Conversión de forma general a forma canónica

Convierte $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ a forma canónica y encuentra el centro y el radio.

Agrupa los términos en $x$ e $y$: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$ = Mueve la constante al lado derecho

Completa el cuadrado para $x$: La mitad de $-6$ es $-3$, y $(-3)^2 = 9$ = Suma 9 a ambos lados

Completa el cuadrado para $y$: La mitad de $4$ es $2$, y $(2)^2 = 4$ = Suma 4 a ambos lados

Reescribe como cuadrados perfectos: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4$ = $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Identifica el centro y el radio: Centro: $(3, -2)$, Radio: $\sqrt{25} = 5$ = Círculo con centro $(3, -2)$ y radio $5$

Answer: Forma canónica: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$. Centro: $(3, -2)$, Radio: $5$

Usando el método de fórmulas

Encuentra el centro y el radio de $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 16 = 0$ usando la fórmula.

Identifica $D$, $E$ y $F$: $D = 8$, $E = -10$, $F = 16$ = Coeficientes identificados

Encuentra el centro: $h = -\frac{D}{2} = -\frac{8}{2} = -4$, $k = -\frac{E}{2} = -\frac{-10}{2} = 5$ = Centro: $(-4, 5)$

Calcula el radio: $r = \sqrt{\frac{64}{4} + \frac{100}{4} - 16} = \sqrt{16 + 25 - 16}$ = $r = \sqrt{25} = 5$

Escribe la forma canónica: $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 25$ = Forma canónica completa

Answer: Centro: $(-4, 5)$, Radio: $5$. Forma canónica: $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Verificar si existe un círculo

Determina si $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$ representa un círculo real.

Identifica los coeficientes: $D = 6$, $E = -2$, $F = 15$ = Coeficientes encontrados

Calcula $D^2/4$: $36/4 = 9$ = $D^2/4 = 9$

Calcula $E^2/4$: $4/4 = 1$ = $E^2/4 = 1$

Verifica si $r^2 = D^2/4 + E^2/4 - F > 0$: $9 + 1 - 15 = -5$ = $r^2 = -5 < 0$

Conclusión: Como $r^2 < 0$, no podemos sacar la raíz cuadrada = No existe un círculo real

Answer: No existe un círculo real porque $r^2 = -5 < 0$ (requeriría un radio imaginario)

Mistake: Olvidar sumar el valor completado a AMBOS lados

Why: Al completar el cuadrado, estás sumando al lado izquierdo. Para mantener la ecuación balanceada, debes sumar el mismo valor al lado derecho.

Correct: Si sumas 9 para completar $(x-3)^2$ a la izquierda, suma también 9 a la derecha.

Mistake: Usar signos incorrectos para las coordenadas del centro

Why: La forma canónica $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ tiene RESTA, así que $(x+4)^2$ significa $h = -4$, no $4$.

Correct: Si ves $(x + 4)^2$, piensa en $(x - (-4))^2$, entonces $h = -4$.

Mistake: Olvidar sacar la raíz cuadrada para encontrar el radio

Why: El lado derecho de la forma canónica es igual a $r^2$, no $r$.

Correct: Si $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 25$, entonces $r = \sqrt{25} = 5$, no $r = 25$.

Cobertura de torres celulares

Las torres celulares transmiten señales en patrones circulares. Los ingenieros usan ecuaciones de círculos para determinar las áreas de cobertura.

Una torre en las coordenadas $(-2, 3)$ km tiene un alcance de 8 km. Su cobertura se modela mediante $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 64$.

Detección de terremotos

Los sismógrafos detectan ondas sísmicas que se propagan en círculos desde el epicentro.

Si tres estaciones detectan ondas en diferentes momentos, la intersección de sus círculos localiza el epicentro.

Q: ¿Cuándo no hay círculo?

A: Si $\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0$, el radio sería la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es real. Esto significa que la ecuación no representa un círculo real (un círculo imaginario).

Q: ¿Qué pasa si el cálculo del radio da cero?

A: Si $\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F = 0$, el radio es cero. Esto representa un punto único (un círculo degenerado) ubicado en el centro $(-D/2, -E/2)$.

Q: ¿Puedo usar completar el cuadrado para cualquier cónica?

A: ¡Sí! Completar el cuadrado es esencial para convertir cualquier cónica (círculos, elipses, parábolas, hipérbolas) de la forma general a la forma canónica.