¿Dejo el resultado en función de $\pi$ o uso $3{,}14$?

Haz lo que pida el problema. Un resultado como $36\pi$ cm³ es exacto. Con $3{,}14$ obtienes un decimal aproximado ($113{,}04$ cm³). Con la tecla $\pi$ de la calculadora el resultado cambia un poco ($113{,}10$ cm³), así que indica siempre qué valor de $\pi$ usaste y cómo redondeaste.

¿Cómo hallo el radio si conozco el volumen?

Deshaz la fórmula paso a paso: divide el volumen entre $\pi$, multiplica por $\frac{3}{4}$ para obtener $r^3$ y después calcula la raíz cúbica. Para $V = 288\pi$: $288 \times \frac{3}{4} = 216$ y $\sqrt[3]{216} = 6$, así que $r = 6$.

Si duplico el radio, ¿se duplica el volumen?

No, se hace $8$ veces mayor, porque $2^3 = 8$. Si triplicas el radio, el volumen se hace $27$ veces mayor ($3^3 = 27$). Por eso un balón de playa tiene muchísimo más aire que una pelota de tenis.

Recursos para profesores

Volumen de esferas

Aprende a calcular el volumen de una esfera y de una semiesfera con V = (4/3)πr³, y a hallar el radio a partir del volumen.

Intermedio25 minLección

Ficha imprimible

Definición

Una esfera es una figura 3D perfectamente redonda, como una pelota. Todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro. Esa distancia es el radio

r

. El diámetro

d

pasa por el centro, así que

d = 2r

r = \frac{d}{2}

El volumen de una esfera (el espacio que hay dentro) es:

V = \frac{4}{3}\pi r^3

El radio está al cubo (

r^3 = r \times r \times r

), porque el volumen se mide en unidades cúbicas como cm³ o m³.

Una semiesfera es exactamente la mitad de una esfera, así que su volumen es la mitad:

V_{\text{semiesfera}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3

Puedes dar el resultado de dos maneras:

En función de π: mantienes el símbolo, por ejemplo $V = 36\pi$ cm³ (es exacto).
Como número decimal: usas $\pi \approx 3{,}14$ y redondeas como pida el problema, por ejemplo $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.

Pruébalo ahora

¿Qué fórmula da el volumen de una esfera de radio

r

Ejemplos resueltos

Una pelota tiene un radio de $3$ cm. Calcula su volumen en función de $\pi$ y luego con $\pi \approx 3{,}14$ , redondeando a las centésimas.

Escribe la fórmula

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ → Fórmula lista

Eleva el radio al cubo

$r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ → $r^3 = 27$

Multiplica por $\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ → $V = 36\pi$ cm³

Sustituye $\pi$ por $3{,}14$

$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ → $V \approx 113{,}04$ cm³

Respuesta: El volumen es $36\pi$ cm³, que es aproximadamente $113{,}04$ cm³.

Errores comunes

Usar el diámetro en lugar del radio

Por qué está mal: La fórmula necesita el radio. Una esfera de $10$ cm de diámetro tiene $5$ cm de radio. Si usas $10$ , $r^3$ vale $1000$ en lugar de $125$ , y el resultado sale $8$ veces más grande.

Correcto: Divide siempre primero el diámetro entre 2: $r = \frac{d}{2}$ . Después eleva $r$ al cubo.

Elevar el radio al cuadrado en lugar de al cubo

Por qué está mal: El área del círculo usa $r^2$ , así que es fácil escribir $r^2$ por costumbre. Pero el volumen tiene tres dimensiones y necesita tres factores $r$ .

Correcto: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , así que para $r = 3$ : $r^3 = 27$ , no $9$ . La unidad es cm³, no cm².

Dividir el radio entre 2 para una semiesfera en lugar de dividir el volumen

Por qué está mal: Una semiesfera tiene el mismo radio que la esfera completa. Solo se divide entre dos el volumen. Si divides el radio, el volumen queda $8$ veces más pequeño, no $2$ veces.

Correcto: Semiesfera: conserva $r$ y usa $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (la mitad de $\frac{4}{3}\pi r^3$ ).

Dividir entre $3$ en lugar de calcular la raíz cúbica al buscar $r$

Por qué está mal: Cuando llegas a $r^3 = 216$ , el radio no es $216 \div 3 = 72$ . $r^3$ significa $r \times r \times r$ , así que necesitas el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da $216$ .

Correcto: $r = \sqrt[3]{216} = 6$ , porque $6 \times 6 \times 6 = 216$ . Apréndete los cubos $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$ .

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Volumen

V = ⁴⁄₃πr³

V = ⁴⁄₃π · 3³ = 36π ≈ 113,1

113,1 cm³

Área de superficie

SA = 4πr²

SA = 4π · 3² = 36π ≈ 113,1

113,1 cm²

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué fórmula da el volumen de una esfera de radio $r$ ?

Por qué es importante

Los objetos redondos están en todas partes, y su volumen te dice cuánto cabe dentro o cuánto material necesitan:

Deporte: cuánto aire hay dentro de un balón de fútbol, de baloncesto o de una pelota de tenis
Comida: cuánto helado hay en una bola o cuántas bolas salen de una tarrina
Ciencia: las pompas de jabón, las gotas de lluvia y las gotitas de agua son casi esferas perfectas
Espacio: los planetas y las estrellas son casi esféricos, por eso los astrónomos comparan sus tamaños con esta fórmula
Ingeniería: los depósitos de gas redondos y las cúpulas (semiesferas) se diseñan con estos volúmenes

Hace unos 2200 años, Arquímedes descubrió que una esfera ocupa exactamente

\frac{2}{3}

del cilindro que la rodea. ¡Estaba tan orgulloso que pidió que grabaran una esfera y un cilindro en su tumba!

Aplicaciones del mundo real

Balones de deporte

Los fabricantes de balones usan la fórmula de la esfera para saber cuánto aire cabe en un balón y cuánto material necesita por dentro.

Ejemplo:

Una pelota de tenis tiene un diámetro de unos $6{,}6$ cm, así que $r = 3{,}3$ cm. Su volumen es aproximadamente $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

1Inténtalo tú mismo

Un balón de balonmano tiene un diámetro de $18$ cm.

¿Cuál es su volumen? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las centésimas.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el diámetro entre 2, eleva el radio al cubo y multiplica por $\frac{4}{3}$ y por $3{,}14$ :

Planetas y espacio

Los planetas son casi esferas perfectas. Como el radio está al cubo, un planeta con un radio mayor tiene un volumen muchísimo mayor.

Ejemplo:

El radio de la Tierra mide unos $6371$ km, así que su volumen es aproximadamente $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (más de un billón de kilómetros cúbicos).

2Inténtalo tú mismo

El radio de Júpiter es unas $11$ veces el radio de la Tierra.

¿Cuántas Tierras cabrían aproximadamente en Júpiter por volumen (si pudieras fundirlas y verterlas dentro)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Si el radio se multiplica por $11$ , el volumen se multiplica por $11^3$ :

Bolas de helado y pompas de jabón

Una cuchara de helado hace bolas del mismo tamaño, y una pompa de jabón es una capa fina alrededor de una esfera de aire. Las dos son volúmenes de esferas.

Ejemplo:

Una pompa de jabón de radio $5$ cm contiene unos $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ de aire, más o menos medio litro.

3Inténtalo tú mismo

Una tarrina contiene $2$ litros ( $2000$ cm³) de helado. Cada bola es una esfera de radio $3$ cm.

¿Cuántas bolas completas puedes servir? Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el volumen de la tarrina entre el volumen de una bola:

Puntos clave

1El volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , donde $r$ es el radio
2Si te dan el diámetro, divídelo primero entre 2: $r = \frac{d}{2}$
3Una semiesfera es media esfera: $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (mismo radio, mitad del volumen)
4Da resultados exactos en función de $\pi$ (como $36\pi$ cm³) o usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea como se pida
5Para hallar $r$ a partir de $V$ : divide entre $\pi$ , multiplica por $\frac{3}{4}$ y calcula la raíz cúbica
6Una esfera ocupa exactamente $\frac{2}{3}$ del cilindro que la rodea (Arquímedes)

Preguntas frecuentes

Del descubrimiento de Arquímedes. El cilindro que rodea justo a una esfera tiene radio

r

y altura

2r

, así que su volumen es

\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3

. La esfera ocupa

\frac{2}{3}

de él:

\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

Glosario

Esfera: Una figura 3D perfectamente redonda en la que todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro
Radio ( $r$ ): La distancia del centro de una esfera a su superficie
Diámetro ( $d$ ): La distancia de lado a lado de la esfera pasando por el centro; $d = 2r$
Semiesfera: Exactamente la mitad de una esfera, cortada por el centro; su volumen es $\frac{2}{3}\pi r^3$
Raíz cúbica: El número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da un valor; $\sqrt[3]{27} = 3$
En función de $\pi$: Un resultado exacto que conserva el símbolo $\pi$ , como $36\pi$ cm³

Tarjeta de fórmulas

Volumen de una esfera

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Cuatro tercios por pi por el radio al cubo

Volumen de una semiesfera

V = \frac{2}{3}\pi r^3

La mitad del volumen de la esfera con el mismo radio

Radio a partir del diámetro

r = \frac{d}{2}

Divide el diámetro entre 2 antes de usar la fórmula

Radio a partir del volumen

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Divide entre pi, multiplica por 3/4 y calcula la raíz cúbica

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