¿Qué diferencia hay entre la inversa y la contrarrecíproca?

Las dos niegan las dos partes, pero la inversa mantiene el orden ($\neg p \to \neg q$) mientras que la contrarrecíproca además lo intercambia ($\neg q \to \neg p$). La contrarrecíproca es equivalente a la original; la inversa es equivalente a la recíproca.

Si la proposición original es falsa, ¿la contrarrecíproca también es falsa?

Sí. Son equivalentes, así que siempre tienen el mismo valor de verdad. "Si un número es par, entonces es divisible entre $4$" es falsa ($6$ es un contraejemplo), y también lo es "Si un número no es divisible entre $4$, entonces no es par", con el mismo contraejemplo $6$.

¿La contrarrecíproca es lo mismo que una demostración por reducción al absurdo?

No. Con la contrarrecíproca demuestras directamente $\neg q \to \neg p$ en lugar de $p \to q$. Una reducción al absurdo supone que toda la proposición es falsa y llega a un resultado imposible. Los dos métodos aparecen en el tema de demostraciones.

Recursos para profesores

Contrarrecíproca

Q: ¿Por qué la contrarrecíproca siempre es verdadera cuando la original es verdadera?

La proposición $p \to q$ dice: siempre que ocurre $p$, ocurre $q$. Entonces, si $q$ no ocurrió, $p$ tampoco pudo ocurrir, porque si no $q$ habría seguido. Eso es exactamente $\neg q \to \neg p$. La tabla de verdad lo confirma en los cuatro casos.

Aprende a formar la contrarrecíproca de un enunciado condicional "si... entonces", por qué siempre tiene el mismo valor de verdad que la proposición original y cómo usarla para razonar con números.

Intermedio25 minLección

Ficha imprimible

Definición

La contrarrecíproca de un enunciado condicional "Si

p

, entonces

q

" (

p \to q

) es la proposición "Si no

q

, entonces no

p

\neg q \to \neg p

Para construirla haces dos cosas: intercambias la hipótesis y la conclusión, y niegas las dos.

Dato clave: una proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes. Siempre son las dos verdaderas o las dos falsas. La tabla de verdad lo muestra fila por fila (V = verdadero, F = falso):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}

Las dos últimas columnas son idénticas, así que escribimos

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (La tabla interactiva de esta lección lo comprueba por ti: su última columna,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, vale V en todas las filas.)

Las cuatro proposiciones relacionadas con

p \to q

Original: $p \to q$
Recíproca: $q \to p$ (solo intercambiar)
Inversa: $\neg p \to \neg q$ (solo negar)
Contrarrecíproca: $\neg q \to \neg p$ (intercambiar y negar)

La original y la contrarrecíproca siempre coinciden. La recíproca y la inversa también coinciden siempre entre sí, porque la inversa es la contrarrecíproca de la recíproca.

Pruébalo ahora

¿Cuál es la contrarrecíproca de

p \to q

Ejemplos resueltos

Escribe la contrarrecíproca de: "Si un número es divisible entre $10$ , entonces termina en $0$ ."

Identifica la hipótesis $p$ y la conclusión $q$

$p$ : un número es divisible entre $10$ . $q$ : termina en $0$ . → Dos partes encontradas

Niega las dos partes

$\neg p$ : el número no es divisible entre $10$ . $\neg q$ : no termina en $0$ . → Las dos partes negadas

Intercambia el orden y escribe $\neg q \to \neg p$

Pon primero la conclusión negada y después la hipótesis negada. → Si un número no termina en $0$ , entonces no es divisible entre $10$ .

Respuesta: Si un número no termina en $0$ , entonces no es divisible entre $10$ . Igual que la original, esta proposición es verdadera: por ejemplo, $73$ no termina en $0$ y $73 \div 10 = 7{,}3$ no es un número entero.

Errores comunes

Solo intercambiar las partes y llamar contrarrecíproca a $q \to p$

Por qué está mal: Intercambiar sin negar da la recíproca, que puede ser falsa aunque la original sea verdadera.

Correcto: Intercambia y niega las dos partes: la contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$ .

Negar " $x > 5$ " como " $x < 5$ "

Por qué está mal: Se olvida el caso $x = 5$ . Todo número es mayor que $5$ o no es mayor que $5$ , y "no mayor" incluye al propio $5$ .

Correcto: La negación de $x > 5$ es $x \le 5$ , y la negación de $x \ge 5$ es $x < 5$ .

Suponer que la recíproca de una proposición verdadera también es verdadera

Por qué está mal: "Si $x = 4$ , entonces $x^2 = 16$ " es verdadera, pero "Si $x^2 = 16$ , entonces $x = 4$ " es falsa, porque $x = -4$ también sirve.

Correcto: Solo la contrarrecíproca tiene garantizado el mismo valor de verdad que la original. La recíproca hay que comprobarla aparte.

Perderse en las dobles negaciones

Por qué está mal: Para "Si no llueve, entonces voy andando al colegio", hay quien escribe "Si no voy andando, entonces no no llueve" o se le escapa una negación por error.

Correcto: La negación de "no llueve" es "llueve". La contrarrecíproca es: "Si no voy andando al colegio, entonces llueve."

Visual interactivo

Tabla de verdad

Expresiónp → q ↔ ¬q → ¬p

p	q	p → q	¬q	¬p	¬q → ¬p	p → q ↔ ¬q → ¬p
V	V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V

V= VerdaderoF= Falso

Tabla de verdad

Seleccionar operador

p → q

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

V= VerdaderoF= Falso

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál es la contrarrecíproca de $p \to q$ ?

Problemas de práctica: Contrarrecíproca

1. ¿Cuál es la contrarrecíproca de p → q?
2. Regla: si un número es múltiplo de 4, entonces es par. Su contrarrecíproca dice: si un número no es par, entonces no es múltiplo de 4. ¿Cuál de los números 12, 15, 20, 28 puedes descartar solo con la contrarrecíproca?
3. Regla: si un número es divisible entre 10, entonces su última cifra es 0. Usa la contrarrecíproca para decidir si 7345 es divisible entre 10.
4. ¿Qué proposición es la contrarrecíproca de "Si un número termina en 5, entonces es divisible entre 5"?
5. Un condicional es verdadero. Aparte de la propia proposición, ¿cuántas de las otras tres proposiciones relacionadas (recíproca, inversa, contrarrecíproca) son seguro verdaderas también?
6. Proposición: si x = 3, entonces 2x = 6. Su contrarrecíproca es: si 2x ≠ 6, entonces x ≠ 3. Sabes que 2x = 14. Demuestra que x no es 3 y halla x.
7. Se sabe que un condicional p → q es verdadero. ¿Qué proposición relacionada tiene que ser verdadera también?
8. Usa 1 para verdadero y 0 para falso. En la fila de la tabla de verdad con p = 1 y q = 0, halla los valores de la contrarrecíproca y de la proposición original.
9. Una tabla de verdad de \neg q \to \neg p tiene 4 filas. ¿En cuántas de esas filas es verdadero \neg q \to \neg p?
10. Usa 1 para verdadero y 0 para falso. En la fila con p = 0 y q = 1, la proposición original p → q vale 1. Halla la contrarrecíproca y la recíproca en esta fila.
11. En la fila de la tabla de verdad donde p es verdadero y q es falso, ¿qué valores tienen p \to q y \neg q \to \neg p?
12. Regla: si un número es múltiplo de 6, entonces es múltiplo de 3. Para demostrar con la contrarrecíproca que 50 no es múltiplo de 6, compruebas que 50 no es múltiplo de 3. ¿Cuál es el resto al dividir 50 entre 3?
13. Regla: si un número es divisible entre 3, entonces la suma de sus cifras es divisible entre 3. Usa la contrarrecíproca para decidir si 2471 es divisible entre 3.
14. Proposición original: "Si x = 4, entonces x² = 16." ¿Cuáles de las cuatro proposiciones relacionadas (original, recíproca, inversa, contrarrecíproca) son verdaderas?
15. La proposición "Si 3x + 2 > 20, entonces x > 6" es verdadera. Su contrarrecíproca es "Si x ≤ 6, entonces 3x + 2 ≤ 20." Comprueba la contrarrecíproca para x = 6 y x = 5.
16. La contrarrecíproca de "Si n² es par, entonces n es par" es "Si n es impar, entonces n² es impar." Compruébala para n = 13: escribe 13² en la forma 2m + 1. ¿Cuánto vale m?
17. Para ver por qué se cumple "Si n² es par, entonces n es par", comprueba su contrarrecíproca "Si n es impar, entonces n² es impar" para n = 9, usando la forma n = 2k + 1.
18. Para números enteros a, b ≥ 0: "Si a + b ≥ 10, entonces a ≥ 5 o b ≥ 5." Su contrarrecíproca es "Si a < 5 y b < 5, entonces a + b < 10." Halla el mayor valor posible de a + b cuando a < 5 y b < 5.

Por qué es importante

La contrarrecíproca te da una segunda puerta para entrar en la misma proposición, y a veces esa puerta se abre mucho más fácilmente:

Números: para demostrar que $2750$ no es divisible entre $6$ , basta con ver que no es divisible entre $3$
Comprobar tu trabajo: si una respuesta correcta tiene que ser un número entero y te sale $4{,}5$ , sabes que algo ha fallado
Programas informáticos: "Si la contraseña es correcta, la puerta se abre." La puerta siguió cerrada, así que la contraseña era incorrecta
Demostraciones: más adelante demostrarás proposiciones como "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" demostrando su contrarrecíproca

Saber qué proposiciones relacionadas coinciden también te protege de un error muy común: suponer que la recíproca de una proposición verdadera tiene que ser verdadera.

Aplicaciones del mundo real

Criterios de divisibilidad y dígitos de control

Muchos códigos y comprobaciones rápidas de cálculo mental se basan en criterios de divisibilidad, y la contrarrecíproca permite descartar un número sin dividir.

Ejemplo:

Regla: si un número es divisible entre $9$ , la suma de sus cifras es divisible entre $9$ . La suma de las cifras de $5812$ es $16$ , así que $5812$ no puede ser divisible entre $9$ .

1Inténtalo tú mismo

Regla: si un número es divisible entre $9$ , entonces la suma de sus cifras es divisible entre $9$ . Un empleado comprueba el número de código $4372$ .

¿Es $4372$ divisible entre $9$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la suma de las cifras de $4372$ como una suma:

Reglas de envío gratis

Las tiendas en línea suelen tener reglas como "Si tu pedido es de 50 dólares o más, el envío es gratis." La contrarrecíproca te dice qué significa un gasto de envío en tu factura.

Ejemplo:

Contrarrecíproca: si pagaste el envío, tu pedido era de menos de 50 dólares. Una factura con gastos de envío demuestra que el pedido no llegaba al límite.

2Inténtalo tú mismo

Regla: si un pedido suma 50 dólares o más, el envío es gratis. Anna pagó gastos de envío. En su cesta había un libro de 18 dólares y una lámpara de 27 dólares.

¿Cuál fue el total de su pedido y cuánto le faltó para tener envío gratis?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el total del pedido como una suma:

Leer la clasificación de una liga

Los aficionados al deporte usan la contrarrecíproca para descartar cosas a partir de la clasificación sin ver todos los partidos.

Ejemplo:

En una liga con $3$ puntos por victoria, $1$ por empate y $0$ por derrota: si un equipo ganó sus $5$ partidos, tiene $15$ puntos. Un equipo con menos de $15$ puntos no ganó todos los partidos.

3Inténtalo tú mismo

Regla: si un equipo gana sus $5$ partidos, entonces tiene $15$ puntos ( $3$ por victoria, $1$ por empate, $0$ por derrota). El equipo Azul tiene $13$ puntos después de $5$ partidos.

¿Ganó el equipo Azul todos sus partidos? ¿Cuántos partidos pudo ganar como máximo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe los puntos de $5$ victorias como una multiplicación:

Puntos clave

1La contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$ : intercambia las dos partes y niega las dos
2Una proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes: siempre son las dos verdaderas o las dos falsas
3La tabla de verdad lo muestra: $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ solo son falsas en la fila $p$ verdadero, $q$ falso
4La recíproca $q \to p$ y la inversa $\neg p \to \neg q$ coinciden entre sí, pero no necesariamente con la original
5Niega con cuidado: lo contrario de $x > 5$ es $x \le 5$ , y lo contrario de impar es par
6Cuando una proposición es difícil de comprobar directamente, comprueba su contrarrecíproca, por ejemplo "si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar"

Preguntas frecuentes

La proposición

p \to q

dice: siempre que ocurre

p

, ocurre

q

. Entonces, si

q

no ocurrió,

p

tampoco pudo ocurrir, porque si no

q

habría seguido. Eso es exactamente

\neg q \to \neg p

. La tabla de verdad lo confirma en los cuatro casos.

Glosario

Contrarrecíproca: La proposición $\neg q \to \neg p$ que se obtiene de $p \to q$ intercambiando y negando las dos partes
Recíproca: La proposición $q \to p$ , que se obtiene intercambiando la hipótesis y la conclusión
Inversa: La proposición $\neg p \to \neg q$ , que se obtiene negando la hipótesis y la conclusión sin intercambiarlas
Negación: Lo contrario de una proposición, escrito $\neg p$ ; es verdadera exactamente cuando $p$ es falsa
Lógicamente equivalentes: Dos proposiciones que tienen el mismo valor de verdad en cada fila de una tabla de verdad, se escribe con $\equiv$

Tarjeta de fórmulas

Contrarrecíproca

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Intercambiar y negar las dos partes; siempre equivalente a la original

Recíproca e inversa

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Equivalentes entre sí, pero no necesariamente a la original

Negar desigualdades

\neg(x > a) \iff x \le a

La negación de "mayor que" es "menor o igual que"

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Tabla de verdad

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