Introducción a las demostraciones matemáticas

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Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué es una demostración matemática?
1. a)Una suposición sobre si algo es verdadero
2. b)Una fórmula para memorizar
3. c)Un solo ejemplo que funciona
4. d)Un argumento lógico que muestra por qué un enunciado debe ser verdadero
2.
¿Cuál es la diferencia entre un axioma y un teorema?
1. a)Son lo mismo
2. b)Los axiomas son falsos; los teoremas son verdaderos
3. c)Un teorema se acepta sin demostración; un axioma se demuestra
4. d)Un axioma se acepta sin demostración; un teorema se demuestra
3.
Si $n$ es un número par, podemos escribir $n = 2k$ donde $k$ es un entero. Si $n = 12$ , ¿cuál es el valor de $k$ ?
4.
Si $n$ es un número impar, podemos escribir $n = 2k + 1$ . Si $n = 15$ , ¿cuál es el valor de $k$ ?
5.
En una demostración por reducción al absurdo, ¿qué hacemos primero?
1. a)Demostrar el enunciado directamente
2. b)Dar varios ejemplos
3. c)Enunciar primero la conclusión
4. d)Suponer lo contrario de lo que queremos demostrar
6.
¿Por qué mostrar que $2 + 4 = 6$ NO ES una demostración de que 'la suma de dos números pares es par'?
1. a)Solo demuestra un caso específico, no todos los casos
2. b)Necesitamos usar resta en lugar de suma
3. c)El cálculo está mal
4. d)6 no es par
7.
Sean $a = 2m$ y $b = 2n$ números pares. Completa: $a + b = 2m + 2n = 2(\square)$ . ¿Qué va en el recuadro?
8.
Demuestra que el producto de dos números impares es impar. Sea $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ .
9.
¿Cuál enunciado describe correctamente el razonamiento circular en una demostración?
1. a)Terminar con QED
2. b)Comenzar con una definición
3. c)Usar demasiados pasos
4. d)Usar la conclusión como parte de la demostración
10.
En la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional, supusimos $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sin factores comunes. Mostramos que $a$ y $b$ deben ser pares. ¿Qué factor común comparten?
11.
Demuestra: La suma de un número par y un número impar es impar.
12.
El enunciado 'Todos los números primos son impares' parece verdadero para 3, 5, 7, 11, 13... ¿Qué refuta este enunciado?
1. a)1 no es primo
2. b)15 tiene muchos factores
3. c)9 es impar pero no primo
4. d)2 es primo pero par
13.
Demuestra por reducción al absurdo: No existe el entero más grande.
14.
¿Por qué $a$ tiene que ser par cuando $a^2$ es par? Supón que $a$ fuera impar, $a = 2k + 1$ . Entonces $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . ¿Cuál es el resto al dividir $a^2$ entre 2?
15.
Si ' $P$ implica $Q$ ' es verdadero, ¿cuál de los siguientes también debe ser verdadero?
1. a)'No $Q$ implica no $P$ ' (contrarrecíproca)
2. b)' $Q$ implica $P$ ' (recíproca)
3. c)'No $P$ implica no $Q$ ' (contraria)
4. d)Todas las anteriores
16.
Demuestra: Si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar.