Círculos en forma general

Aprende a convertir entre la forma general y la forma canónica de ecuaciones de círculos y encontrar el centro y el radio.

Avanzado25 minLección
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Definición

La forma general de una ecuación de círculo es:
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
donde DD, EE y FF son constantes.
La forma canónica (forma estándar) de un círculo es:
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
donde (h,k)(h, k) es el centro y rr es el radio.
Relación clave:
  • Centro: (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
  • Radio: r=D24+E24−Fr = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}
Para convertir de la forma general a la forma canónica, usa completar el cuadrado para los términos en xx e yy.

Pruébalo ahora

¿Cuál ecuación está en forma general?

Ejemplos resueltos

Convierte x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 a forma canónica y encuentra el centro y el radio.
1

Agrupa los términos en xx e yy

(x2−6x)+(y2+4y)=12(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 → Mueve la constante al lado derecho
2

Completa el cuadrado para xx

La mitad de −6-6 es −3-3, y (−3)2=9(-3)^2 = 9 → Suma 9 a ambos lados
3

Completa el cuadrado para yy

La mitad de 44 es 22, y (2)2=4(2)^2 = 4 → Suma 4 a ambos lados
4

Reescribe como cuadrados perfectos

(x−3)2+(y+2)2=12+9+4(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 → (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
5

Identifica el centro y el radio

Centro: (3,−2)(3, -2), Radio: 25=5\sqrt{25} = 5 → Círculo con centro (3,−2)(3, -2) y radio 55

Errores comunes

Olvidar sumar el valor completado a AMBOS lados

Por qué está mal: Al completar el cuadrado, estás sumando al lado izquierdo. Para mantener la ecuación balanceada, debes sumar el mismo valor al lado derecho.

Correcto: Si sumas 9 para completar (x−3)2(x-3)^2 a la izquierda, suma también 9 a la derecha.

Usar signos incorrectos para las coordenadas del centro

Por qué está mal: La forma canónica (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 tiene RESTA, así que (x+4)2(x+4)^2 significa h=−4h = -4, no 44.

Correcto: Si ves (x+4)2(x + 4)^2, piensa en (x−(−4))2(x - (-4))^2, entonces h=−4h = -4.

Olvidar sacar la raíz cuadrada para encontrar el radio

Por qué está mal: El lado derecho de la forma canónica es igual a r2r^2, no rr.

Correcto: Si (x−h)2+(y−k)2=25(x-h)^2 + (y-k)^2 = 25, entonces r=25=5r = \sqrt{25} = 5, no r=25r = 25.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-10-50510-10-50510xyC(3; -2)
  • h = −D/2 = 3
  • k = −E/2 = -2
  • r² = h² + k² − F = 25
  • r = 5
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
  • Centro: (3; -2)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = -2 + sqrt(25 - (x - 3)^2)

y = -2 - sqrt(25 - (x - 3)^2)

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál ecuación está en forma general?

Por qué es importante

La forma general de círculos aparece frecuentemente en aplicaciones prácticas:
  • GPS y Navegación: Las ecuaciones de círculos modelan el alcance de señales de satélites y torres celulares
  • Ingeniería: El diseño de componentes circulares, engranajes y ruedas requiere la conversión entre formas
  • Física: La propagación de ondas y patrones de interferencia usan ecuaciones de círculos
  • Gráficos por computadora: La detección de colisiones y algoritmos de impacto usan ecuaciones de círculos en varias formas
Dominar ambas formas te permite extraer información útil (centro, radio) de cualquier ecuación de círculo que encuentres.

Aplicaciones del mundo real

Cobertura de torres celulares

Las torres celulares transmiten señales en patrones circulares. Los ingenieros usan ecuaciones de círculos para determinar las áreas de cobertura.

Ejemplo:

Una torre en las coordenadas (−2,3)(-2, 3) km tiene un alcance de 8 km. Su cobertura se modela mediante (x+2)2+(y−3)2=64(x+2)^2 + (y-3)^2 = 64.

1Inténtalo tú mismo

La cobertura de una torre celular está dada por x2+y2+4x−6y−51=0x^2 + y^2 + 4x - 6y - 51 = 0 (unidades en km).

Encuentra la ubicación de la torre y su alcance máximo.

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Primero identifica DD, EE, FF para encontrar el centro y el radio:

Detección de terremotos

Los sismógrafos detectan ondas sísmicas que se propagan en círculos desde el epicentro.

Ejemplo:

Si tres estaciones detectan ondas en diferentes momentos, la intersección de sus círculos localiza el epicentro.

2Inténtalo tú mismo

Los datos sísmicos dan la ecuación x2+y2−10x+2y−23=0x^2 + y^2 - 10x + 2y - 23 = 0.

¿Dónde está el epicentro?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra el centro de este círculo:

Puntos clave

  • 1Forma general: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
  • 2Forma canónica: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 con centro (h,k)(h, k) y radio rr
  • 3Conversión completando el cuadrado: mitad del coeficiente, al cuadrado, sumar a ambos lados
  • 4Fórmulas rápidas: Centro =(−D/2,−E/2)= (-D/2, -E/2), Radio =D2/4+E2/4−F= \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}
  • 5Siempre verificar: si D2/4+E2/4−F<0D^2/4 + E^2/4 - F < 0, no existe un círculo real

Preguntas frecuentes

Si D24+E24−F<0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0, el radio sería la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es real. Esto significa que la ecuación no representa un círculo real (un círculo imaginario).
Si D24+E24−F<0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0, el radio sería la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es real. Esto significa que la ecuación no representa un círculo real (un círculo imaginario).
Si D24+E24−F=0\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F = 0, el radio es cero. Esto representa un punto único (un círculo degenerado) ubicado en el centro (−D/2,−E/2)(-D/2, -E/2).
¡Sí! Completar el cuadrado es esencial para convertir cualquier cónica (círculos, elipses, parábolas, hipérbolas) de la forma general a la forma canónica.

Glosario

Forma general
La ecuación x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 donde todos los términos están expandidos
Forma canónica
La ecuación (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 que muestra directamente el centro y el radio
Completar el cuadrado
Una técnica para reescribir una expresión cuadrática como un cuadrado perfecto más una constante
Círculo degenerado
Un círculo con radio cero, que representa un punto único

Tarjeta de fórmulas

Forma general

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Forma expandida de una ecuación de círculo

Forma canónica

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Muestra el centro $(h, k)$ y el radio $r$ directamente

Centro desde forma general

(−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)

Encuentra el centro sin completar el cuadrado

Radio desde forma general

r=D24+E24−Fr = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}

Encuentra el radio desde los coeficientes

Completar el cuadrado

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Técnica clave para convertir formas

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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