Sumas de números impares

Suma los primeros números impares: $1$, $1 + 3$, $1 + 3 + 5$, $1 + 3 + 5 + 7$. Formula una conjetura y úsala para predecir la suma de los $10$ primeros números impares.

Observa los casos: $1 = 1$, $1 + 3 = 4$, $1 + 3 + 5 = 9$, $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ = Sumas: $1, 4, 9, 16$

Busca un patrón: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$ = Cada suma es un cuadrado perfecto

Formula una conjetura: Con $n$ números impares la suma parece ser $n \times n$ = Suma de los $n$ primeros impares $= n^2$

Compruébala con un caso nuevo: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ = La conjetura supera la prueba

Úsala para predecir: $n = 10$: $10^2 = 100$ = $100$

Answer: Conjetura: la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$. La suma de los $10$ primeros impares debería ser $100$ (y esta conjetura de hecho está demostrada).

Refutar una conjetura con el cero y los negativos

Leo comprueba la afirmación "al duplicar un número siempre se hace más grande" con $3$, $10$ y $25$. ¿Es cierta la afirmación?

Revisa los casos de Leo: $3 \to 6$, $10 \to 20$, $25 \to 50$ = Los tres se hicieron más grandes

Prueba otro tipo de número: el cero: $2 \times 0 = 0$ = $0$ no es mayor que $0$

Prueba un número negativo: $2 \times (-5) = -10$, y $-10 < -5$ = El doble es más pequeño

Decide: Basta un contraejemplo = La afirmación es falsa

Answer: La afirmación es falsa: $0$ y $-5$ son contraejemplos. Una conjetura corregida sería "al duplicar un número positivo se hace más grande".

Diagonales de los polígonos

Un triángulo tiene $0$ diagonales, un cuadrilátero $2$, un pentágono $5$ y un hexágono $9$. Predice el número de diagonales de un octógono.

Haz una lista de los casos: $3$ lados: $0$, $4$ lados: $2$, $5$ lados: $5$, $6$ lados: $9$ = $0, 2, 5, 9$

Calcula las diferencias: $2 - 0 = 2$, $5 - 2 = 3$, $9 - 5 = 4$ = Las diferencias aumentan de $1$ en $1$

Continúa el patrón: Heptágono: $9 + 5 = 14$, octógono: $14 + 6 = 20$ = Predicción: $20$

Compruébalo con una fórmula que encaje en todos los casos: $\frac{n(n - 3)}{2}$: $\frac{6 \times 3}{2} = 9$, $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ = Los dos métodos dan $20$

Answer: Un octógono debería tener $20$ diagonales. Contarlas en un dibujo lo confirma.

Cuarenta casos y aun así falsa

Comprueba la conjetura "$n^2 + n + 41$ es siempre un número primo" para $n = 0, 1, 2, 3$ y después para $n = 40$.

Prueba valores pequeños: $n = 0$: $41$, $n = 1$: $43$, $n = 2$: $47$, $n = 3$: $53$ = Todos primos

Fíjate hasta dónde llega: Sigue dando primos hasta $n = 39$ = $40$ casos seguidos funcionan

Prueba $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41$ = $1681$

Comprueba si $1681$ es primo: $1681 = 41 \times 41$ = No es primo: un contraejemplo

Answer: La conjetura es falsa. $n = 40$ es un contraejemplo, aunque los $40$ primeros casos funcionaran todos.

Inductivo y deductivo, uno al lado del otro

Mía observa: $3 + 5 = 8$, $7 + 9 = 16$, $11 + 1 = 12$. ¿Qué puede concluir sobre la suma de dos números impares y cómo puede estar segura?

Razona de forma inductiva: $8$, $16$ y $12$ son todos pares = Conjetura: impar $+$ impar es par

Mira el límite: Tres casos no pueden comprobar todas las parejas de impares = De momento solo es probablemente cierta

Razona de forma deductiva: Los impares son $2a + 1$ y $2b + 1$: $(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$ = Siempre un múltiplo de $2$

Compara: Los ejemplos dieron la idea, el álgebra dio la demostración = Ahora es seguro

Answer: El razonamiento inductivo da la conjetura "impar $+$ impar es par". El razonamiento deductivo con $2(a + b + 1)$ la demuestra para todos los números impares.

Mistake: Pensar que una conjetura está demostrada porque funcionó en muchos casos

Why: Los ejemplos solo pueden apoyar una conjetura. $n^2 + n + 41$ es primo para $40$ valores seguidos y aun así falla en $n = 40$.

Correct: Llámala conjetura hasta que esté demostrada. Di "probablemente cierta", no "cierta".

Mistake: Creer que un solo contraejemplo no basta para rechazar una conjetura

Why: Una conjetura afirma algo sobre todos los casos. Si falla aunque sea un caso, la afirmación "siempre" es falsa.

Correct: Basta un contraejemplo. $2$ es primo y par, así que "todos los primos son impares" es falso.

Mistake: Probar solo números enteros positivos fáciles

Why: Muchas conjeturas fallan en $0$, en los números negativos o en las fracciones. "Elevar al cuadrado hace más grande un número" funciona para $2, 3, 10$ pero falla para $\frac{1}{2}$: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Correct: Prueba a propósito casos especiales: $0$, $1$, negativos, fracciones y números grandes.

Mistake: Confundir la inducción matemática con el razonamiento inductivo

Why: Los nombres se parecen, pero la inducción matemática es un método de demostración deductivo con un caso base y un paso inductivo.

Correct: El razonamiento inductivo formula una conjetura a partir de ejemplos. La inducción matemática demuestra una afirmación para todos los números naturales.

Previsión del tiempo

Los meteorólogos comparan el día de hoy con muchos días pasados que se le parecían. Lo que solía pasar después se convierte en la previsión, y por eso las previsiones dan probabilidades, no certezas.

Si en $80$ de $100$ días pasados con estas nubes y este viento llovió al día siguiente, la previsión anuncia un $80\%$ de probabilidad de lluvia.

Experimentos científicos

Los científicos repiten mediciones, buscan un patrón y enuncian una regla. Se confía en la regla mientras ningún experimento la contradiga.

Al colgar $1$, $2$ y $3$ pesas iguales de un muelle, se estira $3$ cm, $6$ cm y $9$ cm. La conjetura: $3$ cm de estiramiento por pesa. Con demasiadas pesas el muelle se deforma y la regla deja de cumplirse.

Organizar un torneo

En un torneo de todos contra todos, cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás. Los organizadores pueden hallar el número de partidos a partir de casos pequeños y una conjetura.

$2$ equipos juegan $1$ partido, $3$ equipos juegan $3$ y $4$ equipos juegan $6$. La conjetura $\frac{n(n - 1)}{2}$ encaja en los tres casos, y aquí incluso se puede demostrar: cada uno de los $n$ equipos juega contra $n - 1$ rivales, y cada partido se cuenta dos veces.

Q: Si el razonamiento inductivo puede fallar, ¿por qué lo usamos?

A: Porque así encontramos ideas que vale la pena demostrar. El razonamiento deductivo necesita una afirmación de partida, y esa afirmación suele surgir al notar un patrón en ejemplos.

Q: ¿Cuántos ejemplos necesito para fiarme de una conjetura?

A: Ningún número de ejemplos da seguridad. $n^2 + n + 41$ funciona $40$ veces y luego falla. Más ejemplos, y más variados, hacen una conjetura más creíble, pero solo una demostración la hace segura.

Q: ¿La inducción matemática es un tipo de razonamiento inductivo?

A: No. A pesar del nombre, la inducción matemática es una demostración deductiva: demuestras un caso base y demuestras que cada caso implica el siguiente, así que la afirmación es segura para todos los números naturales.

Q: ¿Hay conjeturas famosas que nadie ha demostrado todavía?

A: Sí. La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que $2$ es la suma de dos primos, como $10 = 3 + 7$. Los ordenadores la han comprobado para todos los pares hasta $4 \times 10^{18}$, pero sigue sin demostrarse.