¿Tiene que aparecer siempre la palabra "entonces"?

No. "Si llueve, me quedo en casa", "Me quedo en casa cuando llueve" y "La lluvia significa que me quedo en casa" son el mismo condicional. Escribirlo con "si" y "entonces" solo hace que se vean bien la hipótesis y la conclusión.

¿Cuántos contraejemplos necesito para demostrar que un enunciado es falso?

Solo uno. Un condicional afirma que la conclusión se cumple cada vez que la hipótesis es verdadera, así que un solo caso V → F basta para refutarlo.

¿Qué pasa si intercambio la hipótesis y la conclusión?

Obtienes un enunciado nuevo que puede tener otro valor de verdad. "Si una figura es un cuadrado, entonces es un rectángulo" es verdadero, pero "si una figura es un rectángulo, entonces es un cuadrado" es falso. Intercambiar y negar las partes es el tema de las próximas lecciones, Recíproca e inversa y Contrarrecíproco.

Recursos para profesores

Enunciados condicionales (si... entonces)

Aprende a escribir enunciados en la forma si... entonces, a reconocer la hipótesis y la conclusión, y a decidir cuándo un condicional es falso.

Intermedio25 minLección

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Definición

Un enunciado condicional, también llamado condicional o implicación, une dos proposiciones con las palabras si y entonces:

\text{Si } p\text{, entonces } q.

La parte que va después de "si" es la hipótesis ( $p$ ), la condición.
La parte que va después de "entonces" es la conclusión ( $q$ ), lo que debe cumplirse.

En símbolos escribimos

p \to q

y leemos "si

p

, entonces

q

" o "

p

implica

q

Ejemplo: Si un número termina en 0, entonces es divisible entre 10.

Hipótesis $p$ : un número termina en 0
Conclusión $q$ : el número es divisible entre 10

Piensa en un condicional como en una promesa. La promesa solo se rompe cuando la hipótesis ocurre y la conclusión no. Por eso

p \to q

es falso en un único caso:

p

es verdadera y

q

es falsa. En todos los demás casos es verdadero.

$p$	$q$	$p \to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La tabla de verdad interactiva de esta lección muestra las mismas cuatro filas en orden inverso, empezando por F, F. Los dos órdenes son correctos.

Un caso en el que la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa se llama contraejemplo. Basta un solo contraejemplo para demostrar que un condicional es falso.

Pruébalo ahora

¿Cuál es la hipótesis del enunciado "Si llueve, entonces se suspende el partido de fútbol"?

Ejemplos resueltos

Identifica la hipótesis y la conclusión: "Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces es un triángulo rectángulo."

Busca la parte que va después de "si"

"un triángulo tiene un ángulo recto" → Hipótesis $p$ : un triángulo tiene un ángulo recto

Busca la parte que va después de "entonces"

"es un triángulo rectángulo" → Conclusión $q$ : el triángulo es rectángulo

Escríbelo en símbolos

Primero va la condición y después el resultado → $p \to q$

Respuesta: Hipótesis: un triángulo tiene un ángulo recto. Conclusión: es un triángulo rectángulo. En símbolos: $p \to q$ .

Errores comunes

Tomar la primera parte de la frase como hipótesis, como en "Cojo el paraguas si llueve" → hipótesis "cojo el paraguas"

Por qué está mal: La hipótesis es la parte que va después de la palabra "si" (o "cuando", "siempre que"), esté donde esté en la frase.

Correcto: Busca primero la condición: "llueve". Después escribe: Si llueve, entonces cojo el paraguas.

Pensar que $p \to q$ es falso siempre que la hipótesis es falsa

Por qué está mal: Un condicional solo promete algo para el caso en que $p$ ocurre. Si $p$ no ocurre, la promesa no se puede romper.

Correcto: $p \to q$ solo es falso en el caso V → F. Cuando $p$ es falsa, el condicional es verdadero, sea cual sea $q$ .

Usar como contraejemplo un número que no cumple la hipótesis, por ejemplo $x = 0$ contra "si $x > 3$ , entonces $x > 1$ "

Por qué está mal: Para $x = 0$ la conclusión $x > 1$ es falsa, pero la hipótesis $x > 3$ también es falsa, así que este caso no puede refutar el enunciado.

Correcto: Un contraejemplo tiene que hacer verdadera la hipótesis y falsa la conclusión. Para "si $x > 3$ , entonces $x > 1$ " no existe ese número, así que el enunciado es verdadero.

Creer que un ejemplo que funciona demuestra el enunciado

Por qué está mal: "Si $n$ es un número natural, entonces $2^n + 1$ es primo" funciona para $n = 1$ ( $3$ ) y $n = 2$ ( $5$ ), pero $n = 3$ da $9$ , que no es primo.

Correcto: Los ejemplos solo pueden apoyar un enunciado. Para demostrarlo necesitas un argumento general, pero un solo contraejemplo basta para refutarlo.

Visual interactivo

Tabla de verdad

Seleccionar operador

p → q

p	q	p → q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

V= VerdaderoF= Falso

Tabla de verdad

Seleccionar operador

p → q

p	q	p → q
F	F
F	V
V	F
V	V

V= VerdaderoF= Falso

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál es la hipótesis del enunciado "Si llueve, entonces se suspende el partido de fútbol"?

Problemas de práctica: Enunciados condicionales (si... entonces)

1. ¿Cuál es la hipótesis del enunciado "Si llueve, entonces se suspende el partido de fútbol"?
2. Completa el condicional para que sea verdadero: si x = 4, entonces 3x - 2 = \square. ¿Qué número va en la casilla?
3. Comprueba el condicional "Si x = 6, entonces 2x + 3 = 15" calculando 2x + 3 para x = 6.
4. ¿Qué frase es "Todos los cuadrados son rectángulos" escrita en la forma si... entonces?
5. La tabla de verdad de p → q tiene 4 filas. ¿En cuántas de estas filas es falso p → q?
6. La regla de una tienda: si tu pedido es de al menos 30 dólares, entonces el envío es gratis. Compras un libro de 12 dólares y un juego de 15 dólares. ¿Cuántos dólares más tienes que gastar para que el envío sea gratis?
7. ¿En qué caso es falso el condicional p → q?
8. El enunciado "Si un número natural es mayor que 5, entonces es mayor que 8" es falso. ¿Cuál es el número natural más pequeño que es un contraejemplo?
9. Afirmación: si un número natural es divisible entre 2, entonces es divisible entre 4. Encuentra el contraejemplo positivo más pequeño.
10. Mía dice: "Si termino los deberes, entonces voy al cine." No terminó los deberes, pero fue al cine de todos modos. ¿Su enunciado es verdadero o falso?
11. La regla de una tienda: si compras al menos 3 cuadernos, entonces cada cuaderno cuesta 2 dólares en lugar de 3 dólares. Compras 4 cuadernos. ¿Cuántos dólares pagas en total?
12. Enunciado: si un número es múltiplo de 6, entonces es múltiplo de 3. Comprueba el enunciado para el número 42: divide primero 42 entre 6 y después entre 3. ¿Cuánto es 42 ÷ 3?
13. Regla: si la temperatura está por debajo de 18 °C, entonces se enciende la calefacción. A las 7:00 la habitación está a 23 °C y la temperatura baja 2 °C cada hora. ¿Después de cuántas horas completas se enciende la calefacción por primera vez?
14. ¿Qué número es un contraejemplo del enunciado "Si un número es primo, entonces es impar"?
15. Afirmación: si n es un número natural mayor que 1, entonces n² + n + 1 es primo. ¿Cuál es el contraejemplo n más pequeño?
16. Afirmación: si n es un número natural positivo, entonces 2ⁿ + 1 es primo. Prueba n = 1, 2, 3 y encuentra el contraejemplo más pequeño.
17. Enunciado: si x > 2, entonces x² > 9. ¿Cuál de los números naturales 3, 4 y 5 es un contraejemplo?
18. Cuatro cartas tienen un número en una cara y un color en la otra. Ves: 4, 7, rojo, azul. Regla: si una carta tiene un número par en una cara, entonces su otra cara es roja. ¿Qué cartas tienes que dar la vuelta para comprobar la regla, y cuántas son?

Por qué es importante

Los condicionales están por todas partes, a menudo escondidos en frases normales:

Compras: "Si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis."
Reglas y juegos: "Si sacas un 6, entonces vuelves a tirar."
Ciencias: "Si se calienta agua a 100 °C al nivel del mar, entonces hierve."
Programación: toda aplicación está llena de órdenes como "si la contraseña es correcta, entonces abre la cuenta".
Matemáticas: casi todas las reglas y teoremas son condicionales, por ejemplo "si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces $a^2 + b^2 = c^2$ " (donde $c$ es el lado mayor).

En la lección Razonamiento deductivo usaste reglas si... entonces como premisas. Ahora vas a aprender cómo se construyen, cómo escribirlas tú mismo y cómo comprobarlas. Es el punto de partida para la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca, que vienen a continuación en las lecciones Recíproca e inversa y Contrarrecíproco.

Aplicaciones del mundo real

Compras por internet

Las tiendas usan reglas si... entonces para el envío gratis, los descuentos y los regalos. Para aprovechar la oferta, tienes que hacer verdadera la hipótesis.

Ejemplo:

"Si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis." Un pedido de 52 dólares hace verdadera la hipótesis, así que el envío tiene que ser gratis.

1Inténtalo tú mismo

Una tienda promete: si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis. En tu cesta tienes una camiseta de 18 dólares y una gorra de 15 dólares.

¿Cuántos dólares más tienes que gastar para que la hipótesis sea verdadera?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta tu total de 40:

Comprobar afirmaciones en matemáticas

Los matemáticos ponen a prueba un condicional buscando un contraejemplo. Si encuentran uno, la afirmación es falsa.

Ejemplo:

"Si un número es primo, entonces es impar" es falso, porque 2 es primo y par.

2Inténtalo tú mismo

Un compañero afirma: si un número natural es múltiplo de 3, entonces es impar.

¿Cuál es el contraejemplo positivo más pequeño?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los múltiplos de 3 son 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Escribe el segundo:

Casas inteligentes y programación

Un termostato funciona con un condicional: si la habitación está más fría que un valor fijado, entonces se enciende la calefacción.

Ejemplo:

"Si la temperatura está por debajo de 18 °C, entonces se enciende la calefacción." A 17 °C la hipótesis es verdadera, así que la calefacción tiene que encenderse. A 20 °C no se promete nada.

3Inténtalo tú mismo

La regla es: si la temperatura está por debajo de 18 °C, entonces se enciende la calefacción. A las 7:00 la habitación está a 22 °C y se enfría 3 °C cada hora.

¿Qué temperatura hay después de 2 horas, y está encendida la calefacción?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en 22 y resta 3 dos veces:

Puntos clave

1Un condicional tiene la forma "si $p$ , entonces $q$ ", que se escribe $p \to q$
2La hipótesis $p$ es la condición después de "si"; la conclusión $q$ es el resultado después de "entonces"
3Muchas frases esconden un condicional: "todo A es B" significa "si algo es un A, entonces es un B"
4 $p \to q$ solo es falso cuando $p$ es verdadera y $q$ es falsa (V → F); en los otros tres casos es verdadero
5Un contraejemplo hace verdadera la hipótesis y falsa la conclusión, y basta uno para refutar un enunciado
6Los ejemplos que funcionan apoyan un enunciado, pero no lo demuestran

Preguntas frecuentes

Porque el enunciado solo hace una promesa para el caso en que

p

ocurre. Si dices "si llueve, cojo el paraguas" y no llueve, no has faltado a tu palabra, hagas lo que hagas.

Glosario

Enunciado condicional: Un enunciado de la forma "si $p$ , entonces $q$ ", también llamado condicional
Hipótesis: La condición de un condicional, la parte después de "si" ( $p$ )
Conclusión: El resultado de un condicional, la parte después de "entonces" ( $q$ )
Implicación: Otro nombre del condicional; $p \to q$ se lee " $p$ implica $q$ "
Contraejemplo: Un caso en el que la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa; demuestra que un condicional es falso
Valor de verdad: Si un enunciado es verdadero (V) o falso (F)

Tarjeta de fórmulas

Condicional

p \to q

Se lee "si $p$, entonces $q$": $p$ es la hipótesis, $q$ la conclusión

Único caso falso

V \to F = F

Un condicional solo es falso cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa

Contraejemplo

p \text{ verdadera y } q \text{ falsa}

Basta un caso así para refutar $p \to q$

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