Tablas de verdad

Una **tabla de verdad** enumera **todas las combinaciones posibles** de valores de verdad de las variables de una expresión y muestra, en cada fila, el valor de la expresión completa. **¿Cuántas filas?** Cada variable puede ser V (verdadero) o F (falso), así que cada variable nueva duplica el número de filas: $$\text{filas} = 2^n \quad (n = \text{número de variables})$$ Así, 2 variables necesitan $2^2 = 4$ filas y 3 variables necesitan $2^3 = 8$ filas. **Construir una tabla en 4 pasos:** 1. Cuenta las variables y escribe $2^n$ filas vacías. 2. Rellena las columnas de las variables en un orden fijo: la primera columna es mitad V y luego mitad F; cada columna siguiente cambia el doble de veces; la última columna alterna V, F, V, F. 3. Añade una **columna auxiliar** para cada parte de la expresión, empezando por la más interna (un NO sobre una sola variable, después los paréntesis). 4. Combina las columnas auxiliares para obtener la columna final. **Ejemplo:** $P \land \neg Q$ | $P$ | $Q$ | $\neg Q$ | $P \land \neg Q$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | V | V | F | F | | V | F | V | **V** | | F | V | F | F | | F | F | V | F | La columna final lo dice todo: esta expresión es verdadera en una sola fila, cuando $P$ es verdadero y $Q$ es falso. **Cómo leer la columna final:** - Todo V: la expresión es una **tautología** (siempre verdadera). - Todo F: es una **contradicción** (siempre falsa). - Dos expresiones con **la misma columna final en todas las filas** son **lógicamente equivalentes**.

Una tabla con dos variables

Construye la tabla de verdad de $P \lor \neg Q$.

Contar las filas: Hay 2 variables, $P$ y $Q$, así que necesitamos $2^2 = 4$ filas = 4 filas

Rellenar las columnas de las variables: $P$: V, V, F, F (mitad V, mitad F). $Q$: V, F, V, F (alternando) = Las 4 combinaciones aparecen una vez

Añadir la columna auxiliar $\neg Q$: Invierte cada valor de $Q$: V, F, V, F se convierte en F, V, F, V = $\neg Q$: F, V, F, V

Combinar con O: Fila por fila: V O F = V, V O V = V, F O F = F, F O V = V = $P \lor \neg Q$: V, V, F, V

Answer: La columna final es V, V, F, V. La expresión solo es falsa en la fila 3, donde $P$ es falso y $Q$ es verdadero.

Preparar tres variables

Rellena las columnas de las variables de una tabla de verdad para $P$, $Q$ y $R$.

Contar las filas: 3 variables, así que $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ filas = 8 filas

Rellenar la columna $P$: La mitad de 8 es 4: cuatro V y luego cuatro F = $P$: V, V, V, V, F, F, F, F

Rellenar la columna $Q$: Cambia el doble de veces, en bloques de 2 = $Q$: V, V, F, F, V, V, F, F

Rellenar la columna $R$: La última columna alterna en bloques de 1 = $R$: V, F, V, F, V, F, V, F

Answer: Las 8 filas son VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF. Cada combinación aparece exactamente una vez y no falta ninguna.

Una expresión con tres variables

Construye la tabla de verdad de $(P \land Q) \lor \neg R$. ¿En cuántas filas es verdadera?

Preparar 8 filas: Usa el orden del ejemplo anterior: $P$ en bloques de 4, $Q$ en bloques de 2, $R$ alternando = 8 filas

Columna auxiliar $P \land Q$: Y solo es verdadero cuando $P$ y $Q$ son verdaderos a la vez: filas 1 y 2 = $P \land Q$: V, V, F, F, F, F, F, F

Columna auxiliar $\neg R$: Invierte $R$: V, F, V, F, V, F, V, F se convierte en F, V, F, V, F, V, F, V = $\neg R$: F, V, F, V, F, V, F, V

Combinar con O: Una fila es verdadera si al menos una columna auxiliar tiene V: filas 1, 2, 4, 6, 8 = Final: V, V, F, V, F, V, F, V

Contar las filas verdaderas: Cuenta las V de la columna final = 5 filas

Answer: La expresión es verdadera en 5 de las 8 filas y falsa en las filas 3, 5 y 7.

¿Tautología, contradicción o ninguna?

Clasifica $P \lor \neg P$, $P \land \neg P$ y $(P \land Q) \lor \neg P$.

Hallar $\neg P$: Con una sola variable hay $2^1 = 2$ filas. $P$: V, F, así que $\neg P$: F, V = $\neg P$: F, V

Comprobar $P \lor \neg P$: V O F = V y F O V = V = Todo V: tautología

Comprobar $P \land \neg P$: V Y F = F y F Y V = F = Todo F: contradicción

Comprobar $(P \land Q) \lor \neg P$: 4 filas. $P \land Q$: V, F, F, F. $\neg P$: F, F, V, V. O: V, F, V, V = Mezclado: ninguna

Answer: $P \lor \neg P$ es una tautología, $P \land \neg P$ es una contradicción y $(P \land Q) \lor \neg P$ no es ninguna de las dos, porque es falsa en la fila 2.

Comprobar la equivalencia (De Morgan)

¿Son equivalentes $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \lor \neg Q$? ¿Y $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \land \neg Q$?

Columna final de $\neg(P \land Q)$: $P \land Q$: V, F, F, F. Se invierte = F, V, V, V

Columna final de $\neg P \lor \neg Q$: $\neg P$: F, F, V, V. $\neg Q$: F, V, F, V. O fila por fila = F, V, V, V

Comparar cada fila: F = F, V = V, V = V, V = V = Iguales en las 4 filas: equivalentes

Columna final de $\neg P \land \neg Q$: $\neg P$: F, F, V, V Y $\neg Q$: F, V, F, V = F, F, F, V: distinta en las filas 2 y 3

Answer: $\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ (una de las leyes de De Morgan). Pero $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \land \neg Q$ no son equivalentes: basta con una fila distinta.

Una tabla de verdad es la forma más fiable de comprobar un enunciado lógico, porque no se deja ningún caso: - **Programación**: antes de publicar una condición como (socio O cupón) Y NO bloqueado, los testers comprueban todas las combinaciones de entradas - **Electrónica**: los ingenieros diseñan circuitos con tablas de verdad y sustituyen un circuito complicado por otro más sencillo y barato que hace lo mismo - **Seguridad y alarmas**: una alarma con 4 sensores tiene $2^4 = 16$ estados posibles, y en cada uno de ellos debe reaccionar correctamente - **Argumentos y debates**: una tabla de verdad muestra si dos frases dicen de verdad lo mismo o solo se parecen - **Acertijos y juegos**: los acertijos lógicos se resuelven descartando las filas que no pueden ser verdaderas Ya sabes cómo funcionan Y, O y NO por separado. Las tablas de verdad te permiten combinarlos en cualquier expresión y seguir estando seguro del resultado.

Mistake: Escribir muy pocas filas, por ejemplo 6 filas para 3 variables

Why: El número de filas no es $2 \times n$. Cada variable duplica el número de combinaciones, así que 3 variables dan $2 \times 2 \times 2 = 8$ filas.

Correct: Usa siempre $2^n$ filas: 4 para 2 variables, 8 para 3 variables, 16 para 4 variables.

Mistake: Rellenar las columnas de las variables en un orden al azar

Why: Sin un sistema es fácil escribir dos veces la misma combinación y olvidar otra. Entonces la tabla da un veredicto equivocado.

Correct: Sigue el patrón fijo: primera columna en bloques de la mitad de las filas, cada columna siguiente en bloques la mitad de largos, última columna alternando V, F.

Mistake: Tratar $\neg P \land Q$ como si fuera $\neg(P \land Q)$

Why: Sin paréntesis, NO afecta solo a la variable que va justo después. La versión con paréntesis invierte el resultado de todo el Y.

Correct: Haz una columna auxiliar exactamente para lo que afecta el NO: solo $\neg P$, o primero $P \land Q$ y después su negación.

Mistake: Decir que dos expresiones son equivalentes tras comprobar solo algunas filas

Why: Dos expresiones pueden coincidir en varias filas y aun así diferir en una. $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \land \neg Q$ coinciden en las filas 1 y 4, pero no en las filas 2 y 3.

Correct: Compara las columnas finales en todas y cada una de las filas. Equivalentes significa idénticas en las $2^n$ filas.

Sistemas de alarma

Los ingenieros de seguridad enumeran cada estado de los sensores para asegurarse de que la alarma reacciona bien en todos los casos.

Una alarma con 3 sensores de puerta tiene $2^3 = 8$ estados, desde todas las puertas cerradas hasta todas abiertas.

Probar software

Los programadores prueban una condición con todas las combinaciones de entradas, que es exactamente una tabla de verdad.

Una regla de inicio de sesión (contraseña correcta Y NO bloqueado) necesita $2^2 = 4$ casos de prueba para comprobarse por completo.

Simplificar circuitos

Si dos circuitos tienen la misma tabla de verdad, los ingenieros pueden usar el que tiene menos piezas o piezas más baratas.

Las leyes de De Morgan permiten cambiar un NO-Y por un O de dos NO sin cambiar lo que hace el circuito.

Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones de valores de verdad y el valor de la expresión en cada fila

Con $n$ variables la tabla tiene $2^n$ filas: 4 para 2 variables, 8 para 3 variables

Rellena las columnas de las variables en un orden fijo: primero bloques de la mitad de las filas, la última columna alternando V, F

Usa columnas auxiliares para cada parte de la expresión, la más interna primero

Todo V en la columna final significa tautología; todo F, contradicción

Dos expresiones son equivalentes cuando sus columnas finales coinciden en todas las filas

Q: ¿Por qué cada variable nueva duplica las filas?

A: Cada fila que ya existe se puede continuar con la nueva variable en V o en F. Así, cada fila se divide en dos: 2 filas pasan a ser 4, 4 pasan a ser 8, y así sucesivamente, lo que da $2^n$.

Q: ¿Importa el orden de las filas?

A: Cualquier orden es correcto siempre que cada combinación aparezca exactamente una vez. El orden estándar (que empieza con todo V) facilita comprobar y comparar tablas. Algunos libros empiezan por F; las filas son las mismas, solo que en orden inverso. Las tablas interactivas de esta lección usan el orden estándar.

Q: ¿Cómo se llama una expresión que no es ni tautología ni contradicción?

A: Se llama **contingencia**: su valor depende de las entradas. La mayoría de las expresiones cotidianas, como $P \land Q$, son contingencias.

Q: ¿Siempre necesito columnas auxiliares?

A: No son obligatorias, pero evitan la mayoría de los errores. Con práctica puedes juntar pasos pequeños de cabeza, pero con 3 variables o paréntesis dentro de paréntesis, las columnas auxiliares son la forma más segura.

Salir de la presentación

Tablas de verdad

1 / 14

Lógica y Conjuntos / Lógica booleana

Tablas de verdad

Aprende a construir paso a paso la tabla de verdad de una expresión compuesta y a usarla para encontrar tautologías, contradicciones y expresiones equivalentes.

Intermedio25 min

Usa las flechas o la barra espaciadora para navegar