¿Por qué los dos factores tienen que ser primos entre sí?

Un número divisible por $a$ y por $b$ es un múltiplo común de $a$ y $b$, así que es divisible por $\text{m.c.m.}(a, b)$. Cuando $a$ y $b$ son primos entre sí, $\text{m.c.m.}(a, b) = a \times b$. Cuando comparten un factor, el m.c.m. es menor: $\text{m.c.m.}(2, 6) = 6$, no 12.

¿Por qué funciona la suma alternada para el 11?

$10 = 11 - 1$, así que 10 deja resto $-1$ al dividir entre 11, $100 = 99 + 1$ deja $+1$, $1000 = 1001 - 1$ deja $-1$, y así sucesivamente. Por eso cada cifra cuenta con el signo $+, -, +, -, \dots$ desde las unidades, y el número tiene el mismo resto que su suma alternada.

¿Importa si empiezo la suma alternada por la izquierda o por la derecha?

Para la respuesta sí o no, no importa: los dos resultados son iguales u opuestos, y $-22$ es múltiplo de 11 exactamente cuando lo es $22$. Empezar por la cifra de las unidades con $+$ además conserva el resto del número (suma o resta 11 hasta quedar entre 0 y 10), por eso es la costumbre más segura.

¿Puedo comprobar el 24 con 4 y 6?

No, 4 y 6 comparten el factor 2. $12$ es divisible por 4 y 6, pero no por 24. Usa la pareja de primos entre sí $24 = 3 \times 8$: suma de las cifras divisible por 3 y tres últimas cifras divisibles por 8.

Recursos para profesores

Reglas de divisibilidad combinadas

Combina reglas sencillas para comprobar 12, 15, 18 y 36, aprende la suma alternada para el 11 y encuentra todos los divisores del 2 al 12 en segundos.

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Definición

Algunos divisores no tienen una regla propia, pero puedes combinar dos reglas sencillas.

Regla combinada: si

a

b

son primos entre sí (coprimos: su único divisor común es

1

), entonces un número divisible por

a

y por

b

es divisible por

a \times b

Divisor	Prueba	Por qué funciona
$12 = 3 \times 4$	suma de las cifras divisible por 3 y dos últimas cifras divisibles por 4	3 y 4 son primos entre sí
$15 = 3 \times 5$	suma de las cifras divisible por 3 y última cifra 0 o 5	3 y 5 son primos entre sí
$18 = 2 \times 9$	última cifra par y suma de las cifras divisible por 9	2 y 9 son primos entre sí
$36 = 4 \times 9$	dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9	4 y 9 son primos entre sí

Cuidado:

12 = 2 \times 6

NO es una prueba válida, porque 2 y 6 comparten el factor 2. El número

18

es divisible por 2 y por 6, pero

18 \div 12 = 1{,}5

. En general, cumplir las pruebas de

a

y de

b

demuestra la divisibilidad por

\text{m.c.m.}(a, b)

, que solo es igual a

a \times b

cuando

a

b

son primos entre sí.

Divisibilidad por 11 (suma alternada): empieza por la cifra de las unidades y suma y resta las cifras por turnos:

+ - + - \dots

Si el resultado es divisible por 11 (esto incluye

0

11

-11

22

), el número es divisible por 11.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ es divisible por } 11

Pruébalo ahora

¿Qué pareja de pruebas demuestra a la vez que un número es divisible por

12

Ejemplos resueltos

¿Es

7128

divisible por

12

Descompón 12 en factores primos entre sí

12 = 3 \times 4

, y 3 y 4 no tienen más divisor común que el 1 → Comprueba 3 y 4

Comprueba el 3 con la suma de las cifras

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, y

18

es divisible por 3

Comprueba el 4 con las dos últimas cifras

Las dos últimas cifras forman

28

, y

28 \div 4 = 7

→ Divisible por 4

Combina y comprueba

Las dos pruebas se cumplen, así que 12 lo divide:

7128 \div 12 = 594

→ Divisible por 12

Respuesta: Sí, $7128$ es divisible por $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Errores comunes

Comprobar el 12 con las reglas del 2 y del 6

Por qué está mal: 2 y 6 comparten el factor 2, así que cumplir las dos pruebas solo demuestra la divisibilidad por 6. Contraejemplo: $18$ (y también $30$ ) es divisible por 2 y 6, pero no por 12.

Correcto: Usa factores primos entre sí: $12 = 3 \times 4$ . Comprueba la suma de las cifras para el 3 y las dos últimas cifras para el 4.

Comprobar el 36 con 3 y 12

Por qué está mal: 3 y 12 comparten el factor 3. $24$ es divisible por 3 y por 12, pero $24 \div 36$ no es un número entero.

Correcto: Usa $36 = 4 \times 9$ : dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9.

Creer que basta con una prueba

Por qué está mal: Una regla combinada necesita LAS DOS pruebas. $25$ termina en 5, pero la suma de sus cifras es 7, así que no es divisible por 15.

Correcto: Comprueba cada factor de la pareja. Si una prueba falla, el número no es divisible por el producto.

Interpretar una suma alternada de $0$ o $-11$ como no divisible por 11

Por qué está mal: $0$ , $-11$ y $-22$ también son múltiplos de 11. Para $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , y en efecto $9174 = 11 \times 834$ .

Correcto: El número es divisible por 11 siempre que la suma alternada sea $0$ o cualquier múltiplo de 11, positivo o negativo.

Visual interactivo

Primero adivina: ¿qué números del 2 al 12 dividen a cada número? Luego comprueba cada criterio

0 de 0 bien

3960

Para 2: mira la última cifra.

Elige un divisor, responde sí o no y luego mira el criterio.

¿Es 3960 divisible entre 2?

Para 2: mira la última cifra.

Un número de 12 cifras: los criterios funcionan donde a la calculadora le faltan cifras

123456789012

Para 2: mira la última cifra.

Toca un divisor para ver su criterio con este número.

¿Es 123.456.789.012 divisible entre 2?

La última cifra es 2. Es par (0, 2, 4, 6 u 8).

123.456.789.012 es divisible entre 2.

Comprobación con la división: 123.456.789.012 ÷ 2 = 61.728.394.506

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué pareja de pruebas demuestra a la vez que un número es divisible por

12

Por qué es importante

Las reglas combinadas convierten una pregunta grande en dos comprobaciones rápidas:

Repartir a partes iguales: ¿se pueden dar 1350 pegatinas a 15 clases sin que sobre ninguna? Dos comprobaciones dicen que sí.
Horarios: un día tiene 1440 minutos, así que un tranvía cada 36 minutos encaja exactamente en el día si 1440 es divisible por 36.
Fracciones: ver que 12 o 18 divide al numerador y al denominador simplifica una fracción en un solo paso.
Números enormes: un número de 12 cifras se comprueba para 11 o 12 en segundos, incluso cuando la calculadora muestra muy pocas cifras.

La idea detrás de cada regla combinada, los factores primos entre sí, también es la clave del mínimo común múltiplo y de muchos acertijos con cifras que faltan.

Aplicaciones del mundo real

Repartir a partes iguales

Profesores, entrenadores y organizadores necesitan saber a menudo si algo se puede repartir sin que sobre nada.

Ejemplo:

Un colegio tiene 1350 pegatinas para 15 clases. $15 = 3 \times 5$ : la última cifra es 0 (divisible por 5) y $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisible por 3). Así que las pegatinas se pueden repartir a partes iguales.

1Inténtalo tú mismo

Un colegio quiere dar 1350 pegatinas a 15 clases, el mismo número a cada clase.

¿Cuántas pegatinas recibe cada clase?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que da las pegatinas por clase:

Horarios

Los planificadores de transporte quieren salidas que se repitan igual cada día. Un día tiene $24 \times 60 = 1440$ minutos.

Ejemplo:

Un autobús cada 12 minutos encaja exactamente en un día: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisible por 3) y $40 \div 4 = 10$ , así que 1440 es divisible por 12, lo que da 120 salidas.

2Inténtalo tú mismo

Un tranvía sale cada 36 minutos, de día y de noche, empezando a medianoche.

¿Cuántos tranvías salen en un día de 1440 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que da el número de salidas:

La prueba de las 12 cifras

Muchas calculadoras solo muestran de 8 a 10 cifras, así que no pueden dividir exactamente un número de 12 cifras. Las reglas de divisibilidad funcionan con números de cualquier longitud.

Ejemplo:

Para $123.456.789.012$ la suma de las cifras es $48$ (divisible por 3) y las dos últimas cifras forman $12$ (divisible por 4), así que el número es divisible por 12.

3Inténtalo tú mismo

Un código de 12 cifras es $123.456.789.012$ . Quieres saber si es divisible por 12 y por 11, sin calculadora.

¿Cuál es el resto al dividir $123.456.789.012$ entre 12?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el resto:

Puntos clave

1Si $a$ y $b$ son primos entre sí, un número divisible por $a$ y por $b$ es divisible por $a \times b$
2Comprueba el 12 con 3 y 4, el 15 con 3 y 5, el 18 con 2 y 9, el 36 con 4 y 9
3Nunca compruebes un producto con dos factores que comparten un factor: 18 es divisible por 2 y 6, pero no por 12
4Divisible por 11: la suma alternada de las cifras ( $+ - + - \dots$ desde las unidades) es múltiplo de 11, incluidos el $0$ y los múltiplos negativos
5Para buscar divisores rápido, usa las pruebas de la última cifra, la suma de las cifras y la suma alternada, y luego combina parejas de primos entre sí
6Para una cifra que falta con dos reglas, haz la lista de cifras que cumplen cada regla y quédate con las que están en las dos listas

Preguntas frecuentes

Un número divisible por

a

y por

b

es un múltiplo común de

a

b

, así que es divisible por

\text{m.c.m.}(a, b)

. Cuando

a

b

son primos entre sí,

\text{m.c.m.}(a, b) = a \times b

. Cuando comparten un factor, el m.c.m. es menor:

\text{m.c.m.}(2, 6) = 6

, no 12.

Glosario

Primos entre sí (coprimos): Dos números son primos entre sí si su único divisor común es 1. Ejemplo: 4 y 9 son primos entre sí, 2 y 6 no.
Regla de divisibilidad combinada: Una prueba para un producto $a \times b$ de números primos entre sí: el número debe cumplir la prueba de $a$ y la prueba de $b$ .
Suma alternada: Las cifras sumadas y restadas por turnos desde las unidades: para 2816 es $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Suma de las cifras: La suma de todas las cifras de un número (también llamada suma de dígitos). La suma de las cifras de 1980 es $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Resto: Lo que sobra después de dividir. $18 \div 12 = 1$ y resto $6$ .
Mínimo común múltiplo (m.c.m.): El menor número que es múltiplo de los dos números. $\text{m.c.m.}(3, 4) = 12$ , $\text{m.c.m.}(2, 6) = 6$ .

Tarjeta de fórmulas

Regla combinada

a, b

primos entre sí:

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Solo funciona si los dos factores no tienen más divisor común que el 1

Divisible por 12

12 = 3 \times 4

Suma de las cifras divisible por 3 y dos últimas cifras divisibles por 4

Divisible por 15

15 = 3 \times 5

Suma de las cifras divisible por 3 y última cifra 0 o 5

Divisible por 18

18 = 2 \times 9

Última cifra par y suma de las cifras divisible por 9

Divisible por 36

36 = 4 \times 9

Dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9

Divisible por 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

La suma alternada desde las unidades es múltiplo de 11 (incluido el 0)

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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