Reglas de divisibilidad combinadas

Algunos divisores no tienen una regla propia, pero puedes **combinar** dos reglas sencillas. **Regla combinada:** si $a$ y $b$ son **primos entre sí** (coprimos: su único divisor común es $1$), entonces un número divisible por $a$ y por $b$ es divisible por $a \times b$. | Divisor | Prueba | Por qué funciona | |---|---|---| | $12 = 3 \times 4$ | suma de las cifras divisible por 3 **y** dos últimas cifras divisibles por 4 | 3 y 4 son primos entre sí | | $15 = 3 \times 5$ | suma de las cifras divisible por 3 **y** última cifra 0 o 5 | 3 y 5 son primos entre sí | | $18 = 2 \times 9$ | última cifra par **y** suma de las cifras divisible por 9 | 2 y 9 son primos entre sí | | $36 = 4 \times 9$ | dos últimas cifras divisibles por 4 **y** suma de las cifras divisible por 9 | 4 y 9 son primos entre sí | **Cuidado:** $12 = 2 \times 6$ NO es una prueba válida, porque 2 y 6 comparten el factor 2. El número $18$ es divisible por 2 y por 6, pero $18 \div 12 = 1{,}5$. En general, cumplir las pruebas de $a$ y de $b$ demuestra la divisibilidad por $\text{m.c.m.}(a, b)$, que solo es igual a $a \times b$ cuando $a$ y $b$ son primos entre sí. **Divisibilidad por 11 (suma alternada):** empieza por la cifra de las unidades y suma y resta las cifras por turnos: $+ - + - \dots$ Si el resultado es divisible por 11 (esto incluye $0$, $11$, $-11$, $22$), el número es divisible por 11. $$82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ es divisible por } 11$$

Divisible por 12: usa 3 y 4

¿Es $7128$ divisible por $12$?

Descompón 12 en factores primos entre sí: $12 = 3 \times 4$, y 3 y 4 no tienen más divisor común que el 1 = Comprueba 3 y 4

Comprueba el 3 con la suma de las cifras: $7 + 1 + 2 + 8 = 18$, y $18$ es divisible por 3 = Divisible por 3

Comprueba el 4 con las dos últimas cifras: Las dos últimas cifras forman $28$, y $28 \div 4 = 7$ = Divisible por 4

Combina y comprueba: Las dos pruebas se cumplen, así que 12 lo divide: $7128 \div 12 = 594$ = Divisible por 12

Answer: Sí, $7128$ es divisible por $12$ ($7128 = 12 \times 594$).

La trampa del 2 y el 6

$18$ es divisible por $2$ y por $6$. ¿Es divisible por $2 \times 6 = 12$?

Comprueba 2 y 6: $18 \div 2 = 9$ y $18 \div 6 = 3$ = Los dos dividen a 18

Comprueba 12 directamente: $18 = 12 \times 1 + 6$ = Resto 6, no es divisible

Busca la razón: $2 = 2$ y $6 = 2 \times 3$ comparten el factor 2, así que el 2 se cuenta dos veces. Divisible por 2 y 6 solo significa divisible por $\text{m.c.m.}(2, 6) = 6$ = 2 y 6 no son primos entre sí

Answer: No. $18$ cumple las pruebas del 2 y del 6, pero no es divisible por 12. Usa en su lugar la pareja de primos entre sí 3 y 4.

Divisible por 11: suma alternada

¿Es $82.918$ divisible por $11$?

Escribe las cifras desde las unidades hacia la izquierda: $8, 1, 9, 2, 8$ = Empieza por la cifra de las unidades

Suma y resta por turnos: $8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22$ = Suma alternada: 22

Comprueba el resultado: $22 = 2 \times 11$ = Divisible por 11

Comprueba dividiendo: $82.918 \div 11 = 7538$ = Sin resto

Answer: Sí, $82.918$ es divisible por $11$ porque su suma alternada, $22$, es múltiplo de 11.

Búsqueda rápida de divisores

¿Cuáles de los números del $2$ al $12$ dividen a $1980$?

Pruebas de la última cifra: Termina en 0: divisible por 2, 5 y 10 = 2, 5, 10

Pruebas de la suma de las cifras: $1 + 9 + 8 + 0 = 18$: divisible por 3 y por 9 = 3, 9

Dos y tres últimas cifras: $80 \div 4 = 20$: divisible por 4. $980 \div 8 = 122{,}5$: no es divisible por 8 = 4 sí, 8 no

Suma alternada para el 11: $0 - 8 + 9 - 1 = 0$ = 11

Combina las parejas de primos entre sí: $6 = 2 \times 3$ y $12 = 3 \times 4$ se cumplen. Para el 7 no hay una regla sencilla: $1980 = 7 \times 282 + 6$ = 6, 12; el 7 no

Answer: $1980$ es divisible por $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11$ y $12$, pero no por $7$ ni por $8$.

Cifra que falta con dos reglas

¿Qué cifras $d$ hacen que $38d4$ sea divisible por $12$?

Regla del 4: las dos últimas cifras $d4$: $04, 24, 44, 64, 84$ son múltiplos de 4 = $d$ = 0, 2, 4, 6 u 8

Regla del 3: la suma de las cifras: $3 + 8 + d + 4 = 15 + d$ debe ser múltiplo de 3 = $d$ = 0, 3, 6 o 9

Quédate con las cifras que cumplen los dos: Comunes a las dos listas: 0 y 6 = $d = 0$ o $d = 6$

Comprueba: $3804 \div 12 = 317$ y $3864 \div 12 = 322$ = Las dos funcionan

Answer: $d = 0$ o $d = 6$: los números $3804$ y $3864$ son ambos divisibles por $12$.

Las reglas combinadas convierten una pregunta grande en dos comprobaciones rápidas: - **Repartir a partes iguales**: ¿se pueden dar 1350 pegatinas a 15 clases sin que sobre ninguna? Dos comprobaciones dicen que sí. - **Horarios**: un día tiene 1440 minutos, así que un tranvía cada 36 minutos encaja exactamente en el día si 1440 es divisible por 36. - **Fracciones**: ver que 12 o 18 divide al numerador y al denominador simplifica una fracción en un solo paso. - **Números enormes**: un número de 12 cifras se comprueba para 11 o 12 en segundos, incluso cuando la calculadora muestra muy pocas cifras. La idea detrás de cada regla combinada, los factores primos entre sí, también es la clave del mínimo común múltiplo y de muchos acertijos con cifras que faltan.

Mistake: Comprobar el 12 con las reglas del 2 y del 6

Why: 2 y 6 comparten el factor 2, así que cumplir las dos pruebas solo demuestra la divisibilidad por 6. Contraejemplo: $18$ (y también $30$) es divisible por 2 y 6, pero no por 12.

Correct: Usa factores primos entre sí: $12 = 3 \times 4$. Comprueba la suma de las cifras para el 3 y las dos últimas cifras para el 4.

Mistake: Comprobar el 36 con 3 y 12

Why: 3 y 12 comparten el factor 3. $24$ es divisible por 3 y por 12, pero $24 \div 36$ no es un número entero.

Correct: Usa $36 = 4 \times 9$: dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9.

Mistake: Creer que basta con una prueba

Why: Una regla combinada necesita LAS DOS pruebas. $25$ termina en 5, pero la suma de sus cifras es 7, así que no es divisible por 15.

Correct: Comprueba cada factor de la pareja. Si una prueba falla, el número no es divisible por el producto.

Mistake: Interpretar una suma alternada de $0$ o $-11$ como no divisible por 11

Why: $0$, $-11$ y $-22$ también son múltiplos de 11. Para $9174$: $4 - 7 + 1 - 9 = -11$, y en efecto $9174 = 11 \times 834$.

Correct: El número es divisible por 11 siempre que la suma alternada sea $0$ o cualquier múltiplo de 11, positivo o negativo.

Repartir a partes iguales

Profesores, entrenadores y organizadores necesitan saber a menudo si algo se puede repartir sin que sobre nada.

Un colegio tiene 1350 pegatinas para 15 clases. $15 = 3 \times 5$: la última cifra es 0 (divisible por 5) y $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisible por 3). Así que las pegatinas se pueden repartir a partes iguales.

Horarios

Los planificadores de transporte quieren salidas que se repitan igual cada día. Un día tiene $24 \times 60 = 1440$ minutos.

Un autobús cada 12 minutos encaja exactamente en un día: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisible por 3) y $40 \div 4 = 10$, así que 1440 es divisible por 12, lo que da 120 salidas.

La prueba de las 12 cifras

Muchas calculadoras solo muestran de 8 a 10 cifras, así que no pueden dividir exactamente un número de 12 cifras. Las reglas de divisibilidad funcionan con números de cualquier longitud.

Para $123.456.789.012$ la suma de las cifras es $48$ (divisible por 3) y las dos últimas cifras forman $12$ (divisible por 4), así que el número es divisible por 12.

Si $a$ y $b$ son primos entre sí, un número divisible por $a$ y por $b$ es divisible por $a \times b$

Comprueba el 12 con 3 y 4, el 15 con 3 y 5, el 18 con 2 y 9, el 36 con 4 y 9

Nunca compruebes un producto con dos factores que comparten un factor: 18 es divisible por 2 y 6, pero no por 12

Divisible por 11: la suma alternada de las cifras ($+ - + - \dots$ desde las unidades) es múltiplo de 11, incluidos el $0$ y los múltiplos negativos

Para buscar divisores rápido, usa las pruebas de la última cifra, la suma de las cifras y la suma alternada, y luego combina parejas de primos entre sí

Para una cifra que falta con dos reglas, haz la lista de cifras que cumplen cada regla y quédate con las que están en las dos listas

Q: ¿Por qué los dos factores tienen que ser primos entre sí?

A: Un número divisible por $a$ y por $b$ es un múltiplo común de $a$ y $b$, así que es divisible por $\text{m.c.m.}(a, b)$. Cuando $a$ y $b$ son primos entre sí, $\text{m.c.m.}(a, b) = a \times b$. Cuando comparten un factor, el m.c.m. es menor: $\text{m.c.m.}(2, 6) = 6$, no 12.

Q: ¿Por qué funciona la suma alternada para el 11?

A: $10 = 11 - 1$, así que 10 deja resto $-1$ al dividir entre 11, $100 = 99 + 1$ deja $+1$, $1000 = 1001 - 1$ deja $-1$, y así sucesivamente. Por eso cada cifra cuenta con el signo $+, -, +, -, \dots$ desde las unidades, y el número tiene el mismo resto que su suma alternada.

Q: ¿Importa si empiezo la suma alternada por la izquierda o por la derecha?

A: Para la respuesta sí o no, no importa: los dos resultados son iguales u opuestos, y $-22$ es múltiplo de 11 exactamente cuando lo es $22$. Empezar por la cifra de las unidades con $+$ además conserva el resto del número (suma o resta 11 hasta quedar entre 0 y 10), por eso es la costumbre más segura.

Q: ¿Puedo comprobar el 24 con 4 y 6?

A: No, 4 y 6 comparten el factor 2. $12$ es divisible por 4 y 6, pero no por 24. Usa la pareja de primos entre sí $24 = 3 \times 8$: suma de las cifras divisible por 3 y tres últimas cifras divisibles por 8.

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Reglas de divisibilidad combinadas

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Teoría de Números / Divisibilidad

Reglas de divisibilidad combinadas

Combina reglas sencillas para comprobar 12, 15, 18 y 36, aprende la suma alternada para el 11 y encuentra todos los divisores del 2 al 12 en segundos.

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