De dos columnas a un párrafo

Una demostración a dos columnas muestra: dado $3x + 5 = 20$, demostrar que $x = 5$. Sus filas son (1) $3x + 5 = 20$, dado; (2) $3x = 15$, propiedad de la igualdad (resta); (3) $x = 5$, propiedad de la igualdad (división). Reescríbela como demostración en párrafo.

Convierte la primera fila en una frase de inicio: La fila 1 es el dato, así que el párrafo empieza: *Sabemos que $3x + 5 = 20$.* = Frase de inicio escrita

Une la fila 2 con su justificación: *Restando 5 a ambos lados se obtiene $3x = 15$ por la propiedad de la igualdad (resta).* = $3x = 15$

Une la fila 3 con su justificación: *Dividiendo ambos lados entre 3 se obtiene $x = 5$ por la propiedad de la igualdad (división).* = $x = 5$

Escribe la conclusión: *Por lo tanto, $x = 5$.* Las palabras por lo tanto marcan la conclusión, la última fila de la tabla. = Demostración en párrafo terminada

Answer: Sabemos que $3x + 5 = 20$. Restando 5 a ambos lados se obtiene $3x = 15$ por la propiedad de la igualdad (resta). Dividiendo ambos lados entre 3 se obtiene $x = 5$ por la propiedad de la igualdad (división). Por lo tanto, $x = 5$. c. q. d.

La suma de dos enteros impares es par

Escribe una demostración en párrafo: si $a$ y $b$ son enteros impares, entonces $a + b$ es par.

Nombra los objetos con letras distintas: Sean $a$ y $b$ enteros impares. Como son impares, $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ para ciertos enteros $m$ y $n$. = $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$

Suma y simplifica: Así que $a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2$. = $a + b = 2m + 2n + 2$

Saca factor común 2: Se deduce que $a + b = 2(m + n + 1)$. = $a + b = 2(m + n + 1)$

Justifica la conclusión: Como $m + n + 1$ es un entero (suma de enteros), $a + b$ es el doble de un entero, así que es par por la definición de número par. = $a + b$ es par

Answer: Sean $a$ y $b$ enteros impares. Como son impares, $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ para ciertos enteros $m$ y $n$. Entonces $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$. Como $m + n + 1$ es un entero, $a + b$ es par por la definición de número par. c. q. d.

Tres enteros consecutivos

Demuestra en un párrafo: la suma de tres enteros consecutivos cualesquiera es divisible entre 3. Después comprueba el resultado con $14 + 15 + 16$.

Nombra los tres enteros: Sea $n$ el menor de ellos. Como los enteros son consecutivos, los otros dos son $n + 1$ y $n + 2$. = $n$, $n + 1$, $n + 2$

Súmalos: Su suma es $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$. = $3n + 3$

Saca factor común y concluye: Así que la suma vale $3(n + 1)$. Como $n + 1$ es un entero, la suma es el triple de un entero y, por lo tanto, es divisible entre 3. = Suma $= 3(n + 1)$

Comprueba con un ejemplo (no forma parte de la demostración): Para $14, 15, 16$ tenemos $n = 14$, así que la suma debería ser $3 \times 15 = 45$. En efecto, $14 + 15 + 16 = 45$. = $45 = 3 \times 15$

Answer: Sean los enteros $n$, $n + 1$ y $n + 2$. Su suma es $3n + 3 = 3(n + 1)$ y, como $n + 1$ es un entero, la suma es divisible entre 3. Dato extra que sale de la demostración: la suma es siempre el triple del número central. c. q. d.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Dos rectas se cortan y forman cuatro ángulos, $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$, en orden alrededor del punto, de modo que $\angle 1$ y $\angle 3$ son opuestos por el vértice. Escribe una demostración en párrafo de que $\angle 1 = \angle 3$ (la lección Demostraciones a dos columnas demuestra el mismo teorema en forma de tabla).

Usa el primer par lineal: Como $\angle 1$ y $\angle 2$ forman juntos una línea recta, son un par lineal, así que $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. = $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Usa el segundo par lineal: Del mismo modo, $\angle 2$ y $\angle 3$ forman una línea recta, así que $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. = $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Combina las dos ecuaciones: Ambas sumas valen $180^\circ$, así que por sustitución $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$. = $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Resta y concluye: Restando $\angle 2$ a ambos lados (propiedad de la igualdad (resta)) se obtiene $\angle 1 = \angle 3$. Comprobación: si $\angle 1 = 65^\circ$, entonces $\angle 2 = 115^\circ$ y $\angle 3 = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. = $\angle 1 = \angle 3$

Answer: Los ángulos 1 y 2 forman un par lineal, así que $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Los ángulos 2 y 3 también forman un par lineal, así que $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Por sustitución, $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$, y restando $\angle 2$ se obtiene $\angle 1 = \angle 3$. Por lo tanto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. c. q. d.

Encontrar el hueco

Un alumno quiere demostrar: el producto de un entero par por cualquier entero es par. Escribe: *Sean $a = 2k$ y $b = 2k$. Entonces $ab = 4k^2 = 2(2k^2)$, así que $ab$ es par.* Encuentra los huecos y arregla la demostración.

Lee lo que dice de verdad el enunciado: El enunciado habla de un entero par $a$ y de **cualquier** entero $b$, que puede ser impar y distinto de $a$. = $b$ puede ser cualquier entero

Revisa cada frase: Escribir $b = 2k$ supone dos cosas que nunca se dieron: que $b$ es par y que $b = a$ (la misma letra $k$). La demostración solo cubre productos como $6 \times 6$, no $6 \times 7$. = Hueco: $b = 2k$ no está justificado

Arregla el inicio: Sea $a$ par y $b$ cualquier entero. Como $a$ es par, $a = 2k$ para algún entero $k$. No se supone nada sobre $b$. = $a = 2k$, $b$ cualquiera

Termina con justificaciones: Entonces $ab = 2kb = 2(kb)$. Como $kb$ es un entero (producto de enteros), $ab$ es par por definición. Comprobación: $6 \times 7 = 42 = 2 \times 21$. = $ab = 2(kb)$ es par

Answer: La demostración original tiene un hueco: supone sin decirlo que $b$ es par e igual a $a$. Demostración en párrafo correcta: sea $a$ par y $b$ cualquier entero. Como $a$ es par, $a = 2k$ para algún entero $k$. Entonces $ab = 2(kb)$ y, como $kb$ es un entero, $ab$ es par. c. q. d.

Mistake: Escribir una cadena de ecuaciones sin palabras

Why: Una lista como $a = 2m + 1$, $a + b = 2(m + n + 1)$ no dice de dónde sale cada línea ni qué demuestra. El lector tiene que adivinar las justificaciones.

Correct: Añade una justificación a cada afirmación (*Como $a$ es impar, $a = 2m + 1$...*) y termina con una frase que diga la conclusión.

Mistake: Usar la misma letra para dos números distintos

Why: Escribir $a = 2k + 1$ y $b = 2k + 1$ obliga a que $a = b$, así que la demostración solo cubre sumas como $7 + 7$.

Correct: Dale a cada objeto su propia variable: $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$.

Mistake: Demostrar con ejemplos

Why: $3 + 5 = 8$ y $7 + 9 = 16$ son pares, pero unos pocos ejemplos nunca pueden cubrir todos los números impares.

Correct: Usa variables que representen todos los casos posibles. Los ejemplos solo sirven como comprobación después de la demostración.

Mistake: Usar la conclusión como justificación

Why: Escribir *Como $a + b$ es par, es igual a $2(m + n + 1)$* supone justo lo que quieres demostrar (razonamiento circular).

Correct: Las palabras como, ya que y porque solo pueden apuntar a hechos que ya tienes: los datos, las definiciones, las propiedades o las frases anteriores.

Acertijos con el calendario

Tres días seguidos en una fila del calendario son enteros consecutivos, así que la demostración de esta lección explica un truco numérico clásico.

Elige 12, 13 y 14: la suma es $39 = 3 \times 13$, el triple del día central.

Tijeras y carreteras que se cruzan

Donde se cruzan dos objetos rectos, como las hojas de unas tijeras, dos carreteras o las vigas de una cubierta, el teorema de los ángulos opuestos por el vértice permite medir un ángulo y conocer al instante el opuesto.

Si las hojas de unas tijeras abiertas forman un ángulo de $35^\circ$, los mangos también forman un ángulo de $35^\circ$.

Empaquetar por parejas

Tiendas y almacenes suelen empaquetar los artículos de dos en dos. La demostración de que un número par por cualquier entero es par te dice cuándo una cuadrícula de objetos se reparte en parejas sin que sobre nada.

Una bandeja con 8 filas de 7 galletas tiene $56 = 2 \times 28$ galletas, así que llenan 28 bolsas de dos.

Q: ¿Es una demostración en párrafo menos rigurosa que una a dos columnas?

A: No. Ambos formatos contienen la misma lógica. La demostración en párrafo es solo otra forma de presentarla: cada afirmación sigue necesitando una justificación, que se escribe dentro de la frase en lugar de en una segunda columna.

Q: ¿Qué longitud debe tener una demostración en párrafo?

A: La suficiente para que un compañero pueda seguir cada paso sin preguntar por qué. Para las demostraciones de esta lección, lo habitual son de 3 a 6 frases. El álgebra sencilla, como sacar factor común 2, no necesita una frase propia.

Q: ¿Puedo usar ejemplos en una demostración en párrafo?

A: Solo como comprobación, claramente separada de la demostración. Una frase como *por ejemplo, $3 + 5 = 8$* muestra la idea, pero la demostración en sí debe usar variables que cubran todos los casos.

Q: ¿Qué conector debo usar?

A: Usa ya que o porque delante de una justificación, y así que, por lo tanto o se deduce que delante de una nueva afirmación. Varíalos para que el párrafo se lea con naturalidad, pero asegúrate de que cada afirmación tenga su justificación en la misma frase.