Introducción a las hipérbolas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué ecuación representa una hipérbola?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Respuesta:
es una hipérbola porque tiene una resta entre los términos al cuadrado. La primera opción es una elipse (suma), la tercera es un círculo y la cuarta es una parábola.
2.
¿La hipérbola se abre en qué dirección?
1. a)Arriba y abajo
2. b)Diagonalmente
3. c)Izquierda y derecha
4. d)No se abre
Respuesta: Izquierda y derecha
Como es el término positivo (viene primero y no tiene signo negativo), esta es una hipérbola horizontal que se abre hacia la izquierda y la derecha.
3.
Para la hipérbola , ¿cuál es el valor de ?
Respuesta: 5
En la forma estándar, siempre está bajo el término positivo. Aquí , entonces .
4.
Para la hipérbola , ¿cuál es el valor de ?
Respuesta: 4
En la forma estándar, está bajo el término negativo. Aquí , entonces .
5.
¿Cuál es la fórmula correcta para encontrar (distancia focal) en una hipérbola?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Respuesta:
Para hipérbolas, usa . Esto es diferente de las elipses donde . En las hipérbolas, porque los focos están más lejos del centro que los vértices.
6.
Para la hipérbola , calcula el valor de .
Respuesta: 5
, entonces .
7.
Encuentra los vértices de la hipérbola .
Respuesta: (-6, 0) and (6, 0)
1. ¿Es esta una hipérbola horizontal o vertical? horizontal
2. ¿Cuánto es ? 36
3. ¿Cuánto es ? 6
4. Para una hipérbola horizontal, los vértices están en . ¿Cuáles son los vértices? (-6, 0) y (6, 0)
8.
Encuentra los focos de la hipérbola .
Respuesta: (0, -5) and (0, 5)
1. ¿Es esta una hipérbola horizontal o vertical? vertical
2. ¿Cuánto son y ? a^2 = 9, b^2 = 16
3. Calcula . 25
4. ¿Cuánto es ? 5
5. Para una hipérbola vertical, los focos están en . ¿Cuáles son los focos? (0, -5) y (0, 5)
9.
¿Cuáles son las asíntotas de la hipérbola ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Respuesta:
Esta es una hipérbola horizontal con () y (). Para hipérbolas horizontales, las asíntotas son .
10.
Encuentra las asíntotas de la hipérbola .
Respuesta: y = (5/4)x and y = -(5/4)x
1. ¿Es esta una hipérbola horizontal o vertical? vertical
2. ¿Cuánto es ? 5
3. ¿Cuánto es ? 4
4. Para hipérbolas verticales, las asíntotas son . ¿Cuál es la pendiente? 5/4
11.
Encuentra el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de .
Respuesta: Center (0,0), Vertices (+-7,0), Foci (+-sqrt(73),0), Asymptotes y = +-sqrt(24)/7 x
1. ¿Cuál es el centro? (0, 0)
2. ¿Cuánto es ? 7
3. ¿Cuáles son los vértices? (-7, 0) y (7, 0)
4. Calcula . 73
5. ¿Cuáles son los focos? (+-sqrt(73), 0)
6. ¿Cuánto es ? sqrt(24)
7. ¿Cuáles son las asíntotas? y = +-sqrt(24)/7 x
12.
Una hipérbola tiene vértices en y , y focos en y . ¿Cuál es el valor de ?
Respuesta: 8
Vértices en significa . Focos en significa . Usando : , entonces y .
13.
La propiedad que define una hipérbola es que para cualquier punto en la curva:
1. a)La suma de las distancias a los focos es constante
2. b)La diferencia de las distancias a los focos es constante
3. c)El producto de las distancias a los focos es constante
4. d)La razón de las distancias a los focos es constante
Respuesta: La diferencia de las distancias a los focos es constante
Una hipérbola se define por la diferencia absoluta constante de distancias: . Una elipse tiene suma constante. Esta es la distinción clave.
14.
Escribe la ecuación de una hipérbola con vértices en y focos en .
Respuesta: x^2/25 - y^2/144 = 1
1. ¿Es esta una hipérbola horizontal o vertical? horizontal
2. ¿Cuánto es ? 5
3. ¿Cuánto es ? 13
4. Usa para encontrar . 144
5. Escribe la ecuación. x^2/25 - y^2/144 = 1
15.
Los sistemas GPS determinan la ubicación usando la intersección de hipérbolas. ¿Por qué se usan hipérbolas en lugar de círculos?
1. a)Los círculos son demasiado difíciles de calcular
2. b)El GPS mide la diferencia en los tiempos de llegada entre señales satelitales
3. c)El GPS mide distancias exactas a los satélites
4. d)Las hipérbolas son más precisas que los círculos
Respuesta: El GPS mide la diferencia en los tiempos de llegada entre señales satelitales
Los receptores GPS miden la diferencia de tiempo entre señales de dos satélites. Esta diferencia de tiempo corresponde a una diferencia de distancias, que define una hipérbola. La intersección de múltiples hipérbolas determina tu ubicación.