¿Tiene relación con la fórmula del cono?

Sí. Un cono es como una pirámide de base circular: $V = \frac{1}{3}Bh$ con $B = \pi r^2$ da $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, la misma regla del tercio.

¿Sirve la fórmula si el vértice no está encima del centro de la base?

Sí. Una pirámide oblicua tiene el mismo volumen que una recta con la misma base y la misma altura perpendicular. Solo tienes que medir $h$ en vertical, desde el plano de la base hasta el vértice.

¿Y si la base tiene 5 o 6 lados?

La fórmula $V = \frac{1}{3}Bh$ sirve para cualquier base. Solo cambia cómo hallas $B$: divide el polígono en triángulos o usa su fórmula de área, luego multiplica por $h$ y divide entre 3.

Recursos para profesores

Volumen de pirámides

Aprende a calcular el volumen de pirámides de base cuadrada, rectangular y triangular con V = (1/3)Bh, y a hallar la altura a partir de la apotema.

Avanzado25 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una pirámide es un cuerpo geométrico con una base plana (un polígono) y caras triangulares que se juntan todas en un punto arriba, llamado vértice (o cúspide).

El volumen de cualquier pirámide sigue una sola regla:

V = \frac{1}{3}Bh

Donde:

$B$ = el área de la base (calcúlala siempre primero)
$h$ = la altura de la pirámide: la distancia vertical desde el vértice hasta la base, perpendicular a ella

Hallar B según la base

Base	Área de la base $B$	Volumen
Cuadrado, lado $s$	$B = s^2$	$V = \frac{1}{3}s^2h$
Rectángulo, $l$ por $w$	$B = l \times w$	$V = \frac{1}{3}lwh$
Triángulo, base $b$ , altura $h_b$	$B = \frac{1}{2} \times b \times h_b$	$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h$

¿Por qué un tercio?

Toma un prisma y una pirámide con la misma base y la misma altura. La pirámide contiene exactamente un tercio del prisma: puedes verter tres pirámides llenas de arena en el prisma. Por tanto

V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3}V_{\text{prisma}} = \frac{1}{3}Bh

Altura y apotema

La apotema

l

(o altura inclinada) va por una cara triangular, desde el vértice hasta el punto medio de una arista de la base. Es más larga que

h

. En una pirámide de base cuadrada,

h

, la mitad del lado y

l

forman un triángulo rectángulo, así que

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Pruébalo ahora

¿Qué fórmula da el volumen de cualquier pirámide? (

B

= área de la base,

h

= altura)

Ejemplos resueltos

Una pirámide tiene una base cuadrada de $6$ cm de lado y una altura de $10$ cm. ¿Cuál es su volumen?

Calcula el área de la base

$B = s^2 = 6^2 = 36$ → $B = 36$ cm²

Multiplica por la altura

$B \times h = 36 \times 10 = 360$ → $360$ (esto sería el prisma)

Toma un tercio

$V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ → $V = 120$ cm³

Respuesta: El volumen es $120$ cm³.

Errores comunes

Olvidar el $\frac{1}{3}$ y calcular $V = Bh$

Por qué está mal: $Bh$ es el volumen del prisma con la misma base y altura. Una pirámide solo llena un tercio de él.

Correcto: Termina siempre con $\div 3$ : una pirámide de base cuadrada con $s = 6$ y $h = 10$ tiene $V = 360 \div 3 = 120$ , no $360$ .

Usar la apotema en lugar de la altura perpendicular

Por qué está mal: La apotema va por una cara inclinada, así que es más larga que la altura real. Con ella el volumen sale demasiado grande.

Correcto: Usa la altura que llega a la base en ángulo recto. Si solo te dan la apotema, halla $h$ con $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$ .

Poner la longitud de un lado en lugar del área de la base

Por qué está mal: $B$ es un área, no una longitud. Escribir $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ para una base cuadrada de lado $6$ deja fuera todo un factor.

Correcto: Calcula primero $B$ : $B = 6^2 = 36$ , y luego $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$ .

Olvidar el $\frac{1}{2}$ en una base triangular

Por qué está mal: El área de un triángulo es la mitad de base por altura, así que $b \times h_b$ solo es el doble de lo correcto.

Correcto: Para una base triangular con $b = 6$ y $h_b = 4$ : $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ , no $24$ .

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Visor de formas 3D

Seleccionar forma

Rotar X (20°)

Rotar Y (30°)

Longitud (6)

Altura (10)

Caras

Aristas

Vértices

Fórmula de Euler: C + V − A = 5 + 5 − 8 = 2

Volumen

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 6² · 10 = 120

120 cm³

Área de superficie

SA = B + ½Pl

SA = 6² + ½ · 24 · 10,44 ≈ 161,28

161,28 cm²

l = √(10² + 3²) ≈ 10,44

Visor de formas 3D

Seleccionar forma

Rotar X (20°)

Rotar Y (30°)

Base (6)

Altura del triángulo (4)

Altura (9)

Caras

Aristas

Vértices

Fórmula de Euler: C + V − A = 4 + 4 − 6 = 2

Volumen

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 12 · 9 = 36

36 cm³

Área de superficie

SA = B + ½(a·l₁ + b·l₂ + c·l₃)

SA = 12 + ½(6 · 9,1 + 5 · 9,14 + 5 · 9,14) ≈ 85

85 cm²

B = ½ · 6 · 4 = 12

l₁ = √(9² + 1,33²) ≈ 9,1

l₂ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

l₃ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

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Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué fórmula da el volumen de cualquier pirámide? ( $B$ = área de la base, $h$ = altura)

Por qué es importante

Las formas de pirámide están por todas partes, y su volumen te dice cuánto espacio, aire o material contienen:

Monumentos antiguos: la Gran Pirámide de Guiza contiene unos 2,6 millones de metros cúbicos de piedra
Edificios modernos: la pirámide de cristal del Louvre en París tiene un volumen de unos $9000$ m³ de aire que hay que calentar o enfriar
Acampada: el volumen de una tienda de campaña piramidal te dice cuánto espacio tienes dentro
Tejados: los constructores estiman el espacio del desván y el aire que hay que calentar bajo un tejado piramidal
Envases y alimentos: bolsitas de té piramidales, bombones y velas

La misma idea del tercio da también el volumen de un cono, así que lo que aprendes aquí te sirve para cualquier cuerpo puntiagudo.

Aplicaciones del mundo real

La Gran Pirámide de Guiza

Los historiadores estiman cuánta piedra movieron los egipcios tratando la Gran Pirámide como una pirámide de base cuadrada.

Ejemplo:

Cuando se construyó, la pirámide tenía una base cuadrada de unos $230$ m de lado y medía unos $147$ m de alto.

1Inténtalo tú mismo

Usa para la Gran Pirámide una base cuadrada de $230$ m de lado y una altura de $147$ m.

¿Cuál era su volumen en metros cúbicos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Área de la base por altura, dividido entre 3:

Tiendas de campaña piramidales

Los fabricantes de material de acampada indican el volumen interior de las tiendas para que puedas comparar su espacio.

Ejemplo:

Una tienda con suelo cuadrado de $2$ m por $2$ m y un mástil central de $1{,}5$ m es una pirámide de base cuadrada.

2Inténtalo tú mismo

Una tienda piramidal tiene un suelo cuadrado de $2$ m de lado. Su mástil central mide $1{,}5$ m de alto.

¿Cuánto aire hay dentro de la tienda?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\frac{1}{3} \times 2^2 \times 1{,}5$ :

Tejados piramidales

Los instaladores de calefacción necesitan el volumen de aire bajo un tejado para elegir una calefacción o un ventilador.

Ejemplo:

Un tejado piramidal (tejado a cuatro aguas que termina en un punto) está sobre una casa de planta rectangular.

3Inténtalo tú mismo

Un tejado piramidal cubre una casa rectangular de $10$ m por $9$ m. La punta del tejado está $4$ m por encima del techo.

¿Cuál es el volumen del desván?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\frac{1}{3} \times 10 \times 9 \times 4$ :

Puntos clave

1El volumen de cualquier pirámide es $V = \frac{1}{3}Bh$ , donde $B$ es el área de la base y $h$ la altura perpendicular
2Calcula primero $B$ : $s^2$ para un cuadrado, $l \times w$ para un rectángulo, $\frac{1}{2} \times b \times h_b$ para un triángulo
3Una pirámide contiene exactamente un tercio del prisma con la misma base y altura
4Usa la altura perpendicular, no la apotema; si hace falta, hállala con $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$
5Para hallar la altura a partir del volumen, usa $h = \frac{3V}{B}$
6El volumen siempre va en unidades cúbicas (cm³, m³)

Preguntas frecuentes

Una pirámide se estrecha hasta un punto, así que contiene menos que un prisma con la misma base y altura. Los experimentos con arena o agua muestran que exactamente tres pirámides llenan el prisma. También se puede demostrar: un cubo se puede dividir en tres pirámides iguales, cada una con una cara del cubo como base.

Glosario

Pirámide: Un cuerpo con un polígono como base y caras triangulares que se juntan en un punto (el vértice)
Vértice (cúspide): El punto más alto de una pirámide, donde se juntan todas las caras triangulares
Área de la base (B): El área de la base de la pirámide, medida en unidades cuadradas
Altura (h): La distancia desde el vértice hasta la base, medida en perpendicular a la base
Apotema (l): La distancia desde el vértice hasta el punto medio de una arista de la base, medida sobre una cara triangular

Tarjeta de fórmulas

Cualquier pirámide

V = \frac{1}{3}Bh

Un tercio del área de la base por la altura perpendicular

Base cuadrada

V = \frac{1}{3}s^2h

El área de la base es el lado al cuadrado

Base rectangular

V = \frac{1}{3}lwh

El área de la base es largo por ancho

Base triangular

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h

La mitad de la base del triángulo por su altura da B

Altura a partir de la apotema

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Pitágoras en una pirámide de base cuadrada

Altura a partir del volumen

h = \frac{3V}{B}

Multiplica el volumen por 3 y divide entre el área de la base

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Definición

Hallar B según la base

¿Por qué un tercio?

Altura y apotema

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Tiendas de campaña piramidales

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Cualquier pirámide

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Base rectangular

Base triangular

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