Contrarrecíproca

La **contrarrecíproca** de un enunciado condicional "Si $p$, entonces $q$" ($p \to q$) es la proposición "Si no $q$, entonces no $p$": $$\neg q \to \neg p$$ Para construirla haces **dos cosas**: intercambias la hipótesis y la conclusión, y niegas las dos. **Dato clave:** una proposición y su contrarrecíproca son **lógicamente equivalentes**. Siempre son las dos verdaderas o las dos falsas. La tabla de verdad lo muestra fila por fila (V = verdadero, F = falso): $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}$$ Las dos últimas columnas son idénticas, así que escribimos $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. (La tabla interactiva de esta lección lo comprueba por ti: su última columna, $(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)$, vale V en todas las filas.) **Las cuatro proposiciones relacionadas** con $p \to q$: - **Original**: $p \to q$ - **Recíproca**: $q \to p$ (solo intercambiar) - **Inversa**: $\neg p \to \neg q$ (solo negar) - **Contrarrecíproca**: $\neg q \to \neg p$ (intercambiar y negar) La original y la contrarrecíproca siempre coinciden. La recíproca y la inversa también coinciden siempre entre sí, porque la inversa es la contrarrecíproca de la recíproca.

Formar una contrarrecíproca

Escribe la contrarrecíproca de: "Si un número es divisible entre $10$, entonces termina en $0$."

Identifica la hipótesis $p$ y la conclusión $q$: $p$: un número es divisible entre $10$. $q$: termina en $0$. = Dos partes encontradas

Niega las dos partes: $\neg p$: el número no es divisible entre $10$. $\neg q$: no termina en $0$. = Las dos partes negadas

Intercambia el orden y escribe $\neg q \to \neg p$: Pon primero la conclusión negada y después la hipótesis negada. = Si un número no termina en $0$, entonces no es divisible entre $10$.

Answer: Si un número no termina en $0$, entonces no es divisible entre $10$. Igual que la original, esta proposición es verdadera: por ejemplo, $73$ no termina en $0$ y $73 \div 10 = 7{,}3$ no es un número entero.

Las cuatro proposiciones relacionadas

Parte de "Si una figura es un cuadrado, entonces tiene cuatro ángulos rectos." Escribe la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca, y decide si cada una es verdadera.

Comprueba la original $p \to q$: Todo cuadrado tiene cuatro ángulos rectos. = Verdadera

Recíproca $q \to p$: Si una figura tiene cuatro ángulos rectos, entonces es un cuadrado. Un rectángulo de $3$ por $5$ tiene cuatro ángulos rectos pero no es un cuadrado. = Falsa

Inversa $\neg p \to \neg q$: Si una figura no es un cuadrado, entonces no tiene cuatro ángulos rectos. El mismo rectángulo de $3$ por $5$ es un contraejemplo. = Falsa

Contrarrecíproca $\neg q \to \neg p$: Si una figura no tiene cuatro ángulos rectos, entonces no es un cuadrado. = Verdadera

Answer: La original y la contrarrecíproca son verdaderas; la recíproca y la inversa son falsas. Un solo contraejemplo (el rectángulo) tumba a la vez la recíproca y la inversa, porque son equivalentes entre sí.

Demostrar la equivalencia con una tabla de verdad

Demuestra que $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ tienen el mismo valor de verdad en todos los casos posibles.

Escribe todas las combinaciones de $p$ y $q$: $(V,V)$, $(V,F)$, $(F,V)$, $(F,F)$ = 4 filas

Completa $p \to q$: Un condicional solo es falso cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa: fila $(V,F)$. = $V, F, V, V$

Completa $\neg q$ y $\neg p$: Cambia cada valor: $\neg q$ es $F, V, F, V$ y $\neg p$ es $F, F, V, V$. = Dos columnas auxiliares

Completa $\neg q \to \neg p$: Solo es falsa donde $\neg q$ vale $V$ y $\neg p$ vale $F$, y eso solo ocurre en la fila $(V,F)$. = $V, F, V, V$

Compara las dos columnas: Las dos columnas dicen $V, F, V, V$. = Idénticas en las 4 filas

Answer: Las columnas coinciden en todas las filas, así que $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. La proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes.

Usar la contrarrecíproca con un número

La regla "Si un número es divisible entre $6$, entonces es divisible entre $3$" es verdadera. Usa su contrarrecíproca para decidir si $2750$ es divisible entre $6$.

Escribe la contrarrecíproca: Intercambia y niega. = Si un número no es divisible entre $3$, entonces no es divisible entre $6$.

Comprueba la divisibilidad entre $3$ con la suma de las cifras: $2 + 7 + 5 + 0 = 14$, y $14$ no es divisible entre $3$. = $2750$ no es divisible entre $3$

Compruébalo con una división: $2750 = 3 \times 916 + 2$ = Resto $2$

Aplica la contrarrecíproca: La hipótesis "no es divisible entre $3$" se cumple para $2750$. = $2750$ no es divisible entre $6$

Answer: $2750$ no es divisible entre $6$. Fíjate en que $2750$ es par, así que comprobar solo la divisibilidad entre $2$ no habría resuelto la pregunta. La contrarrecíproca sí.

Si n al cuadrado es par, entonces n es par

Explica por qué "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" es verdadera para todo número entero $n$ fijándote en su contrarrecíproca.

Escribe la contrarrecíproca: En los números enteros, no par significa impar. = Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar.

Escribe un número impar de forma general: $n = 2k + 1$ para algún número entero $k$, así que $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Saca factor común $2$: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ = El doble de un entero más $1$, así que $n^2$ es impar

Comprueba con $n = 7$: $k = 3$: $7^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ = $49$ es impar

Concluye: La contrarrecíproca es verdadera y es equivalente a la original. = La original es verdadera

Answer: Todo número impar tiene un cuadrado impar, así que la contrarrecíproca es verdadera y, por tanto, la proposición original también. El camino directo (partiendo de $n^2$ par) es mucho más difícil. Demostrar una proposición de esta forma se llama demostración por contrarrecíproca, que verás en el tema de demostraciones.

La contrarrecíproca te da una segunda puerta para entrar en la misma proposición, y a veces esa puerta se abre mucho más fácilmente: - **Números**: para demostrar que $2750$ no es divisible entre $6$, basta con ver que no es divisible entre $3$ - **Comprobar tu trabajo**: si una respuesta correcta tiene que ser un número entero y te sale $4{,}5$, sabes que algo ha fallado - **Programas informáticos**: "Si la contraseña es correcta, la puerta se abre." La puerta siguió cerrada, así que la contraseña era incorrecta - **Demostraciones**: más adelante demostrarás proposiciones como "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" demostrando su contrarrecíproca Saber qué proposiciones relacionadas coinciden también te protege de un error muy común: suponer que la recíproca de una proposición verdadera tiene que ser verdadera.

Mistake: Solo intercambiar las partes y llamar contrarrecíproca a $q \to p$

Why: Intercambiar sin negar da la recíproca, que puede ser falsa aunque la original sea verdadera.

Correct: Intercambia **y** niega las dos partes: la contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$.

Mistake: Negar "$x > 5$" como "$x < 5$"

Why: Se olvida el caso $x = 5$. Todo número es mayor que $5$ o no es mayor que $5$, y "no mayor" incluye al propio $5$.

Correct: La negación de $x > 5$ es $x \le 5$, y la negación de $x \ge 5$ es $x < 5$.

Mistake: Suponer que la recíproca de una proposición verdadera también es verdadera

Why: "Si $x = 4$, entonces $x^2 = 16$" es verdadera, pero "Si $x^2 = 16$, entonces $x = 4$" es falsa, porque $x = -4$ también sirve.

Correct: Solo la contrarrecíproca tiene garantizado el mismo valor de verdad que la original. La recíproca hay que comprobarla aparte.

Mistake: Perderse en las dobles negaciones

Why: Para "Si no llueve, entonces voy andando al colegio", hay quien escribe "Si no voy andando, entonces no no llueve" o se le escapa una negación por error.

Correct: La negación de "no llueve" es "llueve". La contrarrecíproca es: "Si no voy andando al colegio, entonces llueve."

Criterios de divisibilidad y dígitos de control

Muchos códigos y comprobaciones rápidas de cálculo mental se basan en criterios de divisibilidad, y la contrarrecíproca permite descartar un número sin dividir.

Regla: si un número es divisible entre $9$, la suma de sus cifras es divisible entre $9$. La suma de las cifras de $5812$ es $16$, así que $5812$ no puede ser divisible entre $9$.

Reglas de envío gratis

Las tiendas en línea suelen tener reglas como "Si tu pedido es de 50 dólares o más, el envío es gratis." La contrarrecíproca te dice qué significa un gasto de envío en tu factura.

Contrarrecíproca: si pagaste el envío, tu pedido era de menos de 50 dólares. Una factura con gastos de envío demuestra que el pedido no llegaba al límite.

Leer la clasificación de una liga

Los aficionados al deporte usan la contrarrecíproca para descartar cosas a partir de la clasificación sin ver todos los partidos.

En una liga con $3$ puntos por victoria, $1$ por empate y $0$ por derrota: si un equipo ganó sus $5$ partidos, tiene $15$ puntos. Un equipo con menos de $15$ puntos no ganó todos los partidos.

La contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$: intercambia las dos partes y niega las dos

Una proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes: siempre son las dos verdaderas o las dos falsas

La tabla de verdad lo muestra: $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ solo son falsas en la fila $p$ verdadero, $q$ falso

La recíproca $q \to p$ y la inversa $\neg p \to \neg q$ coinciden entre sí, pero no necesariamente con la original

Niega con cuidado: lo contrario de $x > 5$ es $x \le 5$, y lo contrario de impar es par

Cuando una proposición es difícil de comprobar directamente, comprueba su contrarrecíproca, por ejemplo "si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar"

Q: ¿Por qué la contrarrecíproca siempre es verdadera cuando la original es verdadera?

A: La proposición $p \to q$ dice: siempre que ocurre $p$, ocurre $q$. Entonces, si $q$ no ocurrió, $p$ tampoco pudo ocurrir, porque si no $q$ habría seguido. Eso es exactamente $\neg q \to \neg p$. La tabla de verdad lo confirma en los cuatro casos.

Q: ¿Qué diferencia hay entre la inversa y la contrarrecíproca?

A: Las dos niegan las dos partes, pero la inversa mantiene el orden ($\neg p \to \neg q$) mientras que la contrarrecíproca además lo intercambia ($\neg q \to \neg p$). La contrarrecíproca es equivalente a la original; la inversa es equivalente a la recíproca.

Q: Si la proposición original es falsa, ¿la contrarrecíproca también es falsa?

A: Sí. Son equivalentes, así que siempre tienen el mismo valor de verdad. "Si un número es par, entonces es divisible entre $4$" es falsa ($6$ es un contraejemplo), y también lo es "Si un número no es divisible entre $4$, entonces no es par", con el mismo contraejemplo $6$.

Q: ¿La contrarrecíproca es lo mismo que una demostración por reducción al absurdo?

A: No. Con la contrarrecíproca demuestras directamente $\neg q \to \neg p$ en lugar de $p \to q$. Una reducción al absurdo supone que toda la proposición es falsa y llega a un resultado imposible. Los dos métodos aparecen en el tema de demostraciones.

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Contrarrecíproca

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Lógica y Conjuntos / Razonamiento lógico

Contrarrecíproca

Aprende a formar la contrarrecíproca de un enunciado condicional "si... entonces", por qué siempre tiene el mismo valor de verdad que la proposición original y cómo usarla para razonar con números.

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