¿Importa el orden de las filas?

Cualquier orden es correcto siempre que cada combinación aparezca exactamente una vez. El orden estándar (que empieza con todo V) facilita comprobar y comparar tablas. Algunos libros empiezan por F; las filas son las mismas, solo que en orden inverso. Las tablas interactivas de esta lección usan el orden estándar.

¿Cómo se llama una expresión que no es ni tautología ni contradicción?

Se llama **contingencia**: su valor depende de las entradas. La mayoría de las expresiones cotidianas, como $P \land Q$, son contingencias.

¿Siempre necesito columnas auxiliares?

No son obligatorias, pero evitan la mayoría de los errores. Con práctica puedes juntar pasos pequeños de cabeza, pero con 3 variables o paréntesis dentro de paréntesis, las columnas auxiliares son la forma más segura.

Recursos para profesores

Tablas de verdad

Aprende a construir paso a paso la tabla de verdad de una expresión compuesta y a usarla para encontrar tautologías, contradicciones y expresiones equivalentes.

Intermedio25 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las variables de una expresión y muestra, en cada fila, el valor de la expresión completa.

¿Cuántas filas? Cada variable puede ser V (verdadero) o F (falso), así que cada variable nueva duplica el número de filas:

\text{filas} = 2^n \quad (n = \text{número de variables})

Así, 2 variables necesitan

2^2 = 4

filas y 3 variables necesitan

2^3 = 8

filas.

Construir una tabla en 4 pasos:

1.Cuenta las variables y escribe $2^n$ filas vacías.
2.Rellena las columnas de las variables en un orden fijo: la primera columna es mitad V y luego mitad F; cada columna siguiente cambia el doble de veces; la última columna alterna V, F, V, F.
3.Añade una columna auxiliar para cada parte de la expresión, empezando por la más interna (un NO sobre una sola variable, después los paréntesis).
4.Combina las columnas auxiliares para obtener la columna final.

Ejemplo:

P \land \neg Q

$P$	$Q$	$\neg Q$	$P \land \neg Q$
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	F

La columna final lo dice todo: esta expresión es verdadera en una sola fila, cuando

P

es verdadero y

Q

es falso.

Cómo leer la columna final:

Todo V: la expresión es una tautología (siempre verdadera).
Todo F: es una contradicción (siempre falsa).
Dos expresiones con la misma columna final en todas las filas son lógicamente equivalentes.

Pruébalo ahora

¿Cuántas filas tiene una tabla de verdad con 3 variables?

Ejemplos resueltos

Construye la tabla de verdad de $P \lor \neg Q$ .

Contar las filas

Hay 2 variables, $P$ y $Q$ , así que necesitamos $2^2 = 4$ filas

Rellenar las columnas de las variables

$P$ : V, V, F, F (mitad V, mitad F). $Q$ : V, F, V, F (alternando) → Las 4 combinaciones aparecen una vez

Añadir la columna auxiliar $\neg Q$

Invierte cada valor de $Q$ : V, F, V, F se convierte en F, V, F, V → $\neg Q$ : F, V, F, V

Combinar con O

Fila por fila: V O F = V, V O V = V, F O F = F, F O V = V → $P \lor \neg Q$ : V, V, F, V

Respuesta: La columna final es V, V, F, V. La expresión solo es falsa en la fila 3, donde $P$ es falso y $Q$ es verdadero.

Errores comunes

Escribir muy pocas filas, por ejemplo 6 filas para 3 variables

Por qué está mal: El número de filas no es $2 \times n$ . Cada variable duplica el número de combinaciones, así que 3 variables dan $2 \times 2 \times 2 = 8$ filas.

Correcto: Usa siempre $2^n$ filas: 4 para 2 variables, 8 para 3 variables, 16 para 4 variables.

Rellenar las columnas de las variables en un orden al azar

Por qué está mal: Sin un sistema es fácil escribir dos veces la misma combinación y olvidar otra. Entonces la tabla da un veredicto equivocado.

Correcto: Sigue el patrón fijo: primera columna en bloques de la mitad de las filas, cada columna siguiente en bloques la mitad de largos, última columna alternando V, F.

Tratar $\neg P \land Q$ como si fuera $\neg(P \land Q)$

Por qué está mal: Sin paréntesis, NO afecta solo a la variable que va justo después. La versión con paréntesis invierte el resultado de todo el Y.

Correcto: Haz una columna auxiliar exactamente para lo que afecta el NO: solo $\neg P$ , o primero $P \land Q$ y después su negación.

Decir que dos expresiones son equivalentes tras comprobar solo algunas filas

Por qué está mal: Dos expresiones pueden coincidir en varias filas y aun así diferir en una. $\neg(P \land Q)$ y $\neg P \land \neg Q$ coinciden en las filas 1 y 4, pero no en las filas 2 y 3.

Correcto: Compara las columnas finales en todas y cada una de las filas. Equivalentes significa idénticas en las $2^n$ filas.

Visual interactivo

Tabla de verdad

ExpresiónP ∧ Q ∨ ¬R

P	Q	R	P ∧ Q	¬R	P ∧ Q ∨ ¬R
V	V	V	V	F	V
V	V	F	V	V	V
V	F	V	F	F	F
V	F	F	F	V	V
F	V	V	F	F	F
F	V	F	F	V	V
F	F	V	F	F	F
F	F	F	F	V	V

V= VerdaderoF= Falso

Tabla de verdad

ExpresiónP ∨ ¬Q

P	Q	P ∨ ¬Q
V	V
V	F
F	V
F	F

V= VerdaderoF= Falso

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuántas filas tiene una tabla de verdad con 3 variables?

Por qué es importante

Una tabla de verdad es la forma más fiable de comprobar un enunciado lógico, porque no se deja ningún caso:

Programación: antes de publicar una condición como (socio O cupón) Y NO bloqueado, los testers comprueban todas las combinaciones de entradas
Electrónica: los ingenieros diseñan circuitos con tablas de verdad y sustituyen un circuito complicado por otro más sencillo y barato que hace lo mismo
Seguridad y alarmas: una alarma con 4 sensores tiene $2^4 = 16$ estados posibles, y en cada uno de ellos debe reaccionar correctamente
Argumentos y debates: una tabla de verdad muestra si dos frases dicen de verdad lo mismo o solo se parecen
Acertijos y juegos: los acertijos lógicos se resuelven descartando las filas que no pueden ser verdaderas

Ya sabes cómo funcionan Y, O y NO por separado. Las tablas de verdad te permiten combinarlos en cualquier expresión y seguir estando seguro del resultado.

Aplicaciones del mundo real

Sistemas de alarma

Los ingenieros de seguridad enumeran cada estado de los sensores para asegurarse de que la alarma reacciona bien en todos los casos.

Ejemplo:

Una alarma con 3 sensores de puerta tiene $2^3 = 8$ estados, desde todas las puertas cerradas hasta todas abiertas.

1Inténtalo tú mismo

Una alarma de casa tiene 4 sensores, y cada uno está encendido (V) o apagado (F). La alarma suena si al menos un sensor está encendido (O).

¿Cuántas filas tiene la tabla de verdad y en cuántas de ellas suena la alarma?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de filas como una potencia de 2:

Probar software

Los programadores prueban una condición con todas las combinaciones de entradas, que es exactamente una tabla de verdad.

Ejemplo:

Una regla de inicio de sesión (contraseña correcta Y NO bloqueado) necesita $2^2 = 4$ casos de prueba para comprobarse por completo.

2Inténtalo tú mismo

Una tienda en línea hace un descuento si se cumple $(M \lor C) \land \neg B$ , donde $M$ = es socio, $C$ = tiene un cupón, $B$ = la cuenta está bloqueada.

¿En cuántas de las combinaciones de entradas recibe el cliente el descuento?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de casos de prueba como una potencia de 2:

Simplificar circuitos

Si dos circuitos tienen la misma tabla de verdad, los ingenieros pueden usar el que tiene menos piezas o piezas más baratas.

Ejemplo:

Las leyes de De Morgan permiten cambiar un NO-Y por un O de dos NO sin cambiar lo que hace el circuito.

3Inténtalo tú mismo

El circuito A calcula $\neg(P \lor Q)$ . El circuito B calcula $\neg P \land \neg Q$ .

¿Dan los dos circuitos siempre la misma salida?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de filas como una potencia de 2:

Puntos clave

1Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones de valores de verdad y el valor de la expresión en cada fila
2Con $n$ variables la tabla tiene $2^n$ filas: 4 para 2 variables, 8 para 3 variables
3Rellena las columnas de las variables en un orden fijo: primero bloques de la mitad de las filas, la última columna alternando V, F
4Usa columnas auxiliares para cada parte de la expresión, la más interna primero
5Todo V en la columna final significa tautología; todo F, contradicción
6Dos expresiones son equivalentes cuando sus columnas finales coinciden en todas las filas

Preguntas frecuentes

Cada fila que ya existe se puede continuar con la nueva variable en V o en F. Así, cada fila se divide en dos: 2 filas pasan a ser 4, 4 pasan a ser 8, y así sucesivamente, lo que da

2^n

Glosario

Tabla de verdad: Una tabla que muestra el valor de una expresión para cada combinación de sus variables
Expresión compuesta: Una expresión formada por variables y operadores, como $(P \land Q) \lor \neg R$
Columna auxiliar: Una columna extra para una parte de la expresión, que sirve para construir la columna final paso a paso
Tautología: Una expresión que es verdadera en todas las filas, como $P \lor \neg P$
Contradicción: Una expresión que es falsa en todas las filas, como $P \land \neg P$
Lógicamente equivalentes: Dos expresiones con el mismo valor en todas las filas, se escribe con $\equiv$

Tarjeta de fórmulas

Número de filas

\text{filas} = 2^n

$n$ es el número de variables: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$

Tautología

P \lor \neg P

Siempre verdadera: la columna final es toda V

Contradicción

P \land \neg P

Siempre falsa: la columna final es toda F

Leyes de De Morgan

\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q, \quad \neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q

Dos equivalencias que puedes demostrar con una tabla de verdad

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