Volumen a partir del radio

Un cilindro tiene radio $3$ cm y altura $10$ cm. Calcula su volumen en función de $\pi$ y después con $\pi \approx 3{,}14$.

Escribe la fórmula: $V = \pi r^2 h$ = Fórmula lista

Eleva el radio al cuadrado: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Multiplica por la altura: $V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ = $V = 90\pi$ cm³ (exacto)

Usa $\pi \approx 3{,}14$: $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ = $V \approx 282{,}6$ cm³

Answer: $V = 90\pi$ cm³, que son unos $282{,}6$ cm³

Cuidado: te dan el diámetro

Una lata tiene un diámetro de $8$ cm y una altura de $12$ cm. Calcula su volumen con $\pi \approx 3{,}14$, redondeado al cm³ entero más cercano.

Halla el radio a partir del diámetro: $r = 8 \div 2 = 4$ = $r = 4$ cm

Eleva el radio al cuadrado: $4^2 = 16$ = $r^2 = 16$

Multiplica por la altura: $16 \times 12 = 192$ = $V = 192\pi$ cm³

Multiplica por $3{,}14$ y redondea: $192 \times 3{,}14 = 602{,}88 \approx 603$ = $V \approx 603$ cm³

Answer: La lata contiene unos $603$ cm³, es decir, unos $603$ mL

¿Cuántos litros caben en un depósito?

Un depósito de agua cilíndrico tiene radio $50$ cm y altura $120$ cm. ¿Cuántos litros caben? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Eleva el radio al cuadrado: $50^2 = 2500$ = $r^2 = 2500$

Multiplica por la altura: $2500 \times 120 = 300000$ = $V = 300000\pi$ cm³

Usa $\pi \approx 3{,}14$: $300000 \times 3{,}14 = 942000$ = $V \approx 942000$ cm³

Pasa a litros ($1000$ cm³ $= 1$ L): $942000 \div 1000 = 942$ = $942$ L

Answer: En el depósito caben unos $942$ litros

Calcular la altura

Un cilindro tiene un volumen de $471$ cm³ y un radio de $5$ cm. ¿Qué altura tiene? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Calcula el área de la base: $B = 3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ = $B = 78{,}5$ cm²

Usa $V = B \times h$: $471 = 78{,}5 \times h$ = Ecuación planteada

Divide el volumen entre el área de la base: $h = 471 \div 78{,}5 = 6$ = $h = 6$ cm

Comprueba: $78{,}5 \times 6 = 471$ = Correcto

Answer: La altura es de $6$ cm

Calcular el radio

Un cilindro mide $20$ cm de alto y tiene un volumen de $1004{,}8$ cm³. ¿Cuál es su radio? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Escribe la fórmula con los datos conocidos: $1004{,}8 = 3{,}14 \times r^2 \times 20$ = Ecuación planteada

Multiplica $\pi$ por la altura: $3{,}14 \times 20 = 62{,}8$ = $1004{,}8 = 62{,}8 \times r^2$

Divide para obtener $r^2$: $r^2 = 1004{,}8 \div 62{,}8 = 16$ = $r^2 = 16$

Calcula la raíz cuadrada: $r = \sqrt{16} = 4$ = $r = 4$ cm

Answer: El radio es de $4$ cm (así que el diámetro es de $8$ cm)

Mistake: Usar el diámetro en lugar del radio

Why: La fórmula eleva el radio al cuadrado. Si elevas el diámetro, el resultado es 4 veces demasiado grande. Para $d = 10$ cm y $h = 5$ cm, $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ está mal.

Correct: Divide primero el diámetro entre dos: $r = 5$, así que $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Mistake: Multiplicar el radio por 2 en lugar de elevarlo al cuadrado

Why: $r^2$ significa $r \times r$, no $r \times 2$. Para $r = 3$: $3^2 = 9$, no $6$.

Correct: Multiplica siempre el radio por sí mismo: $r^2 = 3 \times 3 = 9$.

Mistake: Dividir entre 100 en lugar de entre 1000 al pasar a litros

Why: Un litro es un cubo de $10$ cm de arista, así que contiene $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³, no $100$.

Correct: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Recuerda: $1$ cm³ $= 1$ mL.

Mistake: Redondear demasiado pronto

Why: Si redondeas el área de la base antes de multiplicar por la altura, el error crece. Para $r = 2{,}5$ cm y $h = 10$ cm, redondear $B = 19{,}625$ a $20$ da $200$ cm³.

Correct: Conserva todas las cifras hasta el final: $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, y redondea solo el resultado final.

Latas de bebida

Las empresas de bebidas diseñan las latas para que contengan una cantidad fija, como 330 mL. La fórmula del volumen les dice qué altura y qué anchura debe tener la lata.

Una lata de radio $3{,}3$ cm y altura $10$ cm contiene unos $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, suficiente para $330$ mL y algo de aire.

Barriles de agua de lluvia

Muchos jardineros recogen agua de lluvia en barriles cilíndricos. El volumen les dice cuántos litros pueden guardar para las semanas secas.

Un barril de radio $25$ cm y altura $80$ cm contiene $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, es decir, $157$ L.

Piscinas hinchables

Antes de llenar una piscina hinchable redonda, conviene saber cuánta agua necesitas. Aquí la altura es la profundidad del agua, no la altura de la pared.

Una piscina de radio $1{,}5$ m llena hasta $0{,}2$ m contiene $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, es decir, $1413$ L.

Q: ¿Por qué aparece $\pi r^2$ en la fórmula?

A: Porque $\pi r^2$ es el área de la base circular. El volumen de cualquier cuerpo parecido a un prisma es el área de la base por la altura, y un cilindro es como un prisma con un círculo como base.

Q: ¿Cuándo dejo el resultado en función de $\pi$?

A: Cuando el problema pide un resultado exacto o dice que lo des en función de $\pi$. Si no, usa $\pi \approx 3{,}14$ (o la tecla $\pi$ de la calculadora) y redondea a la cifra que pida el problema.

Q: ¿Y si el cilindro está tumbado?

A: No cambia nada. La altura es siempre la distancia entre las dos bases circulares, así que en una tubería o un rodillo de cocina tumbado, la altura es su longitud.

Q: ¿Qué le pasa al volumen si duplico el radio?

A: El volumen se hace 4 veces mayor, porque el radio se eleva al cuadrado: $(2r)^2 = 4r^2$. Si solo duplicas la altura, el volumen se duplica.