¿Cuántos ejemplos necesito para fiarme de una conjetura?

Ningún número de ejemplos da seguridad. $n^2 + n + 41$ funciona $40$ veces y luego falla. Más ejemplos, y más variados, hacen una conjetura más creíble, pero solo una demostración la hace segura.

¿La inducción matemática es un tipo de razonamiento inductivo?

No. A pesar del nombre, la inducción matemática es una demostración deductiva: demuestras un caso base y demuestras que cada caso implica el siguiente, así que la afirmación es segura para todos los números naturales.

¿Hay conjeturas famosas que nadie ha demostrado todavía?

Sí. La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que $2$ es la suma de dos primos, como $10 = 3 + 7$. Los ordenadores la han comprobado para todos los pares hasta $4 \times 10^{18}$, pero sigue sin demostrarse.

Recursos para profesores

Razonamiento inductivo

Aprende a formular una conjetura a partir de casos concretos, a comprobarla con casos nuevos y a refutarla con un contraejemplo.

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Definición

El razonamiento inductivo consiste en observar casos concretos, notar un patrón y hacer una suposición general sobre él. Esa suposición se llama conjetura.

El razonamiento inductivo funciona en cuatro pasos:

1.Observar casos concretos: $1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$
2.Formular una conjetura: la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$
3.Comprobarla con casos nuevos: $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ , sigue siendo cierta
4.Demostrarla o refutarla: una demostración prueba que siempre es cierta, un solo contraejemplo prueba que es falsa

Una conjetura obtenida por razonamiento inductivo solo es probablemente cierta, nunca segura. La expresión

n^2 + n + 41

da un número primo para

n = 0, 1, 2, \ldots, 39

, cuarenta casos seguidos, y sin embargo para

n = 40

1681 = 41 \times 41

, que no es primo.

El razonamiento deductivo va en sentido contrario: parte de hechos que se sabe que son ciertos y llega a una conclusión que tiene que ser cierta. El razonamiento inductivo encuentra ideas, el razonamiento deductivo las demuestra.

Cuidado con los nombres: la inducción matemática (del tema Demostraciones) es un método de demostración deductivo, no razonamiento inductivo.

Pruébalo ahora

¿Cuál de estos ejemplos es un razonamiento inductivo?

Ejemplos resueltos

Suma los primeros números impares: $1$ , $1 + 3$ , $1 + 3 + 5$ , $1 + 3 + 5 + 7$ . Formula una conjetura y úsala para predecir la suma de los $10$ primeros números impares.

Observa los casos

$1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ → Sumas: $1, 4, 9, 16$

Busca un patrón

$1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ , $16 = 4^2$ → Cada suma es un cuadrado perfecto

Formula una conjetura

Con $n$ números impares la suma parece ser $n \times n$ → Suma de los $n$ primeros impares $= n^2$

Compruébala con un caso nuevo

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ → La conjetura supera la prueba

Úsala para predecir

$n = 10$ : $10^2 = 100$

Respuesta: Conjetura: la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$ . La suma de los $10$ primeros impares debería ser $100$ (y esta conjetura de hecho está demostrada).

Errores comunes

Pensar que una conjetura está demostrada porque funcionó en muchos casos

Por qué está mal: Los ejemplos solo pueden apoyar una conjetura. $n^2 + n + 41$ es primo para $40$ valores seguidos y aun así falla en $n = 40$ .

Correcto: Llámala conjetura hasta que esté demostrada. Di "probablemente cierta", no "cierta".

Creer que un solo contraejemplo no basta para rechazar una conjetura

Por qué está mal: Una conjetura afirma algo sobre todos los casos. Si falla aunque sea un caso, la afirmación "siempre" es falsa.

Correcto: Basta un contraejemplo. $2$ es primo y par, así que "todos los primos son impares" es falso.

Probar solo números enteros positivos fáciles

Por qué está mal: Muchas conjeturas fallan en $0$ , en los números negativos o en las fracciones. "Elevar al cuadrado hace más grande un número" funciona para $2, 3, 10$ pero falla para $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Correcto: Prueba a propósito casos especiales: $0$ , $1$ , negativos, fracciones y números grandes.

Confundir la inducción matemática con el razonamiento inductivo

Por qué está mal: Los nombres se parecen, pero la inducción matemática es un método de demostración deductivo con un caso base y un paso inductivo.

Correcto: El razonamiento inductivo formula una conjetura a partir de ejemplos. La inducción matemática demuestra una afirmación para todos los números naturales.

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Explorador de sucesiones

Primer término (a₁ = 1)

Diferencia común (d = 2)

11,

13,

, ...

Fórmula

a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1

Fórmula de suma: S_8 = 8/2 × (2×1 + 7×2) = 64

Sumas parciales

S₁ = 1S₂ = 4S₃ = 9S₄ = 16S₅ = 25S₆ = 36S₇ = 49S₈ = 64

a_1

a_5

a_10

a_20

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Prueba estos:

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuál de estos ejemplos es un razonamiento inductivo?

Problemas de práctica: Razonamiento inductivo

1. ¿Cuál de estos ejemplos es un razonamiento inductivo?
2. Usa la conjetura "la suma de los n primeros números impares es n²" para hallar 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 sin sumar uno a uno.
3. Unos puntos se colocan en triángulos: la figura 1 tiene 1 punto, la figura 2 tiene 3, la figura 3 tiene 6 y la figura 4 tiene 10. Si el patrón continúa, ¿cuántos puntos tiene la figura 6?
4. ¿Qué número es un contraejemplo de la conjetura "todos los números primos son impares"?
5. Conjetura: "duplicar un número siempre lo hace más grande". ¿Qué número es igual a su doble y es, por tanto, un contraejemplo?
6. Un girasol mide 2 cm tras la semana 1, 5 cm tras la semana 2, 8 cm tras la semana 3 y 11 cm tras la semana 4. Si el patrón continúa, ¿cuánto medirá tras la semana 8 (en cm)?
7. Conjetura: la suma de los n primeros números impares es n². Compruébala con n = 5 y luego úsala para predecir la suma de los 20 primeros impares.
8. Tom suma 1 + 5, 9 + 3 y 15 + 7, obtiene siempre un número par y concluye: "la suma de dos impares siempre es par". ¿Qué tipo de razonamiento ha usado Tom?
9. Un triángulo tiene 0 diagonales, un cuadrilátero 2, un pentágono 5, un hexágono 9, un heptágono 14 y un octógono 20. Continúa el patrón: ¿cuántas diagonales tiene un eneágono (9 lados)?
10. Observa estos productos: 11 × 11 = 121, 111 × 111 = 12321, 1111 × 1111 = 1234321. Formula una conjetura y predice 11111 × 11111.
11. Lena afirma: "elevar un número al cuadrado siempre lo hace más grande". Comprueba su afirmación con 1/2: ¿cuánto es (1/2)²? Escribe la respuesta como fracción.
12. La expresión n² + n + 41 da un número primo para cada n de 0 a 39. Para n = 40 da 1681. ¿Qué afirmación es correcta?
13. En una fiesta, cada persona da la mano a cada una de las demás exactamente una vez. Con 2 personas hay 1 apretón de manos, con 3 personas hay 3 y con 4 personas hay 6. ¿Cuántos apretones hay con 10 personas?
14. Comprueba la conjetura "n² + n + 41 es siempre primo" paso a paso y halla el valor que la rompe en n = 40.
15. A partir de los casos 0, 2, 5, 9 (polígonos de 3 a 6 lados) formulamos la conjetura de que un polígono de n lados tiene (n(n - 3))/2 diagonales. Úsala: ¿cuántas diagonales tiene un polígono de 12 lados?
16. Sam observa: 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127, todos primos. Formula la conjetura: "si p es primo, entonces 2^p - 1 es primo". ¿Qué valor de p es un contraejemplo?
17. Coloca puntos en una circunferencia y une cada pareja de puntos con un segmento. Cuenta las regiones dentro del círculo: 1 punto da 1 región, 2 puntos dan 2, 3 puntos 4, 4 puntos 8, 5 puntos 16. Un dibujo cuidadoso con 6 puntos, colocados de modo que nunca se corten tres segmentos en un mismo punto, muestra 31 regiones. Comprueba la conjetura de la duplicación: ¿por cuántas regiones falla su predicción?
18. Conjetura: "la suma de tres números enteros consecutivos es siempre 3 veces el número del medio". Compruébala de forma inductiva y luego usa la versión deductiva para hallar 49 + 50 + 51.

Por qué es importante

La mayoría de las ideas nuevas empiezan con un razonamiento inductivo, en matemáticas y en la vida:

El tiempo: los meteorólogos comparan muchos días pasados con nubes, viento y presión parecidos y predicen lo que probablemente pasará mañana
La ciencia: una científica repite un experimento muchas veces y enuncia una ley que encaja con todos los resultados, hasta que un resultado nuevo la contradice
Las matemáticas: teoremas famosos empezaron como conjeturas encontradas al comprobar ejemplos; algunas, como la conjetura de Goldbach, siguen sin demostrarse
La vida diaria: si el autobús ha llegado tarde todas las mañanas de esta semana, mañana sales antes de casa

Conocer sus límites es igual de importante: un solo contraejemplo basta para tumbar una conjetura, da igual cuántos ejemplos la apoyaran.

Aplicaciones del mundo real

Previsión del tiempo

Los meteorólogos comparan el día de hoy con muchos días pasados que se le parecían. Lo que solía pasar después se convierte en la previsión, y por eso las previsiones dan probabilidades, no certezas.

Ejemplo:

Si en $80$ de $100$ días pasados con estas nubes y este viento llovió al día siguiente, la previsión anuncia un $80\%$ de probabilidad de lluvia.

1Inténtalo tú mismo

La temperatura por la mañana fue de $8°C$ el lunes, $10°C$ el martes, $12°C$ el miércoles y $14°C$ el jueves.

Si el patrón continúa, ¿qué temperatura hará el sábado por la mañana?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en los $14$ grados del jueves y suma $2$ días de $2$ grados:

Experimentos científicos

Los científicos repiten mediciones, buscan un patrón y enuncian una regla. Se confía en la regla mientras ningún experimento la contradiga.

Ejemplo:

Al colgar $1$ , $2$ y $3$ pesas iguales de un muelle, se estira $3$ cm, $6$ cm y $9$ cm. La conjetura: $3$ cm de estiramiento por pesa. Con demasiadas pesas el muelle se deforma y la regla deja de cumplirse.

2Inténtalo tú mismo

Un muelle se estira $3$ cm con $1$ pesa, $6$ cm con $2$ pesas y $9$ cm con $3$ pesas.

Según la conjetura, ¿cuánto se estirará con $7$ pesas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el estiramiento por pesa por el número de pesas:

Organizar un torneo

En un torneo de todos contra todos, cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás. Los organizadores pueden hallar el número de partidos a partir de casos pequeños y una conjetura.

Ejemplo:

$2$ equipos juegan $1$ partido, $3$ equipos juegan $3$ y $4$ equipos juegan $6$ . La conjetura $\frac{n(n - 1)}{2}$ encaja en los tres casos, y aquí incluso se puede demostrar: cada uno de los $n$ equipos juega contra $n - 1$ rivales, y cada partido se cuenta dos veces.

3Inténtalo tú mismo

El club de ajedrez de un instituto tiene $8$ jugadores. Cada jugador juega exactamente una vez contra cada uno de los demás.

¿Cuántas partidas se jugarán?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la conjetura $\frac{n(n - 1)}{2}$ con $n = 8$ :

Puntos clave

1El razonamiento inductivo va de casos concretos a una conjetura general
2Comprueba una conjetura con casos nuevos, sobre todo con $0$ , negativos, fracciones y números grandes
3Muchos ejemplos hacen que una conjetura sea probablemente cierta, pero nunca la demuestran
4Un solo contraejemplo basta para demostrar que una conjetura es falsa
5El razonamiento deductivo demuestra una conjetura: el inductivo encuentra la idea, el deductivo la hace segura
6La inducción matemática es un método de demostración deductivo, no razonamiento inductivo

Preguntas frecuentes

Porque así encontramos ideas que vale la pena demostrar. El razonamiento deductivo necesita una afirmación de partida, y esa afirmación suele surgir al notar un patrón en ejemplos.

Glosario

Razonamiento inductivo: Razonamiento que va de casos concretos a una conclusión general probablemente cierta, pero no segura
Conjetura: Afirmación general que parece cierta por los ejemplos, pero que no se ha demostrado
Contraejemplo: Un caso en el que una afirmación es falsa; muestra que la afirmación no siempre se cumple
Razonamiento deductivo: Razonamiento que parte de hechos y reglas conocidos y llega a una conclusión que tiene que ser cierta
Demostración: Argumento deductivo que muestra que una afirmación es cierta en todos los casos

Tarjeta de fórmulas

El ciclo inductivo

\text{observar} \to \text{conjeturar} \to \text{comprobar} \to \text{demostrar o refutar}

Los ejemplos llevan a una conjetura; las pruebas y la demostración deciden si se cumple

Suma de los n primeros impares

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

Encontrada por razonamiento inductivo a partir de ejemplos y demostrada después

Diagonales de un polígono

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Número de diagonales de un polígono de $n$ lados

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