Pirámide de base cuadrada

Una pirámide tiene una base cuadrada de $6$ cm de lado y una altura de $10$ cm. ¿Cuál es su volumen?

Calcula el área de la base: $B = s^2 = 6^2 = 36$ = $B = 36$ cm²

Multiplica por la altura: $B \times h = 36 \times 10 = 360$ = $360$ (esto sería el prisma)

Toma un tercio: $V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ = $V = 120$ cm³

Answer: El volumen es $120$ cm³.

Base rectangular

Una pirámide tiene una base rectangular de $8$ m por $6$ m y una altura de $10$ m. Calcula su volumen.

Calcula el área de la base: $B = l \times w = 8 \times 6 = 48$ = $B = 48$ m²

Multiplica por la altura: $48 \times 10 = 480$ = $480$

Divide entre 3: $V = 480 \div 3 = 160$ = $V = 160$ m³

Answer: El volumen es $160$ m³.

Base triangular

La base de una pirámide es un triángulo de base $6$ cm y altura $4$ cm. La pirámide mide $9$ cm de alto. ¿Cuál es su volumen?

Calcula el área del triángulo de la base: $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ = $B = 12$ cm²

Multiplica por la altura de la pirámide: $12 \times 9 = 108$ = $108$

Toma un tercio: $V = 108 \div 3 = 36$ = $V = 36$ cm³

Answer: El volumen es $36$ cm³. Fíjate en las dos alturas distintas: $4$ cm es del triángulo de la base, $9$ cm es la altura de la pirámide.

Hallar la altura a partir del volumen

Una pirámide de base cuadrada de $9$ m de lado tiene un volumen de $324$ m³. ¿Cuánto mide de alto?

Calcula el área de la base: $B = 9^2 = 81$ = $B = 81$ m²

Multiplica los dos lados de $V = \frac{1}{3}Bh$ por 3: $3V = Bh$, así que $3 \times 324 = 972$ = $Bh = 972$

Divide entre el área de la base: $h = \frac{3V}{B} = 972 \div 81 = 12$ = $h = 12$ m

Answer: La pirámide mide $12$ m de alto.

Usar la apotema

Una pirámide de base cuadrada de $10$ cm de lado tiene una apotema de $13$ cm. Calcula su volumen.

Dibuja el triángulo rectángulo dentro de la pirámide: Catetos: $h$ y la mitad del lado, $10 \div 2 = 5$. Hipotenusa: la apotema $13$ = $h^2 + 5^2 = 13^2$

Usa Pitágoras para hallar h: $h^2 = 169 - 25 = 144$, así que $h = \sqrt{144}$ = $h = 12$ cm

Calcula el área de la base: $B = 10^2 = 100$ = $B = 100$ cm²

Aplica la fórmula del volumen: $V = \frac{1}{3} \times 100 \times 12 = \frac{1200}{3} = 400$ = $V = 400$ cm³

Answer: El volumen es $400$ cm³. Usar $13$ en lugar de $12$ daría una respuesta incorrecta de unos $433$ cm³.

Mistake: Olvidar el $\frac{1}{3}$ y calcular $V = Bh$

Why: $Bh$ es el volumen del prisma con la misma base y altura. Una pirámide solo llena un tercio de él.

Correct: Termina siempre con $\div 3$: una pirámide de base cuadrada con $s = 6$ y $h = 10$ tiene $V = 360 \div 3 = 120$, no $360$.

Mistake: Usar la apotema en lugar de la altura perpendicular

Why: La apotema va por una cara inclinada, así que es más larga que la altura real. Con ella el volumen sale demasiado grande.

Correct: Usa la altura que llega a la base en ángulo recto. Si solo te dan la apotema, halla $h$ con $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$.

Mistake: Poner la longitud de un lado en lugar del área de la base

Why: $B$ es un área, no una longitud. Escribir $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ para una base cuadrada de lado $6$ deja fuera todo un factor.

Correct: Calcula primero $B$: $B = 6^2 = 36$, y luego $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$.

Mistake: Olvidar el $\frac{1}{2}$ en una base triangular

Why: El área de un triángulo es la mitad de base por altura, así que $b \times h_b$ solo es el doble de lo correcto.

Correct: Para una base triangular con $b = 6$ y $h_b = 4$: $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$, no $24$.

La Gran Pirámide de Guiza

Los historiadores estiman cuánta piedra movieron los egipcios tratando la Gran Pirámide como una pirámide de base cuadrada.

Cuando se construyó, la pirámide tenía una base cuadrada de unos $230$ m de lado y medía unos $147$ m de alto.

Tiendas de campaña piramidales

Los fabricantes de material de acampada indican el volumen interior de las tiendas para que puedas comparar su espacio.

Una tienda con suelo cuadrado de $2$ m por $2$ m y un mástil central de $1{,}5$ m es una pirámide de base cuadrada.

Tejados piramidales

Los instaladores de calefacción necesitan el volumen de aire bajo un tejado para elegir una calefacción o un ventilador.

Un tejado piramidal (tejado a cuatro aguas que termina en un punto) está sobre una casa de planta rectangular.

Q: ¿Por qué hay un $\frac{1}{3}$ en la fórmula?

A: Una pirámide se estrecha hasta un punto, así que contiene menos que un prisma con la misma base y altura. Los experimentos con arena o agua muestran que exactamente tres pirámides llenan el prisma. También se puede demostrar: un cubo se puede dividir en tres pirámides iguales, cada una con una cara del cubo como base.

Q: ¿Tiene relación con la fórmula del cono?

A: Sí. Un cono es como una pirámide de base circular: $V = \frac{1}{3}Bh$ con $B = \pi r^2$ da $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, la misma regla del tercio.

Q: ¿Sirve la fórmula si el vértice no está encima del centro de la base?

A: Sí. Una pirámide oblicua tiene el mismo volumen que una recta con la misma base y la misma altura perpendicular. Solo tienes que medir $h$ en vertical, desde el plano de la base hasta el vértice.

Q: ¿Y si la base tiene 5 o 6 lados?

A: La fórmula $V = \frac{1}{3}Bh$ sirve para cualquier base. Solo cambia cómo hallas $B$: divide el polígono en triángulos o usa su fórmula de área, luego multiplica por $h$ y divide entre 3.