Volumen de una pelota

Una pelota tiene un radio de $3$ cm. Calcula su volumen en función de $\pi$ y luego con $\pi \approx 3{,}14$, redondeando a las centésimas.

Escribe la fórmula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ = Fórmula lista

Eleva el radio al cubo: $r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ = $r^3 = 27$

Multiplica por $\frac{4}{3}$: $\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ = $V = 36\pi$ cm³

Sustituye $\pi$ por $3{,}14$: $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ = $V \approx 113{,}04$ cm³

Answer: El volumen es $36\pi$ cm³, que es aproximadamente $113{,}04$ cm³.

Empezar por el diámetro

Un globo terráqueo tiene un diámetro de $12$ cm. Calcula su volumen en función de $\pi$ y luego con $\pi \approx 3{,}14$, redondeando a las centésimas.

Halla el radio (la mitad del diámetro): $r = 12 \div 2 = 6$ = $r = 6$ cm

Eleva el radio al cubo: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ = $r^3 = 216$

Multiplica por $\frac{4}{3}$: $216 \div 3 = 72$, luego $72 \times 4 = 288$ = $V = 288\pi$ cm³

Sustituye $\pi$ por $3{,}14$: $288 \times 3{,}14 = 904{,}32$ = $V \approx 904{,}32$ cm³

Answer: El globo terráqueo tiene un volumen de $288\pi$ cm³, unos $904{,}32$ cm³. ¡Si usaras $12$ como radio, el volumen saldría $8$ veces más grande!

Volumen de una semiesfera

Un cuenco tiene forma de semiesfera con un radio interior de $6$ cm. ¿Cuánta sopa cabe? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las centésimas.

Escribe la fórmula de la semiesfera (media esfera): $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ = Fórmula lista

Eleva el radio al cubo: $6^3 = 216$ = $r^3 = 216$

Multiplica por $\frac{2}{3}$: $216 \div 3 = 72$, luego $72 \times 2 = 144$ = $V = 144\pi$ cm³

Sustituye $\pi$ por $3{,}14$ y pasa a mL ($1$ cm³ $= 1$ mL): $144 \times 3{,}14 = 452{,}16$ = $V \approx 452{,}16$ cm³ $\approx 452$ mL

Answer: En el cuenco caben $144\pi$ cm³, unos $452{,}16$ cm³, es decir, más o menos $452$ mL de sopa. Comprobación: es exactamente la mitad del globo del ejemplo 2 ($288\pi \div 2 = 144\pi$).

Hallar el radio a partir del volumen

Una esfera tiene un volumen de $4500\pi$ cm³. ¿Cuál es su radio?

Iguala la fórmula al volumen: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 4500\pi$ = Ecuación lista

Divide los dos lados entre $\pi$: $\frac{4}{3} r^3 = 4500$ = Ya no hay $\pi$

Multiplica los dos lados por $\frac{3}{4}$: $r^3 = 4500 \times \frac{3}{4} = 3375$ = $r^3 = 3375$

Calcula la raíz cúbica (¿qué número multiplicado tres veces por sí mismo da $3375$?): $15 \times 15 \times 15 = 3375$ = $r = 15$ cm

Answer: El radio es $15$ cm. Comprobación: $\frac{4}{3} \times 15^3 = \frac{4}{3} \times 3375 = 4500$, así que $V = 4500\pi$ cm³.

Arquímedes: la esfera dentro del cilindro

Una pelota de radio $3$ cm cabe justo dentro de un bote: el bote tiene radio $3$ cm y altura $6$ cm. ¿Qué fracción del bote ocupa la pelota?

Volumen del bote (cilindro): $V = \pi r^2 h$: $\pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6$ = $V_{\text{bote}} = 54\pi$ cm³

Volumen de la pelota: $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ = $V_{\text{pelota}} = 36\pi$ cm³

Compara los dos volúmenes: $\frac{36\pi}{54\pi} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ = La pelota ocupa $\frac{2}{3}$ del bote

Answer: La pelota ocupa $\frac{2}{3}$ del bote y $\frac{1}{3}$ (aquí $18\pi$ cm³) queda vacío. Esto funciona con cualquier esfera dentro de su cilindro: es el descubrimiento de Arquímedes.

Mistake: Usar el diámetro en lugar del radio

Why: La fórmula necesita el radio. Una esfera de $10$ cm de diámetro tiene $5$ cm de radio. Si usas $10$, $r^3$ vale $1000$ en lugar de $125$, y el resultado sale $8$ veces más grande.

Correct: Divide siempre primero el diámetro entre 2: $r = \frac{d}{2}$. Después eleva $r$ al cubo.

Mistake: Elevar el radio al cuadrado en lugar de al cubo

Why: El área del círculo usa $r^2$, así que es fácil escribir $r^2$ por costumbre. Pero el volumen tiene tres dimensiones y necesita tres factores $r$.

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, así que para $r = 3$: $r^3 = 27$, no $9$. La unidad es cm³, no cm².

Mistake: Dividir el radio entre 2 para una semiesfera en lugar de dividir el volumen

Why: Una semiesfera tiene el mismo radio que la esfera completa. Solo se divide entre dos el volumen. Si divides el radio, el volumen queda $8$ veces más pequeño, no $2$ veces.

Correct: Semiesfera: conserva $r$ y usa $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (la mitad de $\frac{4}{3}\pi r^3$).

Mistake: Dividir entre $3$ en lugar de calcular la raíz cúbica al buscar $r$

Why: Cuando llegas a $r^3 = 216$, el radio no es $216 \div 3 = 72$. $r^3$ significa $r \times r \times r$, así que necesitas el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da $216$.

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$, porque $6 \times 6 \times 6 = 216$. Apréndete los cubos $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Balones de deporte

Los fabricantes de balones usan la fórmula de la esfera para saber cuánto aire cabe en un balón y cuánto material necesita por dentro.

Una pelota de tenis tiene un diámetro de unos $6{,}6$ cm, así que $r = 3{,}3$ cm. Su volumen es aproximadamente $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

Planetas y espacio

Los planetas son casi esferas perfectas. Como el radio está al cubo, un planeta con un radio mayor tiene un volumen muchísimo mayor.

El radio de la Tierra mide unos $6371$ km, así que su volumen es aproximadamente $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (más de un billón de kilómetros cúbicos).

Bolas de helado y pompas de jabón

Una cuchara de helado hace bolas del mismo tamaño, y una pompa de jabón es una capa fina alrededor de una esfera de aire. Las dos son volúmenes de esferas.

Una pompa de jabón de radio $5$ cm contiene unos $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ de aire, más o menos medio litro.

Q: ¿De dónde sale el $\frac{4}{3}$?

A: Del descubrimiento de Arquímedes. El cilindro que rodea justo a una esfera tiene radio $r$ y altura $2r$, así que su volumen es $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$. La esfera ocupa $\frac{2}{3}$ de él: $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Q: ¿Dejo el resultado en función de $\pi$ o uso $3{,}14$?

A: Haz lo que pida el problema. Un resultado como $36\pi$ cm³ es exacto. Con $3{,}14$ obtienes un decimal aproximado ($113{,}04$ cm³). Con la tecla $\pi$ de la calculadora el resultado cambia un poco ($113{,}10$ cm³), así que indica siempre qué valor de $\pi$ usaste y cómo redondeaste.

Q: ¿Cómo hallo el radio si conozco el volumen?

A: Deshaz la fórmula paso a paso: divide el volumen entre $\pi$, multiplica por $\frac{3}{4}$ para obtener $r^3$ y después calcula la raíz cúbica. Para $V = 288\pi$: $288 \times \frac{3}{4} = 216$ y $\sqrt[3]{216} = 6$, así que $r = 6$.

Q: Si duplico el radio, ¿se duplica el volumen?

A: No, se hace $8$ veces mayor, porque $2^3 = 8$. Si triplicas el radio, el volumen se hace $27$ veces mayor ($3^3 = 27$). Por eso un balón de playa tiene muchísimo más aire que una pelota de tenis.