Volumen de cuerpos compuestos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Un cuerpo es un cilindro con un cono encima, de modo que la base circular del cono queda justo sobre la cara superior del cilindro. ¿Cómo calculas el volumen del cuerpo entero?
1. a)Restar el volumen del cono al volumen del cilindro
2. b)Usar solo el cilindro, porque el cono es demasiado pequeño
3. c)Multiplicar el volumen del cilindro por el volumen del cono
4. d)Sumar el volumen del cilindro y el volumen del cono
Respuesta: Sumar el volumen del cilindro y el volumen del cono
El cono está unido al cilindro, así que el cuerpo ocupa el espacio de las dos partes: $V = V_{\text{cilindro}} + V_{\text{cono}}$ . Solo se resta cuando se quita una parte.
2.
Un cubo de $4$ cm de arista está pegado encima de un cubo más grande de $6$ cm de arista. ¿Cuál es el volumen total del cuerpo en cm³?
Respuesta: 280
Cubo pequeño: $4^3 = 64$ cm³. Cubo grande: $6^3 = 216$ cm³. Total: $64 + 216 = 280$ cm³.
3.
Un bloque en forma de escalón está formado por dos cajas. La caja de abajo mide $8$ cm de largo, $4$ cm de ancho y $2$ cm de alto. Encima hay una segunda caja de $4$ cm de largo, $4$ cm de ancho y $2$ cm de alto. Calcula el volumen total en cm³.
Respuesta: 96
1. ¿Cuál es el volumen de la caja de abajo en cm³? 64
2. ¿Cuál es el volumen de la caja de arriba en cm³? 32
3. ¿Cuál es el volumen total en cm³? 96
4.
¿Qué expresión da el volumen de una semiesfera (media esfera) de radio $r$ ?
1. a) $\frac{1}{3}\pi r^3$
2. b) $2\pi r^2$
3. c) $\frac{4}{3}\pi r^3$
4. d) $\frac{2}{3}\pi r^3$
Respuesta: $\frac{2}{3}\pi r^3$
Una semiesfera es media esfera: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . $\frac{4}{3}\pi r^3$ es la esfera entera y $2\pi r^2$ es un área, no un volumen.
5.
Un pequeño cobertizo es un cubo de $2$ m de arista. Su tejado es una pirámide de base cuadrada de $2$ m por $2$ m (la cara superior del cubo) y altura $1{,}5$ m. ¿Cuál es el volumen total del cobertizo en m³?
Respuesta: 10
Cubo: $2^3 = 8$ m³. Pirámide: $\frac{1}{3} \times 4 \times 1{,}5 = 2$ m³. Total: $8 + 2 = 10$ m³.
6.
Una casa modelo es una caja de $6$ m de largo, $4$ m de ancho y $3$ m de alto, con un tejado de pirámide encima. El tejado tiene la misma base rectangular de $6$ m por $4$ m y una altura de $2$ m. Calcula el volumen total en m³.
Respuesta: 88
1. ¿Cuál es el volumen de la caja en m³? 72
2. ¿Cuál es el área de la base $B$ del tejado en m²? 24
3. ¿Cuál es el volumen del tejado en m³? 16
4. ¿Cuál es el volumen total en m³? 88
7.
Un cubo de madera tiene $10$ cm de arista. De una esquina se recorta un cubo pequeño de $4$ cm de arista. ¿Qué volumen de madera queda, en cm³?
Respuesta: 936
1. ¿Cuál es el volumen del cubo entero en cm³? 1000
2. ¿Cuál es el volumen del trozo recortado en cm³? 64
3. ¿Cuánta madera queda en cm³? 936
8.
Una maqueta de cohete mide $15$ cm de alto: un cilindro de radio $2$ cm y altura $9$ cm, con un cono de radio $2$ cm y altura $6$ cm encima. ¿Qué expresión da su volumen?
1. a) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
2. b) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15$
3. c) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \pi \cdot 2^2 \cdot 6$
4. d) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Respuesta: $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Cilindro con su propia altura $9$ más cono con su propia altura $6$ y el factor $\frac{1}{3}$ : $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 36\pi + 8\pi = 44\pi$ . La altura total $15$ no se usa en ninguna fórmula.
9.
Una cera de colores es un cilindro de radio $1$ cm y longitud $9$ cm, con una punta en forma de cono de radio $1$ cm y altura $3$ cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ para calcular su volumen en cm³.
Respuesta: 31.4
1. ¿Cuál es el volumen del cilindro en cm³? 28.26
2. ¿Cuál es el volumen del cono en cm³? 3.14
3. ¿Cuál es el volumen total en cm³? 31.4
10.
Un cucurucho tiene radio $3$ cm y altura $8$ cm y está completamente lleno. Encima hay una bola con forma de semiesfera de radio $3$ cm. El volumen total de helado es $k\pi$ cm³. ¿Cuánto vale $k$ ?
Respuesta: 42
Cono: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 8 = 24\pi$ . Semiesfera: $\frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ . Total: $24\pi + 18\pi = 42\pi$ , así que $k = 42$ .
11.
Un recipiente con forma de cápsula es un cilindro de radio $3$ cm y longitud $12$ cm, con una semiesfera de radio $3$ cm en cada extremo. Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea el volumen total al cm³ entero más cercano.
Respuesta: 452
1. ¿Cuál es el volumen del cilindro en cm³? 339.12
2. ¿Cuál es el volumen de las dos semiesferas juntas en cm³? 113.04
3. ¿Cuál es el total exacto con $\pi \approx 3{,}14$ , en cm³? 452.16
4. Redondea al cm³ entero más cercano. 452
12.
Un bloque de madera mide $10$ cm de largo, $10$ cm de ancho y $6$ cm de alto. Se taladra un agujero cilíndrico de radio $2$ cm de arriba abajo, a lo largo de sus $6$ cm de altura. Con $\pi \approx 3{,}14$ , ¿qué volumen de madera queda, redondeado a las décimas?
1. a)675,4 cm³
2. b)524,6 cm³
3. c)600 cm³
4. d)298,6 cm³
Respuesta: 524,6 cm³
Bloque: $600$ cm³. Agujero: $3{,}14 \times 4 \times 6 = 75{,}36$ cm³. Queda: $600 - 75{,}36 = 524{,}64 \approx 524{,}6$ cm³. Sumar da $675{,}4$ , y usar el diámetro $4$ como radio da $298{,}6$ .
13.
Un silo es un cilindro de radio $2$ m y altura $8$ m, con un techo en forma de semiesfera de radio $2$ m. Usa $\pi \approx 3{,}14$ . ¿Cuál es el volumen del silo en m³, redondeado a las unidades?
Respuesta: 117
Cilindro: $\pi \times 2^2 \times 8 = 32\pi$ . Semiesfera: $\frac{2}{3}\pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ . Total: $\frac{112}{3}\pi \approx \frac{112 \times 3{,}14}{3} \approx 117{,}23$ , es decir, unos $117$ m³.
14.
Un cilindro macizo tiene radio $6$ cm y altura $10$ cm. Se vacía en él un cono con la misma base (radio $6$ cm) y la misma altura ( $10$ cm), con la punta hacia abajo dentro del cilindro. Usa $\pi \approx 3{,}14$ para calcular el volumen de material que queda, en cm³.
Respuesta: 753.6
1. ¿Cuál es el volumen del cilindro en cm³? 1130.4
2. ¿Cuál es el volumen del cono en cm³? 376.8
3. ¿Qué volumen de material queda en cm³? 753.6
15.
Una tubería de metal mide $50$ cm de largo. Su radio exterior es de $6$ cm y su radio interior (el agujero) de $5$ cm. ¿Qué expresión da el volumen de metal de la tubería?
1. a) $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50$
2. b) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50$
3. c) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 + \pi \cdot 5^2 \cdot 50$
4. d) $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Respuesta: $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Metal = cilindro exterior menos agujero: $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 - \pi \cdot 5^2 \cdot 50 = \pi (6^2 - 5^2) \cdot 50 = 550\pi$ . La opción $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50 = 50\pi$ resta los radios antes de elevarlos al cuadrado, y eso es incorrecto.
16.
Una tubería de desagüe de hormigón mide $200$ cm de largo. Su radio exterior es de $10$ cm y su radio interior de $8$ cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ para hallar cuántos litros de hormigón contiene ( $1$ L $= 1000$ cm³).
Respuesta: 22.608
1. ¿Cuál es el volumen del cilindro exterior en cm³? 62800
2. ¿Cuál es el volumen del agujero en cm³? 40192
3. ¿Cuál es el volumen de hormigón en cm³? 22608
4. ¿Cuántos litros son? 22.608
17.
Una pecera es una caja de $30$ cm de largo, $20$ cm de ancho y $20$ cm de alto. Dentro hay un adorno macizo con forma de cilindro, de radio $5$ cm y altura $20$ cm, colocado de pie. Con $\pi \approx 3{,}14$ , ¿cuántos litros de agua hacen falta para llenar el resto de la pecera? ( $1$ L $= 1000$ cm³)
Respuesta: 10.43
Pecera: $30 \times 20 \times 20 = 12000$ cm³. Adorno: $3{,}14 \times 5^2 \times 20 = 1570$ cm³. Agua: $12000 - 1570 = 10430$ cm³ $= 10{,}43$ L.
18.
Un cuerpo es un cilindro con una semiesfera encima, ambos de radio $3$ cm. Su volumen total es $90\pi$ cm³. ¿Qué altura tiene la parte cilíndrica? (Trabaja en función de $\pi$ .)
Respuesta: 8
1. La semiesfera tiene un volumen de $k\pi$ cm³. ¿Cuánto vale $k$ ? 18
2. La parte cilíndrica tiene un volumen de $m\pi$ cm³. ¿Cuánto vale $m$ ? 72
3. Resuelve $\pi \times 3^2 \times h = 72\pi$ . ¿Cuánto vale $h$ en cm? 8