¿"Algunos" significa "no todos"?

No. En lógica, algunos $S$ son $P$ significa que al menos un $S$ es $P$, y sigue siendo verdadero si todos los $S$ son $P$. De algunos $S$ son $P$ no se deduce algunos $S$ no son $P$.

De todos los $M$ son $P$ y todos los $S$ son $M$, ¿puedo concluir que algunos $S$ son $P$?

Solo si sabes que $S$ tiene al menos un elemento. En la lógica moderna, todos los $S$ son $P$ no afirma que exista algún $S$ (todos los unicornios son animales es verdadero aunque no haya unicornios). El diagrama de Venn lo muestra: las premisas sombrean regiones, pero no ponen ninguna x.

¿Cuántos silogismos categóricos válidos hay?

Cada uno de los tres enunciados es de uno de los cuatro tipos ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinaciones), y el término medio puede ocupar cuatro posiciones distintas, lo que da $64 \times 4 = 256$ formas. Solo $15$ de ellas son válidas en la lógica moderna ($24$ si se supone que cada grupo tiene al menos un elemento). Por eso comprobar con el diagrama es más seguro que fiarse de cómo suena un argumento.

Recursos para profesores

Silogismos

Aprende los cuatro enunciados categóricos y las partes de un silogismo, y comprueba la validez con diagramas de Venn y el silogismo hipotético.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Un silogismo es un argumento deductivo con exactamente dos premisas y una conclusión. Un silogismo categórico habla de grupos y usa exactamente tres términos:

el término menor $S$ : el sujeto de la conclusión
el término mayor $P$ : el predicado de la conclusión
el término medio $M$ : aparece en las dos premisas, pero nunca en la conclusión

La premisa que contiene

P

es la premisa mayor, la premisa que contiene

S

es la premisa menor.

Cada enunciado de un silogismo categórico tiene una de estas cuatro formas (las letras A, E, I, O son los códigos tradicionales, tomados de las palabras latinas *affirmo*, afirmo, y *nego*, niego: A e I afirman, E y O niegan):

Código	Enunciado	Qué dice sobre los grupos
A	Todos los $S$ son $P$	ningún elemento de $S$ está fuera de $P$
E	Ningún $S$ es $P$	$S$ y $P$ no tienen ningún elemento en común
I	Algunos $S$ son $P$	al menos un elemento está en $S$ y en $P$
O	Algunos $S$ no son $P$	al menos un elemento de $S$ está fuera de $P$

Comprobar la validez con un diagrama de Venn. Dibuja tres círculos que se superponen,

S

M

P

. Forman 8 regiones:

Región	Dentro de	Fuera de
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	ninguno
8	ninguno	$S$ , $M$ , $P$

Primero sombrea (marca como vacía) cada región que una premisa con todos o ningún descarta. Después pon una x por cada premisa con algunos, pero solo donde la x quede obligada a estar en una única región. El silogismo es válido si el diagrama terminado ya muestra la conclusión, sin dibujar nada más.

Forma válida clásica:

\text{Todos los } M \text{ son } P,\quad \text{todos los } S \text{ son } M \quad\Rightarrow\quad \text{todos los } S \text{ son } P

La misma cadena funciona con los enunciados si-entonces. Es el silogismo hipotético (transitividad):

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Pruébalo ahora

Todos los rectángulos son paralelogramos. Todos los cuadrados son rectángulos. Por tanto, todos los cuadrados son paralelogramos. ¿Cuál es el término medio?

Ejemplos resueltos

Todas las aves pueden volar. Todos los pingüinos son aves. Por tanto, todos los pingüinos pueden volar. Nombra los tres términos y las dos premisas. ¿Es válido el argumento? ¿Es verdadera la conclusión?

Busca el término menor y el mayor en la conclusión

Conclusión: todos los pingüinos (sujeto) son animales que pueden volar (predicado) → $S$ = pingüinos, $P$ = animales que pueden volar

Busca el término medio

El término que está en las dos premisas, pero no en la conclusión, es aves → $M$ = aves

Nombra las premisas

Todas las aves pueden volar contiene $P$ ; todos los pingüinos son aves contiene $S$ → Premisa mayor: todas las aves pueden volar. Premisa menor: todos los pingüinos son aves.

Escribe la forma con letras

Todos los $M$ son $P$ , todos los $S$ son $M$ , así que todos los $S$ son $P$ → La forma válida clásica: el argumento es válido

Comprueba si las premisas son verdaderas

La premisa mayor es falsa: los pingüinos y los avestruces son aves que no pueden volar → Válido pero no sólido, y la conclusión es falsa

Respuesta: $S$ = pingüinos, $P$ = animales que pueden volar, $M$ = aves. El argumento es válido (forma correcta), pero la premisa mayor es falsa, así que no es sólido y su conclusión es falsa.

Errores comunes

Decir que un argumento es válido porque su conclusión es verdadera

Por qué está mal: La validez depende de la forma, no de los hechos. "Todas las rosas son flores. Algunas flores se marchitan rápido. Por tanto, algunas rosas se marchitan rápido." tiene una conclusión creíble, pero la forma no es válida: las flores que se marchitan rápido podrían ser todas tulipanes.

Correcto: Sustituye las palabras por $S$ , $M$ , $P$ y comprueba la forma con el diagrama de Venn. Solo después te preguntas si las premisas son verdaderas.

Relacionar dos grupos mediante un término medio que solo aparece como "son $M$ " (término medio no distribuido)

Por qué está mal: Todos los $S$ son $M$ y todos los $P$ son $M$ solo colocan $S$ y $P$ en algún lugar dentro de $M$ . Pueden estar en partes de $M$ totalmente distintas, como los gatos y los perros dentro de los mamíferos.

Correcto: El término medio tiene que abarcar todo su grupo al menos una vez: debe ser el sujeto de un enunciado con todos o ningún, o el predicado de un enunciado con ningún o algunos no.

Sacar una conclusión de dos premisas con algunos

Por qué está mal: Algunos $S$ son $M$ y algunos $M$ son $P$ pueden hablar de elementos distintos de $M$ . Con $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ las dos premisas son verdaderas, pero ningún elemento de $S$ está en $P$ .

Correcto: Al menos una premisa tiene que ser universal (todos o ningún). Dos premisas particulares, o dos premisas negativas, nunca dan una conclusión.

Dar la vuelta a un enunciado con todos

Por qué está mal: Todos los cuadrados son rectángulos no significa que todos los rectángulos sean cuadrados. En el diagrama, todos los $S$ son $P$ solo vacía la parte de $S$ fuera de $P$ ; la parte de $P$ fuera de $S$ todavía puede tener elementos.

Correcto: Los enunciados con ningún y algunos se pueden invertir (ningún $S$ es $P$ significa ningún $P$ es $S$ ; algunos $S$ son $P$ significa algunos $P$ son $S$ ), pero los de todos y algunos no, no.

Visual interactivo

Diagrama de Venn

Premisas

ENo hay peces que sean mamíferos
ATodos los tiburones son peces

= vacía (sin elementos)x= al menos un elemento

Conclusión

E∴ No hay tiburones que sean mamíferos

Toca una región para sombrearla (sombreada significa vacía).

Diagrama de Venn

Premisas

ATodos los cuadrados son paralelogramos
ATodos los rectángulos son paralelogramos

= vacía (sin elementos)x= al menos un elemento

Conclusión

A∴ Todos los rectángulos son cuadrados

Toca una región para sombrearla (sombreada significa vacía).

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Todos los rectángulos son paralelogramos. Todos los cuadrados son rectángulos. Por tanto, todos los cuadrados son paralelogramos. ¿Cuál es el término medio?

Problemas de práctica: Silogismos

1. Todos los rectángulos son paralelogramos. Todos los cuadrados son rectángulos. Por tanto, todos los cuadrados son paralelogramos. ¿Cuál es el término medio?
2. Un diagrama de Venn tiene tres círculos que se superponen, S, M y P. ¿Cuántas regiones tiene, contando la región fuera de los tres círculos?
3. Recuerda: A = todos los S son P, E = ningún S es P, I = algunos S son P, O = algunos S no son P. ¿Qué lista da, en orden, los códigos de estos cuatro enunciados? (1) Algunos rectángulos no son cuadrados. (2) Todos los cuadrados son rectángulos. (3) Algunos rectángulos son cuadrados. (4) Ningún triángulo es un cuadrado.
4. Los 14 miembros del club de ajedrez están todos también en el club de matemáticas. El club de matemáticas tiene 25 miembros. ¿Cuántos miembros del club de matemáticas no están en el club de ajedrez?
5. Ningún número primo mayor que 2 es par. Todos los números del conjunto T son números primos mayores que 2. ¿Qué conclusión se sigue?
6. Todos los múltiplos de 6 son múltiplos de 3. Todos los múltiplos de 12 son múltiplos de 6. Por tanto, todos los múltiplos de 12 son múltiplos de 3. Identifica el término medio y sigue el número 60 (un múltiplo de 12) a lo largo de la cadena. ¿Cuánto es 60 ÷ 3?
7. Todos los poetas son soñadores. Algunos soñadores son ingenieros. Por tanto, algunos poetas son ingenieros. ¿Cómo valoras este argumento?
8. Una clase tiene 60 alumnos. Ningún miembro del equipo de natación está en el equipo de fútbol. El equipo de natación tiene 16 miembros y el de fútbol 22. ¿Cuántos alumnos no están en ninguno de los dos equipos?
9. Una clase tiene 32 alumnos. Los 8 miembros del club de ajedrez están todos en el club de matemáticas, que tiene 15 miembros. Ningún miembro del club de matemáticas está en el club de teatro, que tiene 10 miembros. ¿Cuántos alumnos no están en ninguno de los tres clubes?
10. Todos los múltiplos de 4 son pares. Todos los múltiplos de 6 son pares. Por tanto, todos los múltiplos de 6 son múltiplos de 4. Demuestra con un contraejemplo que el argumento no es válido. ¿Cuál es el menor múltiplo positivo de 6 que no es múltiplo de 4?
11. Todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 8. 12 es múltiplo de 4. Por tanto, 12 es múltiplo de 8. ¿Qué descripción es correcta?
12. Una orquesta tiene 24 miembros. Los 9 alumnos que tocan el violín están todos en la orquesta. 4 de los violinistas cantan en el coro, y otros 7 miembros de la orquesta también cantan en el coro. ¿Cuántos miembros de la orquesta no cantan en el coro?
13. Comprueba el silogismo ningún M es P, algunos S son M, así que algunos S no son P con el diagrama de 8 regiones (región 4 = solo dentro de S y M, región 6 = solo dentro de M y P, región 7 = dentro de los tres). ¿Cuál es el código de la conclusión?
14. En el diagrama de Venn de tres círculos para S, M y P sombreas las premisas todos los S son M y ningún M es P. ¿Cuántas de las 8 regiones quedan sombreadas en total?
15. Los enunciados p → q y q → r son verdaderos, y r es falso. ¿Qué enunciado tiene que ser verdadero?
16. Premisas: si n es divisible entre 20, entonces n es divisible entre 10. Si n es divisible entre 10, entonces la última cifra de n es 0. Si la última cifra de n es 0, entonces n es divisible entre 5. El silogismo hipotético da: si n es divisible entre 20, entonces n es divisible entre 5. Compruébalo con n = 140 y demuestra después que la recíproca no se deduce. ¿Cuál es el menor número positivo divisible entre 5 pero no entre 20?
17. Un club deportivo tiene 70 socios, y 45 de ellos nadan. Los 20 jugadores de tenis son todos nadadores. 12 jugadores de tenis también corren, 8 nadadores que no juegan al tenis corren, y 15 socios que no nadan corren. ¿Cuántos socios ni nadan ni corren?
18. Demuestra que algunos S son M, algunos M son P, así que algunos S son P no es válido. Usa S = \{1, 2\}, M = \{2, 3\} y P = \{3, 4\}. ¿Cuántos elementos tienen S y P en común?

Por qué es importante

Los silogismos son las piezas más pequeñas de toda demostración lógica, y se esconden en muchos argumentos cotidianos:

Demostraciones de geometría: todo cuadrado es un rectángulo y todo rectángulo es un paralelogramo, así que todo cuadrado es un paralelogramo. Las demostraciones largas son cadenas de pasos como este.
Filtros de búsqueda y bases de datos: si cada artículo con la etiqueta impermeable también tiene la etiqueta exterior, una búsqueda de artículos de exterior ya contiene todos los artículos impermeables.
Normas y leyes: una norma (todos los visitantes menores de 12 años necesitan un adulto) y un hecho (Mía es una visitante menor de 12 años) dan una conclusión sobre Mía.
Programación: si cada objeto Square es un Shape, todo lo que puedes hacer con un Shape también lo puedes hacer con un Square.
Detectar malos argumentos: los anuncios y los debates usan a menudo formas no válidas como "todos los tentempiés sanos tienen poca grasa, nuestra galleta tiene poca grasa, así que nuestra galleta es sana". Si conoces las formas, ves el fallo enseguida.

Un diagrama de Venn convierte una pregunta sobre palabras en una pregunta sobre regiones sombreadas, así que puedes comprobar un argumento en lugar de fiarte de cómo suena.

Aplicaciones del mundo real

Clubes escolares y encuestas

Cuando un instituto cuenta los miembros de sus clubes, enunciados como "todos los miembros del club de robótica están en el club de matemáticas" indican qué regiones del diagrama de Venn están vacías, así que puedes contar sin contar a nadie dos veces.

Ejemplo:

Ningún miembro del club de teatro está en el club de matemáticas, y todos los miembros del club de robótica están en el club de matemáticas. Por el silogismo (ningún $M$ es $P$ , todos los $S$ son $M$ ), ningún miembro del club de robótica está en el club de teatro.

1Inténtalo tú mismo

Una clase tiene $50$ alumnos. Los $12$ miembros del club de robótica están todos en el club de matemáticas, que tiene $30$ miembros. Ningún miembro del club de teatro ( $9$ alumnos) está en el club de matemáticas.

¿Cuántos alumnos no están en ninguno de los tres clubes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de alumnos sin club como una sola expresión:

Filtros de búsqueda en tiendas en línea

Las categorías de una tienda forman grupos dentro de grupos. Si cada artículo impermeable es también un artículo de exterior, el filtro exterior ya contiene todos los artículos impermeables: es el silogismo todos los $S$ son $M$, todos los $M$ son $P$ en acción.

Ejemplo:

Todas las chaquetas de lluvia de la tienda son artículos impermeables, y todos los artículos impermeables son artículos de exterior. Así que todas las chaquetas de lluvia aparecen en el filtro exterior.

2Inténtalo tú mismo

Una tienda tiene $120$ artículos de exterior. Los $45$ artículos impermeables son todos artículos de exterior. $18$ artículos impermeables están en oferta, y $10$ artículos de exterior que no son impermeables están en oferta.

¿Cuántos artículos de exterior están en oferta, y cuántos artículos de exterior no son impermeables ni están en oferta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de artículos de exterior en oferta como una suma:

Filtros de correo y cadenas de reglas

Los programas de correo siguen cadenas de reglas si-entonces. El silogismo hipotético ($p \to q$, $q \to r$, así que $p \to r$) te dice dónde acaba un mensaje sin seguir cada regla una por una.

Ejemplo:

Si un correo tiene un enlace de un remitente desconocido, se marca. Si un correo está marcado, va a cuarentena. Así que todo correo con un enlace de un remitente desconocido va a cuarentena.

3Inténtalo tú mismo

Un instituto recibe $200$ correos en un día. $35$ de ellos tienen un enlace de un remitente desconocido, y todos esos correos se marcan. Otros $15$ correos se marcan por un archivo adjunto sospechoso. Cada correo marcado va a cuarentena, y solo los correos marcados van allí.

¿Cuántos correos llegan a la bandeja de entrada?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de correos que llegan a la bandeja de entrada como una sola expresión:

Puntos clave

1Un silogismo tiene dos premisas y una conclusión; un silogismo categórico usa tres términos: término menor $S$ , término mayor $P$ y término medio $M$
2Los cuatro tipos de enunciado son A (todos los $S$ son $P$ ), E (ningún $S$ es $P$ ), I (algunos $S$ son $P$ ) y O (algunos $S$ no son $P$ )
3Para comprobar la validez, sombrea las regiones que vacían las premisas con todos y ningún, pon una x para las premisas con algunos y mira si el diagrama ya muestra la conclusión
4Todos los $M$ son $P$ , todos los $S$ son $M$ , así que todos los $S$ son $P$ es válido; todos los $S$ son $M$ , todos los $P$ son $M$ , así que todos los $S$ son $P$ no es válido (término medio no distribuido)
5Válido significa que la conclusión tiene que ser verdadera si las premisas lo son; sólido significa válido y con premisas verdaderas
6El silogismo hipotético (transitividad) enlaza enunciados si-entonces: de $p \to q$ y $q \to r$ se deduce $p \to r$

Preguntas frecuentes

Sí, si al menos una premisa es falsa. "Todas las aves pueden volar, todos los pingüinos son aves, así que todos los pingüinos pueden volar" es válido, pero tiene una conclusión falsa. Lo imposible es un argumento válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

Glosario

Silogismo: Un argumento deductivo con exactamente dos premisas y una conclusión
Enunciado categórico: Un enunciado de la forma todos los $S$ son $P$ , ningún $S$ es $P$ , algunos $S$ son $P$ o algunos $S$ no son $P$
Término medio: El término que aparece en las dos premisas, pero no en la conclusión; relaciona los otros dos términos
Premisa mayor y menor: La premisa mayor contiene el predicado $P$ de la conclusión, la premisa menor contiene su sujeto $S$
Término medio no distribuido: Una forma no válida en la que el término medio nunca abarca todo su grupo, por ejemplo todos los $S$ son $M$ , todos los $P$ son $M$
Silogismo hipotético: La regla de transitividad para enunciados si-entonces: de $p \to q$ y $q \to r$ se deduce $p \to r$

Tarjeta de fórmulas

Forma válida clásica

Todos los

M

son

P

, todos los

S

son

M

\Rightarrow

todos los

S

son

P

El término medio une los dos grupos como una cadena

Forma válida con ningún

Ningún

M

P

, todos los

S

son

M

\Rightarrow

ningún

S

P

Si $S$ está dentro de $M$ y $M$ no comparte nada con $P$, entonces $S$ no comparte nada con $P$

Forma válida con algunos

Todos los

M

son

P

, algunos

S

son

M

\Rightarrow

algunos

S

son

P

La x de algunos queda empujada a la región que está en $S$, $M$ y $P$

Término medio no distribuido (no válido)

Todos los

S

son

M

, todos los

P

son

M

\not\Rightarrow

todos los

S

son

P

Estar en el mismo grupo grande no relaciona dos grupos más pequeños

Silogismo hipotético

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Cadenas de enunciados si-entonces; con la contrarrecíproca, también $\neg r \to \neg p$

Más sobre este tema

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Diagrama de Venn

Diagrama de Venn

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Clubes escolares y encuestas

Filtros de búsqueda en tiendas en línea

Filtros de correo y cadenas de reglas

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Forma válida clásica

Forma válida con ningún

Forma válida con algunos

Término medio no distribuido (no válido)

Silogismo hipotético

Más sobre este tema

Introducción al razonamiento lógico

Razonamiento deductivo

Enunciados condicionales (si... entonces)

Recíproca e inversa