Máximo Común Divisor (MCD)

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es el MCD de $6$ y $9$ ?
1. a)9
2. b)6
3. c)18
4. d)3
Respuesta: 3
Divisores de 6: 1, 2, 3, 6. Divisores de 9: 1, 3, 9. Divisores comunes: 1, 3. El mayor es $3$ .
2.
¿Cuál es el MCD de $8$ y $12$ ?
Respuesta: 4
Divisores de 8: 1, 2, 4, 8. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores comunes: 1, 2, 4. MCD = $4$ .
3.
Encuentra el MCD de $15$ y $20$ con la lista de divisores.
Respuesta: 5
1. Escribe todos los divisores de 15: 1, 3, 5, 15
2. Escribe todos los divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
3. ¿Qué divisores aparecen en AMBAS listas? 1, 5
4. ¿Cuál es el máximo común divisor? 5
4.
¿En qué pareja los dos números son primos entre sí (MCD = 1)?
1. a)6 y 9
2. b)8 y 15
3. c)10 y 25
4. d)12 y 18
Respuesta: 8 y 15
MCD(8, 15) = 1 (ningún divisor común salvo el 1). MCD(6, 9) = 3. MCD(10, 25) = 5. MCD(12, 18) = 6. Solo 8 y 15 son primos entre sí.
5.
¿Cuál es el MCD de $24$ y $36$ ?
Respuesta: 12
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12. MCD = $12$ .
6.
Encuentra el MCD de $48$ y $60$ con la descomposición en factores primos.
Respuesta: 12
1. Escribe la descomposición con potencias: $48 = 2^{\square} \times 3$ . ¿Qué exponente va en la casilla? 4
2. Escribe la descomposición con potencias: $60 = 2^{\square} \times 3 \times 5$ . ¿Qué exponente va en la casilla? 2
3. ¿Qué factores primos son comunes a ambos? 2 y 3
4. Toma la menor potencia de cada factor primo común y multiplica: 12
7.
Simplifica $\frac{18}{24}$ usando el MCD.
1. a) $\frac{9}{12}$
2. b) $\frac{6}{8}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{2}{3}$
Respuesta: $\frac{3}{4}$
MCD(18, 24) = 6. $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ . Las otras opciones no están completamente simplificadas.
8.
Una florista tiene 36 rosas y 48 tulipanes. Quiere hacer ramos idénticos sin que sobren flores. ¿Cuál es el número máximo de ramos que puede hacer?
Respuesta: 12
1. ¿Necesitas aquí el MCD o el mcm? MCD
2. Escribe los divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. Escribe los divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
4. ¿Cuánto vale MCD(36, 48), es decir, el número máximo de ramos? 12
9.
¿Cuál es el MCD de $42$ y $56$ ?
Respuesta: 14
$42 = 2 \times 3 \times 7$ , $56 = 2^3 \times 7$ . Comunes: $2^1$ y $7^1$ . MCD = $2 \times 7 = 14$ .
10.
¿Cuál es MCD(50, 100)?
1. a)50
2. b)10
3. c)25
4. d)100
Respuesta: 50
Como 50 divide a 100 sin resto ( $100 = 2 \times 50$ ), el MCD es el propio 50. ¡El MCD puede ser igual al número menor!
11.
Encuentra el MCD de $18$ , $24$ y $30$ .
Respuesta: 6
1. Escribe la descomposición con potencias: $18 = 2 \times 3^{\square}$ . ¿Qué exponente va en la casilla? 2
2. Escribe la descomposición con potencias: $24 = 2^{\square} \times 3$ . ¿Qué exponente va en la casilla? 3
3. Descompón 30 en factores primos: $30 = 2 \times 3 \times \square$ . ¿Qué número primo va en la casilla? 5
4. ¿Qué factores primos aparecen en LAS TRES descomposiciones? 2 y 3
5. MCD = ? 6
12.
¿Cuál es MCD(72, 96)?
Respuesta: 24
$72 = 2^3 \times 3^2$ , $96 = 2^5 \times 3$ . Comunes: $2^3$ y $3^1$ . MCD = $8 \times 3 = 24$ .
13.
Simplifica $\frac{84}{126}$ a su mínima expresión usando el MCD.
Respuesta: 2/3
1. Escribe la descomposición con potencias: $84 = 2^{\square} \times 3 \times 7$ . ¿Qué exponente va en la casilla? 2
2. Escribe la descomposición con potencias: $126 = 2 \times 3^{\square} \times 7$ . ¿Qué exponente va en la casilla? 2
3. MCD(84, 126) = ? 42
4. $\frac{84}{126} = \frac{\square}{3}$ . ¿Qué número va en la casilla? 2
14.
Un carpintero tiene tablas de 84 cm y de 126 cm. Quiere cortar las dos en trozos de la misma longitud sin desperdicio. ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo?
1. a)21 cm
2. b)7 cm
3. c)42 cm
4. d)14 cm
Respuesta: 42 cm
MCD(84, 126) = 42. Puede cortar 2 trozos de la tabla de 84 cm y 3 de la de 126 cm, todos de 42 cm.
15.
Encuentra el MCD de $10$ y $15$ .
Respuesta: 5
1. Escribe los divisores de 10: 1, 2, 5, 10
2. Escribe los divisores de 15: 1, 3, 5, 15
3. Divisores comunes: 1, 5
4. Máximo común divisor: 5
16.
¿Cuál es MCD(45, 75)?
Respuesta: 15
$45 = 3^2 \times 5$ , $75 = 3 \times 5^2$ . Comunes: $3^1$ y $5^1$ . MCD = $3 \times 5 = 15$ .