Ahorro con capitalización continua

Depositas 1000 dólares en una cuenta que paga un 5% de interés con capitalización continua. ¿Cuánto hay en la cuenta después de 10 años? Redondea al centavo.

Identificar los valores: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, $t = 10$ = Valores identificados

Calcular el exponente $rt$: $rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ = $rt = 0{,}5$

Calcular $e^{0{,}5}$ con la calculadora: $2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ = $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Multiplicar por $P$: $A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ = $A \approx 1648{,}72$

Answer: Después de 10 años la cuenta tiene unos **1648,72 dólares**.

Capitalización continua frente a anual

Inviertes 2000 dólares al 6% durante 5 años. Compara la capitalización una vez al año con la capitalización continua. Redondea al centavo.

Capitalización anual: usar $A = P(1 + r)^t$: $A = 2000 \times 1{,}06^{5} \approx 2000 \times 1{,}338226$ = $A \approx 2676{,}45$

Capitalización continua: calcular el exponente: $rt = 0{,}06 \times 5 = 0{,}3$ = $rt = 0{,}3$

Usar $A = Pe^{rt}$: $A = 2000 \times e^{0{,}3} \approx 2000 \times 1{,}349859$ = $A \approx 2699{,}72$

Comparar los dos resultados: $2699{,}72 - 2676{,}45 = 23{,}27$ = La continua da 23,27 más

Answer: Con la misma tasa y el mismo tiempo, la capitalización continua da **2699,72 dólares** y la anual **2676,45 dólares**: la continua gana **23,27 dólares** más.

Bacterias que crecen de forma continua

Un cultivo empieza con 500 bacterias y crece de forma continua a una tasa del 20% por hora. ¿Cuántas bacterias hay después de 10 horas? Redondea a un número entero.

Escribir el modelo: $N(t) = 500 e^{0{,}2t}$ = $P = 500$, $r = 0{,}2$

Calcular el exponente para $t = 10$: $0{,}2 \times 10 = 2$ = Exponente $= 2$

Calcular $e^{2}$: $2{,}71828^{2} \approx 7{,}38905$ = $e^{2} \approx 7{,}38905$

Multiplicar y redondear: $N(10) = 500 \times 7{,}38905 \approx 3694{,}5$ = $N(10) \approx 3695$

Answer: Después de 10 horas hay unas **3695 bacterias**, más de 7 veces la cantidad inicial.

Desintegración radiactiva

Una muestra contiene 80 gramos de una sustancia radiactiva que se desintegra de forma continua a una tasa del 3% anual. ¿Cuánto queda después de 20 años? Redondea a dos decimales.

Escribir el modelo de decrecimiento: $A(t) = 80 e^{-0{,}03t}$ = Exponente negativo: decrecimiento

Calcular el exponente para $t = 20$: $-0{,}03 \times 20 = -0{,}6$ = Exponente $= -0{,}6$

Calcular $e^{-0{,}6}$: $2{,}71828^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$ = $e^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$

Multiplicar por la cantidad inicial: $A(20) = 80 \times 0{,}548812 \approx 43{,}90$ = $A(20) \approx 43{,}90$ g

Answer: Después de 20 años quedan unos **43,90 gramos**, así que se han desintegrado unos $80 - 43{,}90 = 36{,}10$ gramos.

Calcular el valor inicial

¿Cuánto debes depositar hoy, al 4% con capitalización continua, para tener 5000 dólares dentro de 8 años? Redondea al centavo.

Escribir la ecuación: $5000 = P e^{0{,}04 \times 8} = P e^{0{,}32}$ = $P$ es la incógnita

Calcular $e^{0{,}32}$: $2{,}71828^{0{,}32} \approx 1{,}37713$ = $e^{0{,}32} \approx 1{,}37713$

Dividir los dos miembros entre $e^{0{,}32}$: $P = \frac{5000}{e^{0{,}32}}$ = $P = 5000 \div e^{0{,}32}$

Calcular: $P = 5000 \div 2{,}71828^{0{,}32} \approx 3630{,}75$ = $P \approx 3630{,}75$

Answer: Tienes que depositar hoy unos **3630,75 dólares**. Comprobación: $3630{,}75 \times 1{,}37713 \approx 5000$.

Mistake: Escribir la tasa como porcentaje en el exponente: $1000 e^{5 \times 10}$

Why: La fórmula necesita la tasa en forma decimal. $e^{50}$ es un número gigantesco (unos $5 \times 10^{21}$), algo que no tiene sentido para una cuenta de ahorro.

Correct: Convierte primero: $5\% = 0{,}05$, así que $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$.

Mistake: Olvidar el signo menos en el decrecimiento: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Why: Sin el signo menos el exponente es positivo y la cantidad crece hasta unos 145,77 gramos, más que los 80 gramos iniciales.

Correct: El decrecimiento necesita un exponente negativo: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$.

Mistake: Multiplicar antes de elevar a la potencia: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Why: El exponente solo afecta a $e$, no a $P$. Según la jerarquía de operaciones, las potencias van antes que la multiplicación.

Correct: Calcula primero $e^{rt}$ y luego multiplica por $P$. En la calculadora: 1000 × e^(0.05 × 10), con paréntesis alrededor del exponente.

Mistake: Usar $(1 + r)^t$ cuando el problema dice capitalización continua

Why: $(1 + r)^t$ es capitalizar una vez por periodo. La capitalización continua siempre da un poco más con la misma tasa.

Correct: Busca las palabras continua o tasa continua: significan $Pe^{rt}$. Una vez al año significa $P(1 + r)^t$.

Banca: ahorro con capitalización continua

Los bancos comparan ofertas con la capitalización más generosa posible, que es la continua. Muestra el techo de lo que puede rendir una tasa.

Al 5% con capitalización continua, 1 dólar se convierte en $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ dólares en un año, así que la tasa anual efectiva es de un 5,13%, algo más que el 5%.

Biología: bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos modelan un cultivo de bacterias con alimento abundante mediante $N(t) = N_0 e^{rt}$, donde $r$ es la tasa de crecimiento continua por hora.

Un cultivo de 1000 bacterias que crece a una tasa continua del 30% por hora tiene $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bacterias después de 2 horas.

Medicina: trazadores radiactivos

Los hospitales usan sustancias radiactivas como el yodo 131 para diagnóstico y tratamiento. La cantidad que queda sigue $A = Pe^{-kt}$, así los médicos saben cuánto queda cada día.

El yodo 131 se desintegra de forma continua a un 8,6% diario aproximadamente. Después de 1 día, $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$, así que queda alrededor del 91,8% de la muestra.

Q: ¿Por qué usamos $e$ para el crecimiento continuo?

A: Capitalizar $n$ veces al año a una tasa $r$ da $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Cuando $n$ se hace cada vez más grande, esta expresión se acerca a $e^{rt}$. Por eso $e$ es lo que se obtiene cuando el crecimiento ocurre en cada instante.

Q: ¿Cuánto más da realmente la capitalización continua?

A: No mucho más, pero siempre más. Al 5% durante un año, la capitalización anual multiplica por $1{,}05$ y la continua por $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. En periodos largos y con cantidades grandes la diferencia se nota.

Q: ¿$A = Pe^{-kt}$ es lo mismo que $A = Pe^{rt}$ con $r$ negativo?

A: Sí. Algunos libros escriben el decrecimiento con una tasa positiva $k$ y un signo menos, y otros usan una sola fórmula $Pe^{rt}$ con $r$ negativo, por ejemplo $r = -0{,}03$. Las dos dan el mismo resultado.

Q: ¿Cómo calculo cuánto tiempo se tarda en llegar a una cantidad?

A: Hay que despejar $t$ en $A = Pe^{rt}$, y para eso se necesita el logaritmo natural $\ln$. Lo aprenderás en las lecciones de logaritmos. Mientras tanto puedes estimar $t$ probando valores en una tabla.