Introducción a las demostraciones matemáticas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué es una demostración matemática?
1. a)Un argumento lógico que muestra por qué un enunciado debe ser verdadero
2. b)Una fórmula para memorizar
3. c)Una suposición sobre si algo es verdadero
4. d)Un solo ejemplo que funciona
Respuesta: Un argumento lógico que muestra por qué un enunciado debe ser verdadero
Una demostración matemática es un argumento lógico que demuestra por qué un enunciado debe ser verdadero para todos los casos, usando definiciones, axiomas y teoremas previamente demostrados.
2.
¿Cuál es la diferencia entre un axioma y un teorema?
1. a)Son lo mismo
2. b)Los axiomas son falsos; los teoremas son verdaderos
3. c)Un axioma se acepta sin demostración; un teorema se demuestra
4. d)Un teorema se acepta sin demostración; un axioma se demuestra
Respuesta: Un axioma se acepta sin demostración; un teorema se demuestra
Los axiomas son enunciados que aceptamos como verdaderos sin demostración - son nuestros puntos de partida. Los teoremas son enunciados que han sido demostrados como verdaderos usando axiomas y otros teoremas.
3.
Si es un número par, podemos escribir donde es un entero. Si , ¿cuál es el valor de ?
Respuesta: 6
Como , resolvemos para : . Esto confirma que 12 es par porque .
4.
Si es un número impar, podemos escribir . Si , ¿cuál es el valor de ?
Respuesta: 7
Como , resolvemos: , entonces . Verificación: .
5.
En una demostración por contradicción, ¿qué hacemos primero?
1. a)Suponer lo contrario de lo que queremos demostrar
2. b)Demostrar el enunciado directamente
3. c)Dar varios ejemplos
4. d)Enunciar primero la conclusión
Respuesta: Suponer lo contrario de lo que queremos demostrar
En una demostración por contradicción, suponemos que lo contrario de lo que queremos demostrar es verdadero. Luego mostramos que esto lleva a una imposibilidad lógica (contradicción), demostrando que nuestro enunciado original debe ser verdadero.
6.
¿Por qué mostrar que NO ES una demostración de que 'la suma de dos números pares es par'?
1. a)El cálculo está mal
2. b)Necesitamos usar resta en lugar de suma
3. c)Solo demuestra un caso específico, no todos los casos
4. d)6 no es par
Respuesta: Solo demuestra un caso específico, no todos los casos
Existen infinitos pares de números pares. Probar que solo demuestra que UN par funciona. Una demostración debe mostrar que TODOS los pares funcionan, lo que requiere usar variables como .
7.
Si y son números pares, ¿qué es en términos de y ? Escribe en la forma
Respuesta: 2(m+n)
. Como es un entero, es par. ¡Esto demuestra que la suma de dos números pares es siempre par!
8.
Demuestra que el producto de dos números impares es impar. Sea y .
Respuesta: 2(2mn+m+n)+1
1. Escribe desarrollado 4mn+2m+2n+1
2. Factoriza el 2 de los primeros tres términos 2(2mn+m+n)+1
3. ¿Tiene la forma ? sí
9.
¿Cuál enunciado describe correctamente el razonamiento circular en una demostración?
1. a)Terminar con QED
2. b)Usar demasiados pasos
3. c)Usar la conclusión como parte de la demostración
4. d)Comenzar con una definición
Respuesta: Usar la conclusión como parte de la demostración
El razonamiento circular ocurre cuando asumes lo que intentas demostrar. Por ejemplo, decir 'X es verdadero porque X es verdadero' no demuestra nada - solo da vueltas.
10.
En la demostración de que es irracional, supusimos sin factores comunes. Mostramos que y deben ser pares. ¿Qué factor común comparten?
Respuesta: 2
Si tanto como son pares, ambos tienen 2 como factor. Esto contradice nuestra suposición de que no comparten factores comunes. Esta contradicción demuestra que no puede escribirse como .
11.
Demuestra: La suma de un número par y un número impar es impar.
Respuesta: 2(m+n)+1
1. Sea el número par . Escribe el número impar en la forma 2n+1
2. Calcula 2m+2n+1
3. Reescribe factorizando: 2(m+n)+1
4. ¿Es impar? (sí/no) sí
12.
El enunciado 'Todos los números primos son impares' parece verdadero para 3, 5, 7, 11, 13... ¿Qué refuta este enunciado?
1. a)9 es impar pero no primo
2. b)1 no es primo
3. c)2 es primo pero par
4. d)15 tiene muchos factores
Respuesta: 2 es primo pero par
2 es primo (solo divisible por 1 y por sí mismo) pero es par. Un contraejemplo es suficiente para refutar un enunciado universal. ¡Esto muestra por qué necesitamos demostraciones, no solo ejemplos!
13.
Demuestra por contradicción: No existe el entero más grande.
Respuesta: N+1
1. Supongamos lo contrario: EXISTE un entero más grande. Llamémoslo . ¿Es también un entero? sí
2. ¿Es ? sí
3. Encontramos un entero mayor que . ¿Cuál es? N+1
4. Esto contradice que es el más grande. Por lo tanto, nuestra suposición era... (verdadera/falsa) falsa
14.
Si es par, entonces debe ser par. ¿Por qué? Porque si fuera impar (), ¿entonces , que es... (par/impar)?
Respuesta: odd
tiene la forma , que es impar. Entonces si fuera impar, sería impar. Por lo tanto, si es par, no puede ser impar - ¡debe ser par!
15.
Si ' implica ' es verdadero, ¿cuál de los siguientes también debe ser verdadero?
1. a)'No implica no ' (contrarrecíproco)
2. b)' implica ' (recíproco)
3. c)'No implica no ' (inverso)
4. d)Todas las anteriores
Respuesta: 'No implica no ' (contrarrecíproco)
El contrarrecíproco ('No implica no ') es siempre lógicamente equivalente al enunciado original. El recíproco y el inverso NO están garantizados como verdaderos. Ejemplo: 'Si llueve, el suelo está mojado' es verdadero, pero 'Si el suelo está mojado, llovió' no siempre es verdadero (¡aspersores!).
16.
Demuestra: Si es impar, entonces es impar.
Respuesta: n is odd
1. Demostraremos el contrarrecíproco. Si es par, ¿entonces es... (par/impar)? par
2. Si (par), ¿qué es ? 4k^2
3. Escribe en la forma 2(2k^2)
4. Como es par, demostramos: si es par entonces es par. Por contrarrecíproco, si es impar, entonces es... impar