¿Qué significa el símbolo $\equiv$?

Se lee «es congruente con». $17 \equiv 5 \pmod{12}$ dice que 17 y 5 dejan el mismo resto al dividir entre 12 (los dos dejan 5). Es más débil que $=$: los números congruentes pueden ser números distintos que caen en el mismo lugar de la esfera.

¿Por qué puedo reducir primero los números?

Escribe $a = pn + r$ y $b = qn + s$. Entonces $a + b = (p + q)n + (r + s)$ y $a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs$. Las partes con $n$ son múltiplos de $n$ y no dejan resto, así que solo $r + s$ y $r \times s$ deciden el resultado.

¿Dónde se usa la aritmética modular fuera del colegio?

En los dígitos de control (códigos de barras, ISBN, el IBAN de una cuenta bancaria, que se comprueba módulo 97), en informática (tablas hash, generadores de números aleatorios) y en criptografía: el método RSA que protege la banca en línea calcula con números enormes módulo un producto de dos primos.

Recursos para profesores

Aritmética modular

Aprende la aritmética del reloj: restos, a mod n, congruencia módulo n y cómo usarlos para los días de la semana, los dígitos de control y la última cifra de potencias enormes.

Avanzado25 minLección

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Ficha imprimible

Definición

La aritmética modular es el cálculo con restos. Fijas un número entero

n \geq 2

, el módulo, y de cada número solo te quedas con su resto al dividir entre

n

a = q \times n + r, \qquad a \bmod n = r, \qquad 0 \leq r \leq n - 1

Por ejemplo,

17 \bmod 5 = 2

porque

17 = 3 \times 5 + 2

Dos números son congruentes módulo n cuando dejan el mismo resto. Es lo mismo que decir que

n

divide a su diferencia:

a \equiv b \pmod{n} \iff n \text{ divide a } a - b

Así,

38 \equiv 14 \pmod{12}

, porque

38 - 14 = 24 = 2 \times 12

(los dos dejan resto

2

Un reloj funciona exactamente así: después de 12 horas la aguja vuelve al punto de partida, así que las 15 y las 3 son el mismo lugar,

15 \equiv 3 \pmod{12}

. En sumas, restas y productos puedes cambiar primero cada número por su resto y reducir el resultado una vez más al final.

Pruébalo ahora

¿Cuánto es

23 \bmod 5

Ejemplos resueltos

Calcula

47 \bmod 6

Busca el mayor múltiplo de 6 que no pase de 47

6 \times 7 = 42

, mientras que

6 \times 8 = 48

ya es demasiado →

42

Escribe 47 como cociente por 6 más resto

47 = 7 \times 6 + 5

→ resto

5

Comprueba que el resto está entre 0 y 5

0 \leq 5 \leq 5

, así que es un resto válido →

47 \bmod 6 = 5

Respuesta: $47 \bmod 6 = 5$ , así que $47 \equiv 5 \pmod{6}$ . El cociente $7$ no forma parte de la respuesta.

Errores comunes

Escribir $-3 \bmod 12 = -3$ (o $3$ )

Por qué está mal: Un resto tiene que ser uno de los números $0, 1, \ldots, n - 1$ . Si retrocedes 3 horas desde las 12, no llegas a un número negativo ni tampoco al 3.

Correcto: Suma el módulo hasta que el número esté en el rango: $-3 + 12 = 9$ , así que $-3 \bmod 12 = 9$ .

Decir que las 9 más 4 horas son las 13 en un reloj de 12 horas

Por qué está mal: La suma $9 + 4 = 13$ es correcta, pero falta la última reducción. Cada resultado hay que reducirlo otra vez.

Correcto: $13 \bmod 12 = 1$ : el reloj marca la 1.

Dar el cociente en lugar del resto: $47 \bmod 6 = 7$

Por qué está mal: $47 \div 6 = 7$ y resto $5$ . La operación mod solo se queda con lo que sobra, no con cuántas veces cabe 6 en 47.

Correcto: $47 \bmod 6 = 5$ , porque $47 = 7 \times 6 + 5$ .

Reducir el exponente por el módulo: $2^9 \bmod 7$ se convierte en $2^2 = 4$ porque $9 \bmod 7 = 2$

Por qué está mal: Puedes reducir la base módulo $n$ , pero no el exponente. El exponente sigue la longitud del ciclo de potencias, que aquí es 3 y no 7.

Correcto: Las potencias de 2 módulo 7 son $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (ciclo de longitud 3). $9 \bmod 3 = 0$ , así que $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$ . Comprobación: $512 = 73 \times 7 + 1$ .

Visual interactivo

Las 9 más 100 horas: cuenta las vueltas

12 posiciones en la esfera: módulo 12

Inicio

Sumar

Empieza en 9 y avanza 100 horas.

Los días de la semana van módulo 7: adivina primero y luego observa

7 posiciones en la esfera: módulo 7

¿Dónde caerá la aguja? Toca la posición en la esfera.

2 + 100 ≡ ? (mod 7)

Empieza en mié y avanza 100 días.

Congruentes módulo 12: el mismo lugar en la esfera

12 posiciones en la esfera: módulo 12

Primer número

Segundo número

38 = 3 × 12 + 2

14 = 1 × 12 + 2

38 − 14 = 24 = 2 × 12

38 ≡ 14 (mod 12)

38 y 14 caen en la misma posición porque su diferencia 24 es múltiplo de 12.

Números en la posición 2: … -10, 2, 14, 26, 38 …

Las últimas cifras de las potencias de 3 (módulo 10) se repiten

10 posiciones en la esfera: módulo 10

Base

Exponente

Multiplica por 3 una y otra vez y quédate solo con el resto cada vez.

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Cuánto es

23 \bmod 5

Por qué es importante

La aritmética modular es la matemática de todo lo que da vueltas:

El tiempo: los relojes cuentan módulo 12 o 24, los días de la semana módulo 7. ¿Qué hora será dentro de 100 horas? ¿Qué día será dentro de 100 días?
Los dígitos de control: la última cifra de un código de barras (EAN-13) se elige módulo 10, la de un ISBN-10 módulo 11, y el IBAN de una cuenta bancaria se comprueba módulo 97. Una sola cifra mal escrita y la comprobación falla.
Los números enormes: puedes hallar de cabeza la última cifra de $3^{100}$ (un número de 48 cifras), porque las últimas cifras son restos módulo 10 y se repiten en un ciclo.
La informática: las tablas hash, los generadores de números aleatorios y el cifrado RSA de la banca en línea calculan todos módulo $n$ .

Ya conoces un caso: par e impar es simplemente el cálculo módulo 2 (resto 0 o 1).

Aplicaciones del mundo real

Calendarios: ¿qué día será?

Una semana tiene 7 días, así que los días de la semana se repiten módulo 7. Las aplicaciones de calendario, los horarios y los acertijos de cumpleaños lo usan constantemente.

Ejemplo:

Un año normal tiene $365$ días y $365 = 52 \times 7 + 1$ . Así que un cumpleaños que este año cae en lunes caerá en martes el año que viene (salvo que haya un 29 de febrero en medio).

1Inténtalo tú mismo

Hoy es miércoles. Tu viaje de intercambio empieza dentro de exactamente 100 días. Numera los días lunes $= 0$ , martes $= 1$ , y así hasta domingo $= 6$ .

¿Qué día de la semana empieza el viaje?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige el día:

Códigos de barras y dígitos de control

La última cifra de cada código de barras EAN-13 es un dígito de control que se elige con aritmética módulo 10. El lector lo vuelve a calcular y rechaza un código con una cifra mal leída.

Ejemplo:

Para el código de libro $978030640615$ la suma ponderada (pesos $1, 3, 1, 3, \ldots$ ) es $93$ , y $93 \bmod 10 = 3$ . El dígito de control es $10 - 3 = 7$ , así que el código completo es $9780306406157$ .

2Inténtalo tú mismo

Una tienda crea un código de producto con las 12 cifras $400123456789$ . Las cifras en las posiciones 1, 3, 5, ... cuentan una vez y las de las posiciones 2, 4, 6, ... cuentan tres veces. El dígito de control hace que el total sea múltiplo de 10.

¿Cuál es el dígito de control?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Dígito de control:

Trabajo por turnos y el reloj de 24 horas

Los horarios de tren, los turnos de hospital y los planes de vuelo usan el reloj de 24 horas, que es aritmética módulo 24.

Ejemplo:

Un turno de noche empieza a las 22:00 y dura 9 horas: $22 + 9 = 31$ y $31 \bmod 24 = 7$ , así que termina a las 07:00.

3Inténtalo tú mismo

Una prueba de una máquina en una fábrica empieza a las 19:00 y dura 75 horas sin pausa.

¿A qué hora (de 0 a 23) termina la prueba?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Hora de fin:

Puntos clave

1 $a \bmod n$ es el resto de dividir $a$ entre $n$ y siempre es uno de los números $0, 1, \ldots, n - 1$
2 $a \equiv b \pmod{n}$ significa que $a$ y $b$ dejan el mismo resto, lo que equivale a que $n$ divide a $a - b$
3Un reloj calcula módulo 12, el reloj de 24 horas módulo 24, los días de la semana módulo 7 y par/impar módulo 2
4En sumas, restas y productos puedes reducir primero cada número y después reducir otra vez el resultado
5Para un número negativo, suma $n$ hasta que caiga en $0, \ldots, n - 1$ : $-3 \bmod 12 = 9$
6Las potencias se repiten en ciclos módulo $n$ : halla la longitud del ciclo y reduce el exponente módulo esa longitud, no módulo $n$

Preguntas frecuentes

Para números positivos, sí. Para números negativos muchos lenguajes de programación dan un resultado negativo, por ejemplo

-3

para

-3

dividido entre

12

. En matemáticas el resto siempre está entre

0

n - 1

, así que

-3 \bmod 12 = 9

. La calculadora de esta página funciona así: mod(-3, 12) da 9.

Glosario

Módulo: El número fijo $n$ entre el que divides; los restos son $0, 1, \ldots, n - 1$ (12 en un reloj, 7 para los días de la semana)
Resto: Lo que sobra al dividir: en $a = q \times n + r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ es $r$
a mod n: El resto de dividir $a$ entre $n$ , por ejemplo $17 \bmod 5 = 2$ y $-3 \bmod 12 = 9$
Congruente módulo n: Dos números con el mismo resto módulo $n$ , se escribe $a \equiv b \pmod{n}$ ; equivale a que $n$ divide a $a - b$
Longitud del ciclo: Cuántos pasos hacen falta hasta que los restos de las potencias se repiten, por ejemplo 4 para las últimas cifras de las potencias de 3
Dígito de control: Una cifra extra al final de un código (código de barras, ISBN) elegida para que una suma ponderada sea divisible entre 10 o entre 11

Tarjeta de fórmulas

División con resto

a = q \times n + r, \quad 0 \leq r \leq n - 1

$r$ es $a \bmod n$, $q$ es el cociente

Congruencia

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)

El mismo resto, o: la diferencia es múltiplo de $n$

Reducir primero

(a + b) \bmod n = \big((a \bmod n) + (b \bmod n)\big) \bmod n

Lo mismo vale para la resta y la multiplicación

Números negativos

x \bmod n = (x + k \times n) \bmod n

Suma un múltiplo de $n$ hasta que el número caiga en $0, \ldots, n - 1$: $-3 + 12 = 9$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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