5$ como $x < 5$ son falsas.

Correcto: $\neg(x > 5)$ es $x \leq 5$ : todos los números que no son mayores que 5.

Meter el NO dentro de un paréntesis sin cambiar Y/O: $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$

Por qué está mal: Pruébalo con P = V, Q = F: $\neg(V \land F) = \neg F = V$ , pero $\neg V \land \neg F = F \land V = F$ . Los dos lados son distintos.

Correcto: Cuando el NO entra en el paréntesis, Y se convierte en O: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ .

Pensar que "no no" sigue siendo una negación

Por qué está mal: En algunos idiomas, una doble negación al hablar es solo una negación reforzada (en español "No veo nada", en italiano "Non vedo niente"). En lógica, en cambio, cada NO cuenta.

Correcto: Dos NO se anulan: $\neg(\neg P) = P$ . "No es verdad que la tienda no esté abierta" significa que la tienda está abierta.

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Tabla de verdad

Seleccionar operador

¬P

P	¬P
V
F

V= VerdaderoF= Falso

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Prueba estos:

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Si $P$ es verdadera, ¿qué es $\neg P$ ?

Por qué es importante

La negación está en todas partes, aunque no nos demos cuenta:

Lenguaje cotidiano: "La tienda no está abierta" es la negación de "La tienda está abierta"
Programación: una aplicación comprueba !conectado para mostrar la pantalla de inicio de sesión solo a quien NO ha iniciado sesión
Buscadores: una búsqueda pizza AND NOT piña encuentra páginas de pizza que no mencionan la piña
Electrónica: una puerta NO (inversor) convierte una señal 1 en 0 y una señal 0 en 1
Argumentación: para demostrar que alguien se equivoca, necesitas la negación exacta de lo que afirma, no simplemente su "contrario"

Saber negar bien te ayuda a escribir reglas claras y a evitar malentendidos.

Aplicaciones del mundo real

Programación y aplicaciones

Los programadores escriben ! delante de una condición para que un código se ejecute solo cuando esa condición es falsa.

Ejemplo:

Una aplicación de deberes usa la regla !hecho: muestra un recordatorio solo si los deberes NO están hechos.

1Inténtalo tú mismo

Una aplicación de deberes muestra un recordatorio cuando NO D es verdadera, donde D = "los deberes están hechos". Ahora mismo los deberes todavía no están hechos.

¿Aparecerá el recordatorio? (Usa 1 para verdadero y 0 para falso.)

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La regla de la aplicación es NO D. ¿Qué valor tiene ahora (1 o 0)?

Puertas NO en electrónica

Una puerta NO (también llamada inversor) tiene una entrada y una salida. Siempre da la señal contraria.

Ejemplo:

Una luz nocturna usa un sensor de luz que envía 1 cuando hay claridad. Después de una puerta NO, la lámpara recibe 1 solo cuando está oscuro.

2Inténtalo tú mismo

Una señal 1 pasa por dos puertas NO conectadas una detrás de otra.

¿Qué señal sale al final?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

El circuito calcula NO (NO 1). ¿Cuál es el resultado?

Reglas de tiendas y filtros de búsqueda

Las reglas y las búsquedas a menudo excluyen algo con Y NO: el resultado debe cumplir una cosa, pero no otra.

Ejemplo:

Una búsqueda pizza AND NOT piña muestra páginas de pizza, excepto las que mencionan la piña.

3Inténtalo tú mismo

Una tienda hace un descuento de socio cuando M Y NO S es verdadera, donde M = "la clienta es socia" y S = "el artículo ya está rebajado". Lea es socia y compra un artículo que ya está rebajado.

¿Obtiene Lea el descuento de socio? (Usa 1 para verdadero y 0 para falso.)

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La regla de la tienda es M Y NO S. ¿Qué valor tiene para Lea (1 o 0)?

Puntos clave

1La operación NO invierte el valor de verdad: $\neg V = F$ y $\neg F = V$
2El NO actúa sobre una sola proposición. Símbolos: $\neg P$ en matemáticas, NO P con palabras, !P en programación
3Con 1 y 0: NO 1 = 0, NO 0 = 1 y $\neg P = 1 - P$
4Niega una frase con la gramática de tu idioma (no delante del verbo) y recuerda que la negación de "todos" es "no todos"
5Doble negación: dos NO se anulan, $\neg(\neg P) = P$
6Los paréntesis importan: $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$ y $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ (leyes de De Morgan)

Preguntas frecuentes

Y y O unen dos proposiciones, mientras que el NO simplemente cambia el valor de verdad de una sola proposición. Por eso la tabla de verdad de NO tiene solo dos filas: P = V y P = F.

Glosario

Operación NO: Una operación lógica con una entrada que convierte lo verdadero en falso y lo falso en verdadero
Negación: El nombre matemático de la operación NO, que se escribe $\neg P$
Doble negación: Aplicar NO dos veces, lo que devuelve el valor original: $\neg(\neg P) = P$
Inversor (puerta NO): Un componente electrónico que da 0 cuando la entrada es 1 y da 1 cuando la entrada es 0
Leyes de De Morgan: Dos reglas que muestran cómo entra el NO en un paréntesis e intercambia Y con O

Tarjeta de fórmulas

Regla del NO

\neg V = F, \quad \neg F = V

El NO siempre invierte el valor de verdad

NO con 1 y 0

\neg P = 1 - P

NO 1 = 0 y NO 0 = 1, útil para comprobar con la calculadora

Doble negación

\neg(\neg P) = P

Dos NO se anulan entre sí

Leyes de De Morgan

\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q, \quad \neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q

El NO entra en el paréntesis, y las operaciones Y y O se intercambian

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