Encontrar la hipótesis y la conclusión

Identifica la hipótesis y la conclusión: "Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces es un triángulo rectángulo."

Busca la parte que va después de "si": "un triángulo tiene un ángulo recto" = Hipótesis $p$: un triángulo tiene un ángulo recto

Busca la parte que va después de "entonces": "es un triángulo rectángulo" = Conclusión $q$: el triángulo es rectángulo

Escríbelo en símbolos: Primero va la condición y después el resultado = $p \to q$

Answer: Hipótesis: un triángulo tiene un ángulo recto. Conclusión: es un triángulo rectángulo. En símbolos: $p \to q$.

Reescribir una frase cotidiana

Escribe en la forma si... entonces: "Cojo el paraguas siempre que llueve."

Busca la condición: Las palabras "siempre que" introducen la condición: llueve = Hipótesis: llueve

Busca lo que se deduce de la condición: ¿Qué pasa cuando llueve? Cojo el paraguas = Conclusión: cojo el paraguas

Pon la hipótesis después de "si" y la conclusión después de "entonces": La frase empezaba por la conclusión, así que cambiamos el orden = Si llueve, entonces cojo el paraguas.

Answer: Si llueve, entonces cojo el paraguas. En la frase original, la hipótesis no siempre va al principio.

Reescribir una frase matemática y comprobarla

Escribe "Todo múltiplo de 10 es par" en la forma si... entonces y compruébalo con el número 70.

Busca de qué partimos: Partimos de un número que es múltiplo de 10 = $p$: un número es múltiplo de 10

Busca qué se afirma de él: Ese número es par = $q$: el número es par

Escribe el condicional: Si $p$, entonces $q$ = Si un número es múltiplo de 10, entonces es par.

Comprueba con 70: $70 = 10 \times 7$, así que la hipótesis es verdadera. $70 \div 2 = 35$, así que 70 es par = La conclusión es verdadera para 70

Answer: Si un número es múltiplo de 10, entonces es par. Para 70 las dos partes son verdaderas, así que este caso coincide con el enunciado.

¿Cuándo se rompe una promesa?

Una profesora dice: "Si sacas al menos 80 puntos, entonces te llevas una pegatina." Cuatro alumnos: Ana saca 85 y se lleva pegatina, Ben saca 90 y no se lleva ninguna, Cleo saca 70 y se lleva pegatina, Dan saca 60 y no se lleva ninguna. ¿Quién demuestra que la profesora rompió su promesa?

Marca la hipótesis $p$ de cada alumno: $p$: puntos $\geq 80$. Ana $85$, Ben $90$: verdadera. Cleo $70$, Dan $60$: falsa = $p$ solo es verdadera para Ana y Ben

Marca la conclusión $q$ de cada alumno: $q$: se lleva una pegatina. Ana y Cleo: verdadera. Ben y Dan: falsa = $q$ es falsa para Ben y Dan

Busca el único caso falso: $p$ verdadera y $q$ falsa: Ana: V, V. Ben: V, F. Cleo: F, V. Dan: F, F = Solo Ben tiene V y F

Answer: Solo Ben demuestra que se rompió la promesa: sacó al menos 80 puntos pero no recibió pegatina. Que Cleo reciba una pegatina con 70 puntos no la rompe, porque la promesa no dice nada sobre las notas por debajo de 80.

Refutar un enunciado con un contraejemplo

¿Es verdadero este enunciado? "Si $x^2 = 25$, entonces $x = 5$."

Busca valores que hagan verdadera la hipótesis: ¿Qué números al cuadrado dan 25? $5^2 = 25$ y $(-5)^2 = 25$ = $x = 5$ o $x = -5$

Comprueba la conclusión para cada valor: Para $x = 5$ la conclusión $x = 5$ es verdadera. Para $x = -5$ la conclusión $x = 5$ es falsa = $x = -5$ da V y F

Decide: Basta un caso con hipótesis verdadera y conclusión falsa = $x = -5$ es un contraejemplo

Answer: El enunciado es falso. El contraejemplo $x = -5$ hace verdadera la hipótesis $x^2 = 25$ pero falsa la conclusión $x = 5$.

Mistake: Tomar la primera parte de la frase como hipótesis, como en "Cojo el paraguas si llueve" → hipótesis "cojo el paraguas"

Why: La hipótesis es la parte que va después de la palabra "si" (o "cuando", "siempre que"), esté donde esté en la frase.

Correct: Busca primero la condición: "llueve". Después escribe: Si llueve, entonces cojo el paraguas.

Mistake: Pensar que $p \to q$ es falso siempre que la hipótesis es falsa

Why: Un condicional solo promete algo para el caso en que $p$ ocurre. Si $p$ no ocurre, la promesa no se puede romper.

Correct: $p \to q$ solo es falso en el caso V → F. Cuando $p$ es falsa, el condicional es verdadero, sea cual sea $q$.

Mistake: Usar como contraejemplo un número que no cumple la hipótesis, por ejemplo $x = 0$ contra "si $x > 3$, entonces $x > 1$"

Why: Para $x = 0$ la conclusión $x > 1$ es falsa, pero la hipótesis $x > 3$ también es falsa, así que este caso no puede refutar el enunciado.

Correct: Un contraejemplo tiene que hacer verdadera la hipótesis y falsa la conclusión. Para "si $x > 3$, entonces $x > 1$" no existe ese número, así que el enunciado es verdadero.

Mistake: Creer que un ejemplo que funciona demuestra el enunciado

Why: "Si $n$ es un número natural, entonces $2^n + 1$ es primo" funciona para $n = 1$ ($3$) y $n = 2$ ($5$), pero $n = 3$ da $9$, que no es primo.

Correct: Los ejemplos solo pueden apoyar un enunciado. Para demostrarlo necesitas un argumento general, pero un solo contraejemplo basta para refutarlo.

Compras por internet

Las tiendas usan reglas si... entonces para el envío gratis, los descuentos y los regalos. Para aprovechar la oferta, tienes que hacer verdadera la hipótesis.

"Si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis." Un pedido de 52 dólares hace verdadera la hipótesis, así que el envío tiene que ser gratis.

Comprobar afirmaciones en matemáticas

Los matemáticos ponen a prueba un condicional buscando un contraejemplo. Si encuentran uno, la afirmación es falsa.

"Si un número es primo, entonces es impar" es falso, porque 2 es primo y par.

Casas inteligentes y programación

Un termostato funciona con un condicional: si la habitación está más fría que un valor fijado, entonces se enciende la calefacción.

"Si la temperatura está por debajo de 18 °C, entonces se enciende la calefacción." A 17 °C la hipótesis es verdadera, así que la calefacción tiene que encenderse. A 20 °C no se promete nada.

Q: ¿Por qué "si $p$, entonces $q$" es verdadero cuando $p$ es falsa?

A: Porque el enunciado solo hace una promesa para el caso en que $p$ ocurre. Si dices "si llueve, cojo el paraguas" y no llueve, no has faltado a tu palabra, hagas lo que hagas.

Q: ¿Tiene que aparecer siempre la palabra "entonces"?

A: No. "Si llueve, me quedo en casa", "Me quedo en casa cuando llueve" y "La lluvia significa que me quedo en casa" son el mismo condicional. Escribirlo con "si" y "entonces" solo hace que se vean bien la hipótesis y la conclusión.

Q: ¿Cuántos contraejemplos necesito para demostrar que un enunciado es falso?

A: Solo uno. Un condicional afirma que la conclusión se cumple cada vez que la hipótesis es verdadera, así que un solo caso V → F basta para refutarlo.

Q: ¿Qué pasa si intercambio la hipótesis y la conclusión?

A: Obtienes un enunciado nuevo que puede tener otro valor de verdad. "Si una figura es un cuadrado, entonces es un rectángulo" es verdadero, pero "si una figura es un rectángulo, entonces es un cuadrado" es falso. Intercambiar y negar las partes es el tema de las próximas lecciones, Recíproca e inversa y Contrarrecíproco.