Demostraciones geométricas

Una **demostración geométrica** muestra que una propiedad de una figura tiene que ser verdadera. Es una cadena de afirmaciones, y cada afirmación tiene una justificación: un dato, una definición, un postulado o un teorema ya demostrado. Un dibujo te ayuda a encontrar la idea, pero una medida con el transportador nunca es una justificación. La caja de herramientas de esta lección: **1. Rectas paralelas y una transversal.** Una **transversal** es una recta que corta a otras dos rectas. Si esas dos rectas son paralelas: - Los **ángulos alternos internos** (entre las paralelas, a distinto lado de la transversal) son iguales. - Los **ángulos correspondientes** (en la misma posición en los dos cortes) son iguales. - Los ángulos conjugados internos (entre las paralelas, al mismo lado de la transversal) suman $180^\circ$. **2. Suma de los ángulos del triángulo.** En todo triángulo, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. **3. Triángulos congruentes.** Dos triángulos son congruentes ($\cong$) cuando uno de estos grupos de elementos correspondientes es igual: - **LLL**: los tres lados - **LAL**: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos - **ALA**: dos ángulos y el lado comprendido entre ellos - **AAL**: dos ángulos y un lado que no está entre ellos **4. Partes correspondientes.** Si dos triángulos son congruentes, todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales: de $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ se deduce por ejemplo $AB = DE$ y $\angle A = \angle D$. En inglés esta justificación se llama CPCTC. **5. Triángulos isósceles.** Si dos lados de un triángulo son iguales, los ángulos opuestos a ellos (los **ángulos de la base**) son iguales. **6. Puntos medios y bisectrices.** El **punto medio** divide un segmento en dos partes iguales, la **bisectriz** divide un ángulo en dos ángulos iguales. Una demostración completa a dos columnas. Dado: los segmentos $AD$ y $BC$ se cortan en $M$, y $M$ es el punto medio de ambos. Demostrar: $AB = DC$. | Afirmación | Justificación | |---|---| | $AM = DM$ | Definición de punto medio | | $BM = CM$ | Definición de punto medio | | $\angle AMB = \angle DMC$ | Ángulos opuestos por el vértice | | $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ | LAL | | $AB = DC$ | Partes correspondientes de triángulos congruentes | El plan habitual: busca dos triángulos que contengan la parte que quieres, demuestra que son congruentes y termina con las partes correspondientes.

Ángulos entre dos paralelas

Las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas. Los puntos $A$ y $C$ están a la izquierda, $B$ y $D$ a la derecha. Una transversal corta a $AB$ en $E$ y a $CD$ en $F$, y $\angle AEF = 65^\circ$. Halla $\angle EFD$ y $\angle CFE$ y justifica cada paso.

Localizar el par de ángulos: $\angle AEF$ y $\angle EFD$ están entre las paralelas, a distinto lado de la transversal = Son ángulos alternos internos

Aplicar el teorema de las paralelas: Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales, así que $\angle EFD = \angle AEF$ = $\angle EFD = 65^\circ$

Usar el ángulo llano en $F$: $\angle CFE$ y $\angle EFD$ forman juntos el ángulo llano $CFD$: $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ = $\angle CFE = 115^\circ$ (par lineal)

Answer: $\angle EFD = 65^\circ$ (ángulos alternos internos) y $\angle CFE = 115^\circ$ (par lineal). Comprobación: $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$, porque los ángulos conjugados internos suman $180^\circ$.

Demostrar la suma de los ángulos del triángulo

Demuestra que los ángulos de cualquier triángulo $ABC$ suman $180^\circ$. Traza la recta $DE$ por $A$ paralela a $BC$, con $D$ del lado de $B$ y $E$ del lado de $C$.

Afirmación 1: el ángulo llano en $A$: $D$, $A$ y $E$ están en una misma recta, así que $\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ$ = Justificación: ángulos sobre una recta

Afirmación 2: la transversal $AB$: $DE \parallel BC$ y $AB$ corta a las dos rectas, así que $\angle DAB = \angle ABC$ = Justificación: ángulos alternos internos

Afirmación 3: la transversal $AC$: $AC$ también corta a las dos paralelas, así que $\angle CAE = \angle ACB$ = Justificación: ángulos alternos internos

Afirmación 4: sustituir: Sustituye $\angle DAB$ y $\angle CAE$ en la afirmación 1 usando las afirmaciones 2 y 3 = $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$

Answer: La paralela coloca los tres ángulos del triángulo uno junto a otro en el ángulo llano en $A$, así que suman $180^\circ$ en todo triángulo. c. q. d.

LLL y partes correspondientes en una cometa

En el cuadrilátero $ABCD$, $AB = AD$ y $CB = CD$. Demuestra que la diagonal $AC$ es bisectriz de $\angle BAD$. Después halla $\angle BAC$ si $\angle BAD = 70^\circ$.

Enumerar los pares de lados: $AB = AD$ (dado), $CB = CD$ (dado), $AC = AC$ (propiedad reflexiva) = Tres pares de lados iguales

Demostrar que los triángulos son congruentes: Empareja los vértices $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$ = $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (LLL)

Usar las partes correspondientes: $\angle BAC$ y $\angle DAC$ son ángulos correspondientes de los triángulos congruentes = $\angle BAC = \angle DAC$ (partes correspondientes)

Concluir y calcular: Dos mitades iguales significan que $AC$ es bisectriz de $\angle BAD$: $\angle BAC = 70^\circ \div 2$ = $\angle BAC = 35^\circ$

Answer: $AC$ es bisectriz de $\angle BAD$ (LLL y luego partes correspondientes), y $\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ$.

Ángulos de la base de un triángulo isósceles

Dado: $AB = AC$ en $\triangle ABC$. Demostrar: $\angle B = \angle C$. Después halla los ángulos de la base si $\angle A = 40^\circ$.

Añadir una recta auxiliar: Traza la bisectriz de $\angle BAC$, que corta a $BC$ en $D$. Entonces $\angle BAD = \angle CAD$ = Justificación: definición de bisectriz

Reunir los elementos para LAL: $AB = AC$ (dado), $\angle BAD = \angle CAD$ (paso 1), $AD = AD$ (propiedad reflexiva) = Dos lados y el ángulo comprendido

Demostrar la congruencia: El ángulo en $A$ está entre los lados $AB$, $AD$ y entre $AC$, $AD$ = $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (LAL)

Usar las partes correspondientes: $\angle B$ y $\angle C$ son ángulos correspondientes = $\angle B = \angle C$ (partes correspondientes)

Calcular con $\angle A = 40^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, y los dos ángulos son iguales = $\angle B = \angle C = 70^\circ$

Answer: Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Con $\angle A = 40^\circ$, cada ángulo de la base mide $70^\circ$. Las partes correspondientes también dan $BD = CD$, así que $D$ es el punto medio de $BC$.

Paralelas, ALA y un punto medio

Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en $C$. Se cumple $AB \parallel DE$ y $C$ es el punto medio de $AE$. Demuestra que $C$ también es el punto medio de $BD$. Después halla $\angle CDE$ si $\angle BAC = 50^\circ$ y $\angle ACB = 70^\circ$.

Ángulos en $A$ y en $E$: $AB \parallel DE$, y $AE$ es una transversal = $\angle BAC = \angle DEC$ (ángulos alternos internos)

Lados en $C$: $C$ es el punto medio de $AE$ = $AC = EC$ (definición de punto medio)

Ángulos en $C$: $\angle ACB$ y $\angle ECD$ están uno frente al otro = $\angle ACB = \angle ECD$ (opuestos por el vértice)

Congruencia y partes correspondientes: El lado $AC$ está entre los ángulos en $A$ y en $C$, así que $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ (ALA) = $BC = DC$ (partes correspondientes), luego $C$ es el punto medio de $BD$

Hallar el ángulo: $\angle CDE = \angle CBA = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ$ (partes correspondientes y suma de ángulos) = $\angle CDE = 60^\circ$

Answer: $C$ es el punto medio de $BD$ (ALA y luego partes correspondientes), y $\angle CDE = 60^\circ$.

Con la geometría nació la demostración matemática, y sus ideas se siguen usando cada día: - **Historia de las matemáticas**: los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.) construyen toda la geometría a partir de unos pocos postulados con exactamente este tipo de demostraciones, y fueron libro de texto escolar durante más de 2000 años - **Topografía**: los triángulos congruentes permiten medir distancias que no se pueden recorrer, como el ancho de un río o de un estanque - **Arquitectura e ingeniería**: las cerchas de los tejados y los puentes usan triángulos isósceles y congruentes, porque un triángulo con lados fijos no puede cambiar de forma - **Urbanismo**: calles paralelas cortadas por una avenida diagonal repiten los mismos ángulos en cada cruce - **Razonamiento**: demostrar que algo tiene que ser cierto, paso justificado tras paso justificado, es la misma habilidad que necesitan abogados, programadores y científicos Cuando dominas estos pocos teoremas, gran parte de la geometría escolar se convierte en argumentos cortos y convincentes.

Mistake: Usar AAA (tres ángulos iguales) para demostrar que dos triángulos son congruentes

Why: Los ángulos iguales solo dan la misma forma: un triángulo equilátero pequeño y uno grande tienen los mismos ángulos pero no son congruentes. Dos lados y un ángulo que no está entre ellos tampoco bastan en general, porque pueden encajar dos triángulos distintos.

Correct: Usa solo LLL, LAL, ALA o AAL, y en LAL comprueba que el ángulo está entre los dos lados.

Mistake: Usar las partes correspondientes antes de demostrar la congruencia

Why: Esta justificación solo se permite después de una línea que diga que los triángulos son congruentes. Si no, la demostración da por hecho lo que quiere probar.

Correct: Primero una línea como $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (LAL), y después los lados o ángulos que se corresponden con la justificación partes correspondientes.

Mistake: Usar las propiedades de las paralelas cuando las rectas no son paralelas, o decir que los conjugados internos son iguales

Why: Los ángulos alternos internos y los correspondientes solo son iguales entre paralelas. Los conjugados internos no son iguales, suman $180^\circ$.

Correct: Comprueba que las rectas se dan como paralelas ($AB \parallel CD$) y nombra el par con exactitud: alternos internos (iguales), correspondientes (iguales) o conjugados internos (suman $180^\circ$).

Mistake: Escribir los vértices de una congruencia en un orden equivocado

Why: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ significa $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Un orden equivocado empareja lados y ángulos que no se corresponden.

Correct: Empareja los vértices según las partes iguales. En el ejemplo 5 la afirmación correcta es $\triangle ABC \cong \triangle EDC$, no $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

Cerchas de tejado

Los carpinteros construyen las cerchas de los tejados como triángulos isósceles: dos vigas inclinadas (pares) de igual longitud se unen en la cumbrera, así que las dos vertientes tienen la misma inclinación.

Una cercha con un ángulo de $100^\circ$ en la cumbrera tiene ángulos de la base de $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$.

Medir el ancho de un estanque

Los topógrafos miden distancias que no se pueden recorrer con triángulos congruentes, usando la misma demostración LAL de esta lección.

Para hallar el ancho $AB$ de un estanque, camina de $A$ a un punto $C$ y sigue la misma distancia hasta $D$. Luego camina de $B$ pasando por $C$ la misma distancia hasta $E$. Entonces $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (LAL), así que $DE = AB$ (partes correspondientes).

Planos de ciudad

Las calles paralelas cortadas por una avenida diagonal forman el dibujo de paralelas y transversal, que los urbanistas usan para diseñar esquinas y cruces.

Si una avenida diagonal forma un ángulo de $58^\circ$ con una calle, forma el mismo ángulo correspondiente de $58^\circ$ con cada calle paralela.

Cada afirmación de una demostración geométrica necesita una justificación: dato, definición, postulado o teorema

En paralelas cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos y los correspondientes son iguales, y los conjugados internos suman $180^\circ$

La suma de los ángulos del triángulo ($180^\circ$) se demuestra con una recta por un vértice paralela al lado opuesto

Dos triángulos son congruentes por LLL, LAL, ALA o AAL, nunca por AAA y en general no con un ángulo no comprendido

Si dos triángulos son congruentes, todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales

En un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales, y los puntos medios y las bisectrices dan segmentos iguales y ángulos iguales

Q: ¿Qué significa CPCTC en los libros en inglés?

A: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, es decir: las partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales. Es la justificación que escribes después de demostrar que dos triángulos son congruentes, cuando deduces que un lado o un ángulo es igual.

Q: ¿Por qué no bastan dos lados y un ángulo cualquiera?

A: Si el ángulo no está entre los dos lados, el tercer lado a veces puede girar a dos posiciones distintas, y salen dos triángulos diferentes. Por eso esos datos no garantizan la congruencia en general.

Q: ¿Qué diferencia hay entre ALA y AAL?

A: En ALA el lado conocido está entre los dos ángulos, en AAL no. Los dos funcionan: dos ángulos fijan el tercero (suma $180^\circ$), así que AAL siempre se puede convertir en ALA.

Q: ¿Cómo encuentro los triángulos adecuados?

A: Mira el segmento o el ángulo cuya igualdad debes demostrar y busca dos triángulos que lo contengan. Marca todo lo que sabes: datos, ángulos opuestos por el vértice, un lado común. Si llegas a LLL, LAL, ALA o AAL, termina con las partes correspondientes.

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Demostraciones geométricas

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Lógica y Conjuntos / Demostraciones matemáticas

Demostraciones geométricas

Demuestra propiedades geométricas paso a paso con ángulos entre paralelas, la suma de los ángulos del triángulo, criterios de congruencia (LLL, LAL, ALA, AAL) y triángulos isósceles.

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