¿Qué longitud debe tener una demostración en párrafo?

La suficiente para que un compañero pueda seguir cada paso sin preguntar por qué. Para las demostraciones de esta lección, lo habitual son de 3 a 6 frases. El álgebra sencilla, como sacar factor común 2, no necesita una frase propia.

¿Puedo usar ejemplos en una demostración en párrafo?

Solo como comprobación, claramente separada de la demostración. Una frase como *por ejemplo, $3 + 5 = 8$* muestra la idea, pero la demostración en sí debe usar variables que cubran todos los casos.

¿Qué conector debo usar?

Usa ya que o porque delante de una justificación, y así que, por lo tanto o se deduce que delante de una nueva afirmación. Varíalos para que el párrafo se lea con naturalidad, pero asegúrate de que cada afirmación tenga su justificación en la misma frase.

Recursos para profesores

Demostraciones en párrafo

Aprende a escribir una demostración con frases enlazadas y palabras como ya que y por lo tanto, a pasar de dos columnas a párrafo y a detectar huecos en una demostración.

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Definición

Una demostración en párrafo es una demostración escrita con frases enlazadas en lugar de una tabla. Contiene exactamente la misma lógica que una demostración a dos columnas: cada afirmación sigue necesitando una justificación, pero la justificación se escribe dentro de la frase.

Una buena demostración en párrafo tiene tres partes:

1.Inicio: indica lo que se da y pon a cada objeto su propia letra (*Sean $a$ y $b$ enteros impares.*)
2.Cadena: cada frase hace una afirmación y da su justificación (una definición, una propiedad de la igualdad, un teorema anterior).
3.Final: la última frase dice exactamente lo que había que demostrar, a menudo seguida de c. q. d. o de $\blacksquare$ .

Los conectores unen las frases:

*ya que*, *porque*, *por definición de* introducen una justificación
*así que*, *por lo tanto*, *luego*, *se deduce que* introducen una nueva afirmación

\text{datos} \;\Rightarrow\; \text{afirmación + justificación} \;\Rightarrow\; \dots \;\Rightarrow\; \text{lo que había que demostrar}

Pruébalo ahora

\angle 1

\angle 2

forman un par lineal, y

\angle 1 = 72^\circ

. ¿Cuántos grados mide

\angle 2

Ejemplos resueltos

Una demostración a dos columnas muestra: dado $3x + 5 = 20$ , demostrar que $x = 5$ . Sus filas son (1) $3x + 5 = 20$ , dado; (2) $3x = 15$ , propiedad de la igualdad (resta); (3) $x = 5$ , propiedad de la igualdad (división). Reescríbela como demostración en párrafo.

Convierte la primera fila en una frase de inicio

La fila 1 es el dato, así que el párrafo empieza: *Sabemos que $3x + 5 = 20$ .* → Frase de inicio escrita

Une la fila 2 con su justificación

*Restando 5 a ambos lados se obtiene $3x = 15$ por la propiedad de la igualdad (resta).* → $3x = 15$

Une la fila 3 con su justificación

*Dividiendo ambos lados entre 3 se obtiene $x = 5$ por la propiedad de la igualdad (división).* → $x = 5$

Escribe la conclusión

*Por lo tanto, $x = 5$ .* Las palabras por lo tanto marcan la conclusión, la última fila de la tabla. → Demostración en párrafo terminada

Respuesta: Sabemos que $3x + 5 = 20$ . Restando 5 a ambos lados se obtiene $3x = 15$ por la propiedad de la igualdad (resta). Dividiendo ambos lados entre 3 se obtiene $x = 5$ por la propiedad de la igualdad (división). Por lo tanto, $x = 5$ . c. q. d.

Errores comunes

Escribir una cadena de ecuaciones sin palabras

Por qué está mal: Una lista como $a = 2m + 1$ , $a + b = 2(m + n + 1)$ no dice de dónde sale cada línea ni qué demuestra. El lector tiene que adivinar las justificaciones.

Correcto: Añade una justificación a cada afirmación (*Como $a$ es impar, $a = 2m + 1$ ...*) y termina con una frase que diga la conclusión.

Usar la misma letra para dos números distintos

Por qué está mal: Escribir $a = 2k + 1$ y $b = 2k + 1$ obliga a que $a = b$ , así que la demostración solo cubre sumas como $7 + 7$ .

Correcto: Dale a cada objeto su propia variable: $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ .

Demostrar con ejemplos

Por qué está mal: $3 + 5 = 8$ y $7 + 9 = 16$ son pares, pero unos pocos ejemplos nunca pueden cubrir todos los números impares.

Correcto: Usa variables que representen todos los casos posibles. Los ejemplos solo sirven como comprobación después de la demostración.

Usar la conclusión como justificación

Por qué está mal: Escribir *Como $a + b$ es par, es igual a $2(m + n + 1)$ * supone justo lo que quieres demostrar (razonamiento circular).

Correcto: Las palabras como, ya que y porque solo pueden apuntar a hechos que ya tienes: los datos, las definiciones, las propiedades o las frases anteriores.

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Explorador de ángulos

∠1 = 65°∠2 = 115°∠3 = 65°∠4 = 115°

∠1 = ∠3 = 65°, ∠2 = ∠4 = 115°

Los ángulos opuestos por el vértice están enfrentados donde se cortan dos rectas. Siempre son iguales.

Arrastra el punto azul para girar la segunda recta y observa los cuatro ángulos.

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

En una demostración en párrafo, ¿qué conector introduce una nueva afirmación (una conclusión) y no una justificación?

Problemas de práctica: Demostraciones en párrafo

1. En una demostración en párrafo, ¿qué conector introduce una nueva afirmación (una conclusión) y no una justificación?
2. Una demostración en párrafo contiene la frase: *Como a es impar, a = 2m + 1 para algún entero m.* ¿Qué justificación usa esta frase?
3. ∠ 1 y ∠ 2 forman un par lineal, y ∠ 1 = 72°. ¿Cuántos grados mide ∠ 2?
4. Una demostración en párrafo muestra que tres enteros consecutivos n, n + 1, n + 2 suman 3(n + 1). Para 20 + 21 + 22, ¿la suma es el triple de qué número?
5. Dos rectas se cortan. ∠ 1 = 58°, ∠ 2 está al lado y ∠ 3 es opuesto a ∠ 1. Sigue la demostración del teorema de los ángulos opuestos por el vértice para hallar ∠ 3.
6. Sigue la demostración de que impar + impar es par con los impares a = 7 y b = 11, escritos como a = 2m + 1 y b = 2n + 1.
7. Falta una frase en esta demostración de que la suma de dos enteros impares es par: *Sean a y b impares. Entonces a = 2m + 1 y b = 2n + 1 para enteros m y n. [ ? ] Como m + n + 1 es un entero, a + b es par.* ¿Qué frase completa el hueco?
8. ¿Qué frase de esta demostración en párrafo es incorrecta? (1) Sea a par y b cualquier entero, así que a = 2k para un entero k. (2) Entonces ab = 2kb. (3) Así que ab = 2(kb). (4) Como kb es un entero, ab es impar.
9. Una demostración a dos columnas empieza con el dato 4x - 7 = 21 y termina con x = 7. En la versión en párrafo, la segunda frase dice: *Sumando 7 a ambos lados se obtiene 4x = \square por la propiedad de la igualdad (suma).* ¿Qué número va en el recuadro?
10. La demostración de que un par por cualquier entero es par escribe a = 2k y obtiene ab = 2(kb). Para a = 6 y b = 5, ¿cuánto vale kb?
11. Convierte esta demostración en párrafo en una a dos columnas: *Sabemos que 2(x + 3) = 18. Por la propiedad distributiva, 2x + 6 = 18. Restando 6 a ambos lados se obtiene 2x = 12. Dividiendo ambos lados entre 2 se obtiene x = 6.* Completa las afirmaciones.
12. Tres enteros consecutivos suman 96. Usa el resultado de la demostración, n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1), para hallarlos.
13. Sigue la demostración de que un par por cualquier entero es par con a = 14 y b = 9: escribe a = 2k y luego ab = 2(kb).
14. Un alumno escribe: *Sean a y b impares, así que a = 2k + 1 y b = 2k + 1. Entonces a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1), así que a + b es par.* ¿Cuál es el hueco de esta demostración?
15. Una demostración en párrafo muestra que cinco enteros consecutivos suman n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2). Usa este resultado para calcular 21 + 22 + 23 + 24 + 25.
16. Dos ángulos opuestos por el vértice miden (3x + 10)° y (5x - 30)°. Razona como en una demostración en párrafo: como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, 3x + 10 = 5x - 30. Halla x, el ángulo y el ángulo de al lado.
17. Dos rectas se cortan. ∠ 1 = (2x + 15)° y ∠ 2 = (4x + 45)° forman un par lineal, y ∠ 3 es opuesto por el vértice a ∠ 1. Halla x, ∠ 1 y ∠ 3.
18. Demuestra que la suma de tres enteros pares consecutivos 2n, 2n + 2, 2n + 4 es divisible entre 6 y después prueba el resultado con 18, 20 y 22.

Por qué es importante

La mayoría de las demostraciones que leerás en libros de texto, olimpiadas y en la universidad están escritas en párrafo, así que saber leerlas y escribirlas es fundamental:

Exámenes y olimpiadas: los correctores puntúan el razonamiento, y un párrafo claro muestra cada paso
Comunicación: una demostración en párrafo se lee como una explicación que podrías dar a un compañero
Revisión: escribir la justificación junto a cada afirmación saca a la luz huecos que una simple lista de ecuaciones esconde
Más allá de las matemáticas: abogados, científicos y programadores construyen sus argumentos igual, afirmación tras afirmación y cada una con su motivo

Cuando pasas con soltura del formato a dos columnas al párrafo, puedes elegir el que mejor encaje con cada problema.

Aplicaciones del mundo real

Acertijos con el calendario

Tres días seguidos en una fila del calendario son enteros consecutivos, así que la demostración de esta lección explica un truco numérico clásico.

Ejemplo:

Elige 12, 13 y 14: la suma es $39 = 3 \times 13$ , el triple del día central.

1Inténtalo tú mismo

Una amiga elige tres fechas consecutivas, 23, 24 y 25, y tú dices la suma sin sumarlas una a una.

¿Cuál es la suma de las tres fechas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la demostración: la suma es el triple del número central.

Tijeras y carreteras que se cruzan

Donde se cruzan dos objetos rectos, como las hojas de unas tijeras, dos carreteras o las vigas de una cubierta, el teorema de los ángulos opuestos por el vértice permite medir un ángulo y conocer al instante el opuesto.

Ejemplo:

Si las hojas de unas tijeras abiertas forman un ángulo de $35^\circ$ , los mangos también forman un ángulo de $35^\circ$ .

2Inténtalo tú mismo

Dos carreteras rectas se cruzan. El ángulo entre ellas en el lado norte mide $62^\circ$ .

¿Cuánto miden el ángulo de al lado y el ángulo opuesto?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa un par lineal y después el siguiente:

Empaquetar por parejas

Tiendas y almacenes suelen empaquetar los artículos de dos en dos. La demostración de que un número par por cualquier entero es par te dice cuándo una cuadrícula de objetos se reparte en parejas sin que sobre nada.

Ejemplo:

Una bandeja con 8 filas de 7 galletas tiene $56 = 2 \times 28$ galletas, así que llenan 28 bolsas de dos.

3Inténtalo tú mismo

Un suelo está cubierto con 6 filas de 13 baldosas. Las baldosas llegaron en cajas de 2.

¿Cuántas cajas completas se usaron y cuántas baldosas sobran?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el total como $2(kb)$ con $6 = 2 \times 3$ :

Puntos clave

1Una demostración en párrafo contiene las mismas afirmaciones y justificaciones que una a dos columnas, escritas como frases enlazadas
2Empieza por los datos y da a cada objeto su propia letra, por ejemplo $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$
3Ya que, porque y por definición introducen justificaciones; así que, por lo tanto y se deduce que introducen nuevas afirmaciones
4Los pares se escriben $2k$ , los impares $2k + 1$ , y tres enteros consecutivos suman $3(n + 1)$
5Los ángulos opuestos por el vértice son iguales porque cada uno forma un par lineal ( $180^\circ$ ) con el mismo ángulo intermedio
6Para revisar una demostración, comprueba cada frase: ¿está justificada la afirmación?, ¿se supone algo que no se dio?, ¿dice la última frase el objetivo?

Preguntas frecuentes

No. Ambos formatos contienen la misma lógica. La demostración en párrafo es solo otra forma de presentarla: cada afirmación sigue necesitando una justificación, que se escribe dentro de la frase en lugar de en una segunda columna.

Glosario

Demostración en párrafo: Una demostración escrita con frases enlazadas, en la que cada afirmación va acompañada de su justificación
Demostración a dos columnas: Una demostración en forma de tabla, con las afirmaciones a la izquierda y las justificaciones a la derecha
Conector: Una palabra como ya que, porque, así que o por lo tanto que muestra cómo una frase se relaciona con las anteriores
Par lineal: Dos ángulos adyacentes que juntos forman una línea recta; sus medidas suman $180^\circ$
Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos enfrentados formados por dos rectas que se cortan; siempre son iguales
Enteros consecutivos: Enteros que se siguen sin saltos, como $n$ , $n + 1$ , $n + 2$

Tarjeta de fórmulas

Entero par

a = 2k

para algún entero $k$

Entero impar

a = 2k + 1

para algún entero $k$

Tres enteros consecutivos

n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)

La suma es siempre el triple del número central

Par lineal y ángulos opuestos por el vértice

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ, \quad \angle 1 = \angle 3

Los ángulos de un par lineal suman $180^\circ$; los opuestos por el vértice son iguales

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