Hallar un resto

Calcula $47 \bmod 6$.

Busca el mayor múltiplo de 6 que no pase de 47: $6 \times 7 = 42$, mientras que $6 \times 8 = 48$ ya es demasiado = $42$

Escribe 47 como cociente por 6 más resto: $47 = 7 \times 6 + 5$ = resto $5$

Comprueba que el resto está entre 0 y 5: $0 \leq 5 \leq 5$, así que es un resto válido = $47 \bmod 6 = 5$

Answer: $47 \bmod 6 = 5$, así que $47 \equiv 5 \pmod{6}$. El cociente $7$ no forma parte de la respuesta.

100 horas en un reloj

Son las 9. ¿Hacia dónde apuntará la aguja de las horas dentro de 100 horas?

Quita las vueltas completas: una vuelta del reloj son 12 horas: $100 = 8 \times 12 + 4$, y 8 vueltas completas no cambian nada = $100 \bmod 12 = 4$

Suma las horas que quedan a la hora de partida: $9 + 4 = 13$ = $13$

Reduce otra vez, porque la esfera no tiene 13: $13 = 1 \times 12 + 1$ = $13 \bmod 12 = 1$

Answer: La aguja apunta al 1. En una línea: $9 + 100 = 109 = 9 \times 12 + 1$, así que $109 \equiv 1 \pmod{12}$.

Primero reducir, después multiplicar

Calcula $(38 \times 27) \bmod 5$ sin multiplicar los números grandes.

Reduce cada factor módulo 5: $38 = 7 \times 5 + 3$ y $27 = 5 \times 5 + 2$ = $38 \equiv 3$ y $27 \equiv 2 \pmod{5}$

Multiplica los restos: $3 \times 2 = 6$ = $6$

Reduce el producto: $6 = 1 \times 5 + 1$ = $1$

Comprueba con el producto completo: $38 \times 27 = 1026 = 205 \times 5 + 1$ = el mismo resto $1$

Answer: $(38 \times 27) \bmod 5 = 1$. Al reducir primero, bastó con calcular $3 \times 2$.

Retroceder en el calendario

Hoy es miércoles. ¿Qué día de la semana fue hace 30 días? Numera los días lunes $= 0$, martes $= 1$, y así hasta domingo $= 6$.

Dale su número al día de hoy: lunes $= 0$, martes $= 1$, miércoles $= 2$ = $2$

Retroceder en el tiempo es restar: $2 - 30 = -28$ = $-28$

Halla el resto entre 0 y 6 del número negativo: $-28 = (-4) \times 7 + 0$ = $-28 \bmod 7 = 0$

Convierte el número otra vez en un día: El día $0$ es el lunes = lunes

Answer: Hace 30 días fue lunes. Comprobación: hace 28 días fue miércoles (exactamente 4 semanas), y dos días antes es lunes.

La última cifra de una potencia enorme

¿Cuál es la última cifra de $3^{100}$?

La última cifra es el resto módulo 10. Escribe las primeras potencias: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$ = últimas cifras $3, 9, 7, 1$

Descubre el ciclo: $3^5 = 243$ vuelve a acabar en 3, porque la siguiente última cifra solo depende de la anterior = longitud del ciclo $4$

Busca dónde cae el exponente 100 en el ciclo: $100 = 25 \times 4 + 0$ = $100 \bmod 4 = 0$

Resto 0 significa el último lugar del ciclo: $3^{100} = (3^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod{10}$ = última cifra $1$

Answer: $3^{100}$ acaba en $1$, aunque tiene 48 cifras.

Mistake: Escribir $-3 \bmod 12 = -3$ (o $3$)

Why: Un resto tiene que ser uno de los números $0, 1, \ldots, n - 1$. Si retrocedes 3 horas desde las 12, no llegas a un número negativo ni tampoco al 3.

Correct: Suma el módulo hasta que el número esté en el rango: $-3 + 12 = 9$, así que $-3 \bmod 12 = 9$.

Mistake: Decir que las 9 más 4 horas son las 13 en un reloj de 12 horas

Why: La suma $9 + 4 = 13$ es correcta, pero falta la última reducción. Cada resultado hay que reducirlo otra vez.

Correct: $13 \bmod 12 = 1$: el reloj marca la 1.

Mistake: Dar el cociente en lugar del resto: $47 \bmod 6 = 7$

Why: $47 \div 6 = 7$ y resto $5$. La operación mod solo se queda con lo que sobra, no con cuántas veces cabe 6 en 47.

Correct: $47 \bmod 6 = 5$, porque $47 = 7 \times 6 + 5$.

Mistake: Reducir el exponente por el módulo: $2^9 \bmod 7$ se convierte en $2^2 = 4$ porque $9 \bmod 7 = 2$

Why: Puedes reducir la base módulo $n$, pero no el exponente. El exponente sigue la longitud del ciclo de potencias, que aquí es 3 y no 7.

Correct: Las potencias de 2 módulo 7 son $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (ciclo de longitud 3). $9 \bmod 3 = 0$, así que $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$. Comprobación: $512 = 73 \times 7 + 1$.

Calendarios: ¿qué día será?

Una semana tiene 7 días, así que los días de la semana se repiten módulo 7. Las aplicaciones de calendario, los horarios y los acertijos de cumpleaños lo usan constantemente.

Un año normal tiene $365$ días y $365 = 52 \times 7 + 1$. Así que un cumpleaños que este año cae en lunes caerá en martes el año que viene (salvo que haya un 29 de febrero en medio).

Códigos de barras y dígitos de control

La última cifra de cada código de barras EAN-13 es un dígito de control que se elige con aritmética módulo 10. El lector lo vuelve a calcular y rechaza un código con una cifra mal leída.

Para el código de libro $978030640615$ la suma ponderada (pesos $1, 3, 1, 3, \ldots$) es $93$, y $93 \bmod 10 = 3$. El dígito de control es $10 - 3 = 7$, así que el código completo es $9780306406157$.

Trabajo por turnos y el reloj de 24 horas

Los horarios de tren, los turnos de hospital y los planes de vuelo usan el reloj de 24 horas, que es aritmética módulo 24.

Un turno de noche empieza a las 22:00 y dura 9 horas: $22 + 9 = 31$ y $31 \bmod 24 = 7$, así que termina a las 07:00.

Q: ¿Es $a \bmod n$ el mismo resto que muestra mi calculadora u ordenador?

A: Para números positivos, sí. Para números negativos muchos lenguajes de programación dan un resultado negativo, por ejemplo $-3$ para $-3$ dividido entre $12$. En matemáticas el resto siempre está entre $0$ y $n - 1$, así que $-3 \bmod 12 = 9$. La calculadora de esta página funciona así: mod(-3, 12) da 9.

Q: ¿Qué significa el símbolo $\equiv$?

A: Se lee «es congruente con». $17 \equiv 5 \pmod{12}$ dice que 17 y 5 dejan el mismo resto al dividir entre 12 (los dos dejan 5). Es más débil que $=$: los números congruentes pueden ser números distintos que caen en el mismo lugar de la esfera.

Q: ¿Por qué puedo reducir primero los números?

A: Escribe $a = pn + r$ y $b = qn + s$. Entonces $a + b = (p + q)n + (r + s)$ y $a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs$. Las partes con $n$ son múltiplos de $n$ y no dejan resto, así que solo $r + s$ y $r \times s$ deciden el resultado.

Q: ¿Dónde se usa la aritmética modular fuera del colegio?

A: En los dígitos de control (códigos de barras, ISBN, el IBAN de una cuenta bancaria, que se comprueba módulo 97), en informática (tablas hash, generadores de números aleatorios) y en criptografía: el método RSA que protege la banca en línea calcula con números enormes módulo un producto de dos primos.