Silogismos

Un **silogismo** es un argumento deductivo con exactamente dos premisas y una conclusión. Un **silogismo categórico** habla de grupos y usa exactamente tres términos: - el **término menor** $S$: el sujeto de la conclusión - el **término mayor** $P$: el predicado de la conclusión - el **término medio** $M$: aparece en las dos premisas, pero nunca en la conclusión La premisa que contiene $P$ es la **premisa mayor**, la premisa que contiene $S$ es la **premisa menor**. Cada enunciado de un silogismo categórico tiene una de estas cuatro formas (las letras A, E, I, O son los códigos tradicionales, tomados de las palabras latinas *affirmo*, afirmo, y *nego*, niego: A e I afirman, E y O niegan): | Código | Enunciado | Qué dice sobre los grupos | |---|---|---| | A | Todos los $S$ son $P$ | ningún elemento de $S$ está fuera de $P$ | | E | Ningún $S$ es $P$ | $S$ y $P$ no tienen ningún elemento en común | | I | Algunos $S$ son $P$ | al menos un elemento está en $S$ y en $P$ | | O | Algunos $S$ no son $P$ | al menos un elemento de $S$ está fuera de $P$ | **Comprobar la validez con un diagrama de Venn.** Dibuja tres círculos que se superponen, $S$, $M$ y $P$. Forman 8 regiones: | Región | Dentro de | Fuera de | |---|---|---| | 1 | $S$ | $M$, $P$ | | 2 | $M$ | $S$, $P$ | | 3 | $P$ | $S$, $M$ | | 4 | $S$, $M$ | $P$ | | 5 | $S$, $P$ | $M$ | | 6 | $M$, $P$ | $S$ | | 7 | $S$, $M$, $P$ | ninguno | | 8 | ninguno | $S$, $M$, $P$ | Primero sombrea (marca como vacía) cada región que una premisa con todos o ningún descarta. Después pon una x por cada premisa con algunos, pero solo donde la x quede obligada a estar en una única región. El silogismo es **válido** si el diagrama terminado ya muestra la conclusión, sin dibujar nada más. **Forma válida clásica:** $$\text{Todos los } M \text{ son } P,\quad \text{todos los } S \text{ son } M \quad\Rightarrow\quad \text{todos los } S \text{ son } P$$ La misma cadena funciona con los enunciados si-entonces. Es el **silogismo hipotético** (transitividad): $$p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r$$

Partes de un silogismo, y válido no es lo mismo que verdadero

Todas las aves pueden volar. Todos los pingüinos son aves. Por tanto, todos los pingüinos pueden volar. Nombra los tres términos y las dos premisas. ¿Es válido el argumento? ¿Es verdadera la conclusión?

Busca el término menor y el mayor en la conclusión: Conclusión: todos los pingüinos (sujeto) son animales que pueden volar (predicado) = $S$ = pingüinos, $P$ = animales que pueden volar

Busca el término medio: El término que está en las dos premisas, pero no en la conclusión, es aves = $M$ = aves

Nombra las premisas: Todas las aves pueden volar contiene $P$; todos los pingüinos son aves contiene $S$ = Premisa mayor: todas las aves pueden volar. Premisa menor: todos los pingüinos son aves.

Escribe la forma con letras: Todos los $M$ son $P$, todos los $S$ son $M$, así que todos los $S$ son $P$ = La forma válida clásica: el argumento es válido

Comprueba si las premisas son verdaderas: La premisa mayor es falsa: los pingüinos y los avestruces son aves que no pueden volar = Válido pero no sólido, y la conclusión es falsa

Answer: $S$ = pingüinos, $P$ = animales que pueden volar, $M$ = aves. El argumento es válido (forma correcta), pero la premisa mayor es falsa, así que no es sólido y su conclusión es falsa.

Comprobar una forma válida con el diagrama de Venn

Ningún pez es un mamífero. Todos los tiburones son peces. Por tanto, ningún tiburón es un mamífero. Comprueba el argumento con el diagrama de 8 regiones.

Asigna las letras: Conclusión: ningún tiburón es un mamífero = $S$ = tiburones, $P$ = mamíferos, $M$ = peces

Sombrea para ningún $M$ es $P$: La intersección de $M$ y $P$ son las regiones 6 y 7 = Las regiones 6 y 7 están vacías

Sombrea para todos los $S$ son $M$: La parte de $S$ fuera de $M$ son las regiones 1 y 5 = Las regiones 1 y 5 están vacías

Lee la conclusión ningún $S$ es $P$: La intersección de $S$ y $P$ son las regiones 5 y 7, y las dos ya están sombreadas = El diagrama muestra la conclusión

Answer: El argumento es válido: después de sombrear las regiones 1, 5, 6 y 7, toda la intersección de tiburones y mamíferos (regiones 5 y 7) está vacía.

El término medio no distribuido

Todos los cuadrados son paralelogramos. Todos los rectángulos son paralelogramos. Por tanto, todos los rectángulos son cuadrados. Encuentra el fallo.

Asigna las letras: Conclusión: todos los rectángulos son cuadrados = $S$ = rectángulos, $P$ = cuadrados, $M$ = paralelogramos

Sombrea para todos los $P$ son $M$: La parte de $P$ fuera de $M$ son las regiones 3 y 5 = Las regiones 3 y 5 están vacías

Sombrea para todos los $S$ son $M$: La parte de $S$ fuera de $M$ son las regiones 1 y 5 = Las regiones 1 y 5 están vacías

Lee la conclusión todos los $S$ son $P$: Haría falta que las regiones 1 y 4 estuvieran vacías, pero la región 4 no está sombreada = El diagrama no muestra la conclusión

Da un contraejemplo para la región 4: Un rectángulo de lados $4$ y $2$ es un paralelogramo, pero no un cuadrado = No válido: término medio no distribuido

Answer: No válido. Las dos premisas solo dicen que los cuadrados y los rectángulos están en algún lugar dentro de los paralelogramos; nunca relacionan los cuadrados con los rectángulos. Este fallo se llama término medio no distribuido.

Un silogismo con algunos

Todos los miembros del club de ajedrez son buenos resolviendo acertijos. Algunos alumnos de la clase 9B son miembros del club de ajedrez. ¿Qué conclusión se sigue: todos los alumnos de 9B son buenos resolviendo acertijos, o algunos alumnos de 9B son buenos resolviendo acertijos?

Asigna las letras: $S$ = alumnos de 9B, $P$ = buenos resolviendo acertijos, $M$ = miembros del club de ajedrez = Premisas: todos los $M$ son $P$, algunos $S$ son $M$

Sombrea primero la premisa con todos: Todos los $M$ son $P$: la parte de $M$ fuera de $P$ son las regiones 2 y 4 = Las regiones 2 y 4 están vacías

Pon la x para algunos $S$ son $M$: La intersección de $S$ y $M$ son las regiones 4 y 7, y la región 4 está sombreada = La x tiene que ir en la región 7

Comprueba algunos $S$ son $P$: La región 7 está dentro de $S$ y dentro de $P$ = Algunos $S$ son $P$ queda mostrado

Comprueba todos los $S$ son $P$: Haría falta que las regiones 1 y 4 estuvieran vacías, pero la región 1 no está sombreada = Todos los $S$ son $P$ no queda mostrado

Answer: Solo se sigue "algunos alumnos de 9B son buenos resolviendo acertijos". Las premisas no dicen nada de los alumnos de 9B que no están en el club de ajedrez.

Encadenar enunciados si-entonces

Premisas: si $n$ es divisible entre $12$, entonces $n$ es divisible entre $6$. Si $n$ es divisible entre $6$, entonces $n$ es divisible entre $3$. Si $n$ es divisible entre $3$, entonces la suma de las cifras de $n$ es divisible entre $3$. ¿Qué se deduce, y qué dice sobre $n = 84$ y sobre $n = 98$?

Nombra los enunciados: $p$: divisible entre $12$, $q$: divisible entre $6$, $r$: divisible entre $3$, $s$: suma de cifras divisible entre $3$ = $p \to q$, $q \to r$, $r \to s$

Enlaza los dos primeros: $p \to q$ y $q \to r$ = $p \to r$

Enlaza el resultado con la tercera premisa: $p \to r$ y $r \to s$ = $p \to s$

Comprueba $n = 84$: $84 = 12 \times 7$, y la suma de las cifras es $8 + 4 = 12 = 3 \times 4$ = Como se predijo, la suma de las cifras es divisible entre $3$

Usa la contrarrecíproca para $n = 98$: La suma de cifras $9 + 8 = 17$ no es divisible entre $3$, y $\neg s \to \neg p$ = $98$ no es divisible entre $12$

Answer: Si $n$ es divisible entre $12$, entonces la suma de las cifras de $n$ es divisible entre $3$ ($p \to s$). Para $84$ se cumple ($8 + 4 = 12$). Como la suma de las cifras de $98$ es $17$, la contrarrecíproca muestra que $98$ no es divisible entre $12$.

Los silogismos son las piezas más pequeñas de toda demostración lógica, y se esconden en muchos argumentos cotidianos: - **Demostraciones de geometría**: todo cuadrado es un rectángulo y todo rectángulo es un paralelogramo, así que todo cuadrado es un paralelogramo. Las demostraciones largas son cadenas de pasos como este. - **Filtros de búsqueda y bases de datos**: si cada artículo con la etiqueta impermeable también tiene la etiqueta exterior, una búsqueda de artículos de exterior ya contiene todos los artículos impermeables. - **Normas y leyes**: una norma (todos los visitantes menores de 12 años necesitan un adulto) y un hecho (Mía es una visitante menor de 12 años) dan una conclusión sobre Mía. - **Programación**: si cada objeto Square es un Shape, todo lo que puedes hacer con un Shape también lo puedes hacer con un Square. - **Detectar malos argumentos**: los anuncios y los debates usan a menudo formas no válidas como "todos los tentempiés sanos tienen poca grasa, nuestra galleta tiene poca grasa, así que nuestra galleta es sana". Si conoces las formas, ves el fallo enseguida. Un diagrama de Venn convierte una pregunta sobre palabras en una pregunta sobre regiones sombreadas, así que puedes comprobar un argumento en lugar de fiarte de cómo suena.

Mistake: Decir que un argumento es válido porque su conclusión es verdadera

Why: La validez depende de la forma, no de los hechos. "Todas las rosas son flores. Algunas flores se marchitan rápido. Por tanto, algunas rosas se marchitan rápido." tiene una conclusión creíble, pero la forma no es válida: las flores que se marchitan rápido podrían ser todas tulipanes.

Correct: Sustituye las palabras por $S$, $M$, $P$ y comprueba la forma con el diagrama de Venn. Solo después te preguntas si las premisas son verdaderas.

Mistake: Relacionar dos grupos mediante un término medio que solo aparece como "son $M$" (término medio no distribuido)

Why: Todos los $S$ son $M$ y todos los $P$ son $M$ solo colocan $S$ y $P$ en algún lugar dentro de $M$. Pueden estar en partes de $M$ totalmente distintas, como los gatos y los perros dentro de los mamíferos.

Correct: El término medio tiene que abarcar todo su grupo al menos una vez: debe ser el sujeto de un enunciado con todos o ningún, o el predicado de un enunciado con ningún o algunos no.

Mistake: Sacar una conclusión de dos premisas con algunos

Why: Algunos $S$ son $M$ y algunos $M$ son $P$ pueden hablar de elementos distintos de $M$. Con $S = \{1, 2\}$, $M = \{2, 3\}$, $P = \{3, 4\}$ las dos premisas son verdaderas, pero ningún elemento de $S$ está en $P$.

Correct: Al menos una premisa tiene que ser universal (todos o ningún). Dos premisas particulares, o dos premisas negativas, nunca dan una conclusión.

Mistake: Dar la vuelta a un enunciado con todos

Why: Todos los cuadrados son rectángulos no significa que todos los rectángulos sean cuadrados. En el diagrama, todos los $S$ son $P$ solo vacía la parte de $S$ fuera de $P$; la parte de $P$ fuera de $S$ todavía puede tener elementos.

Correct: Los enunciados con ningún y algunos se pueden invertir (ningún $S$ es $P$ significa ningún $P$ es $S$; algunos $S$ son $P$ significa algunos $P$ son $S$), pero los de todos y algunos no, no.

Clubes escolares y encuestas

Cuando un instituto cuenta los miembros de sus clubes, enunciados como "todos los miembros del club de robótica están en el club de matemáticas" indican qué regiones del diagrama de Venn están vacías, así que puedes contar sin contar a nadie dos veces.

Ningún miembro del club de teatro está en el club de matemáticas, y todos los miembros del club de robótica están en el club de matemáticas. Por el silogismo (ningún $M$ es $P$, todos los $S$ son $M$), ningún miembro del club de robótica está en el club de teatro.

Filtros de búsqueda en tiendas en línea

Las categorías de una tienda forman grupos dentro de grupos. Si cada artículo impermeable es también un artículo de exterior, el filtro exterior ya contiene todos los artículos impermeables: es el silogismo todos los $S$ son $M$, todos los $M$ son $P$ en acción.

Todas las chaquetas de lluvia de la tienda son artículos impermeables, y todos los artículos impermeables son artículos de exterior. Así que todas las chaquetas de lluvia aparecen en el filtro exterior.

Filtros de correo y cadenas de reglas

Los programas de correo siguen cadenas de reglas si-entonces. El silogismo hipotético ($p \to q$, $q \to r$, así que $p \to r$) te dice dónde acaba un mensaje sin seguir cada regla una por una.

Si un correo tiene un enlace de un remitente desconocido, se marca. Si un correo está marcado, va a cuarentena. Así que todo correo con un enlace de un remitente desconocido va a cuarentena.

Un silogismo tiene dos premisas y una conclusión; un silogismo categórico usa tres términos: término menor $S$, término mayor $P$ y término medio $M$

Los cuatro tipos de enunciado son A (todos los $S$ son $P$), E (ningún $S$ es $P$), I (algunos $S$ son $P$) y O (algunos $S$ no son $P$)

Para comprobar la validez, sombrea las regiones que vacían las premisas con todos y ningún, pon una x para las premisas con algunos y mira si el diagrama ya muestra la conclusión

Todos los $M$ son $P$, todos los $S$ son $M$, así que todos los $S$ son $P$ es válido; todos los $S$ son $M$, todos los $P$ son $M$, así que todos los $S$ son $P$ no es válido (término medio no distribuido)

Válido significa que la conclusión tiene que ser verdadera si las premisas lo son; sólido significa válido y con premisas verdaderas

El silogismo hipotético (transitividad) enlaza enunciados si-entonces: de $p \to q$ y $q \to r$ se deduce $p \to r$

Q: ¿Puede un silogismo válido tener una conclusión falsa?

A: Sí, si al menos una premisa es falsa. "Todas las aves pueden volar, todos los pingüinos son aves, así que todos los pingüinos pueden volar" es válido, pero tiene una conclusión falsa. Lo imposible es un argumento válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

Q: ¿"Algunos" significa "no todos"?

A: No. En lógica, algunos $S$ son $P$ significa que al menos un $S$ es $P$, y sigue siendo verdadero si todos los $S$ son $P$. De algunos $S$ son $P$ no se deduce algunos $S$ no son $P$.

Q: De todos los $M$ son $P$ y todos los $S$ son $M$, ¿puedo concluir que algunos $S$ son $P$?

A: Solo si sabes que $S$ tiene al menos un elemento. En la lógica moderna, todos los $S$ son $P$ no afirma que exista algún $S$ (todos los unicornios son animales es verdadero aunque no haya unicornios). El diagrama de Venn lo muestra: las premisas sombrean regiones, pero no ponen ninguna x.

Q: ¿Cuántos silogismos categóricos válidos hay?

A: Cada uno de los tres enunciados es de uno de los cuatro tipos ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinaciones), y el término medio puede ocupar cuatro posiciones distintas, lo que da $64 \times 4 = 256$ formas. Solo $15$ de ellas son válidas en la lógica moderna ($24$ si se supone que cada grupo tiene al menos un elemento). Por eso comprobar con el diagrama es más seguro que fiarse de cómo suena un argumento.

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Lógica y Conjuntos / Razonamiento lógico

Silogismos

Aprende los cuatro enunciados categóricos y las partes de un silogismo, y comprueba la validez con diagramas de Venn y el silogismo hipotético.

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