¿Cuánto más da realmente la capitalización continua?

No mucho más, pero siempre más. Al 5% durante un año, la capitalización anual multiplica por $1{,}05$ y la continua por $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. En periodos largos y con cantidades grandes la diferencia se nota.

¿$A = Pe^{-kt}$ es lo mismo que $A = Pe^{rt}$ con $r$ negativo?

Sí. Algunos libros escriben el decrecimiento con una tasa positiva $k$ y un signo menos, y otros usan una sola fórmula $Pe^{rt}$ con $r$ negativo, por ejemplo $r = -0{,}03$. Las dos dan el mismo resultado.

¿Cómo calculo cuánto tiempo se tarda en llegar a una cantidad?

Hay que despejar $t$ en $A = Pe^{rt}$, y para eso se necesita el logaritmo natural $\ln$. Lo aprenderás en las lecciones de logaritmos. Mientras tanto puedes estimar $t$ probando valores en una tabla.

Recursos para profesores

Crecimiento y decrecimiento continuos

Q: ¿Por qué usamos $e$ para el crecimiento continuo?

Capitalizar $n$ veces al año a una tasa $r$ da $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Cuando $n$ se hace cada vez más grande, esta expresión se acerca a $e^{rt}$. Por eso $e$ es lo que se obtiene cuando el crecimiento ocurre en cada instante.

Usa A = Pe^(rt) y A = Pe^(-kt) para modelar la capitalización continua, el crecimiento de bacterias y la desintegración radiactiva, y compara con la capitalización anual.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

En la lección sobre la base natural

e

viste que capitalizar cada vez más a menudo,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, se acerca a

e \approx 2{,}71828

. Cuando una cantidad crece de forma continua (en cada instante, no una vez al año), usamos

e

como base.

Crecimiento continuo:

A = P e^{rt}

Decrecimiento continuo:

A = P e^{-kt}

donde:

$P$ es el valor inicial (en $t = 0$ )
$r$ es la tasa de crecimiento continua y $k$ la tasa de decrecimiento continua, ambas escritas como decimales ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ es el tiempo, en la misma unidad que la tasa (años, horas, días)
$A$ es la cantidad después del tiempo $t$

El signo del exponente indica la dirección: un exponente positivo significa crecimiento, un exponente negativo significa decrecimiento. También puedes escribir el decrecimiento como

A = Pe^{rt}

con una tasa negativa, por ejemplo

r = -0{,}03

En la calculadora puedes escribir

e^{x}

directamente como e^(x), por ejemplo e^0.5

\approx 1{,}6487

. En una calculadora sencilla sin tecla

e

, escribe 2.71828^x en su lugar.

Pruébalo ahora

Una sustancia se desintegra de forma continua a una tasa del 4% anual. ¿Qué fórmula modela la cantidad

A

después de

t

años, partiendo de

P

Ejemplos resueltos

Depositas 1000 dólares en una cuenta que paga un 5% de interés con capitalización continua. ¿Cuánto hay en la cuenta después de 10 años? Redondea al centavo.

Identificar los valores

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Valores identificados

Calcular el exponente $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Calcular $e^{0{,}5}$ con la calculadora

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Multiplicar por $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Respuesta: Después de 10 años la cuenta tiene unos 1648,72 dólares.

Errores comunes

Escribir la tasa como porcentaje en el exponente: $1000 e^{5 \times 10}$

Por qué está mal: La fórmula necesita la tasa en forma decimal. $e^{50}$ es un número gigantesco (unos $5 \times 10^{21}$ ), algo que no tiene sentido para una cuenta de ahorro.

Correcto: Convierte primero: $5\% = 0{,}05$ , así que $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Olvidar el signo menos en el decrecimiento: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Por qué está mal: Sin el signo menos el exponente es positivo y la cantidad crece hasta unos 145,77 gramos, más que los 80 gramos iniciales.

Correcto: El decrecimiento necesita un exponente negativo: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Multiplicar antes de elevar a la potencia: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Por qué está mal: El exponente solo afecta a $e$ , no a $P$ . Según la jerarquía de operaciones, las potencias van antes que la multiplicación.

Correcto: Calcula primero $e^{rt}$ y luego multiplica por $P$ . En la calculadora: 1000 × e^(0.05 × 10), con paréntesis alrededor del exponente.

Usar $(1 + r)^t$ cuando el problema dice capitalización continua

Por qué está mal: $(1 + r)^t$ es capitalizar una vez por periodo. La capitalización continua siempre da un poco más con la misma tasa.

Correcto: Busca las palabras continua o tasa continua: significan $Pe^{rt}$ . Una vez al año significa $P(1 + r)^t$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

P = 1000r = 0,05

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

t	0	5	10	15	20
A = P·e^(rt)	1000	1284,03	1648,72	2117	2718,28
A = P(1 + r)^t	1000	1276,28	1628,89	2078,93	2653,3

Calculadora de interés

Capital (1000,00 US$)

Tasa de interés (5%)

Período (10 años)

Capitalización

Fórmula

Interés compuesto:A = Pe^(rt)A = 1000 · e^(0,05 · 10) = 1648,72 US$

Interés compuesto

Intereses ganados:648,72 US$

Monto total:1648,72 US$

Mismo dinero, distinta capitalización

Capitalización	n	Monto total	Intereses ganados
Anual	1	1628,89 US$	628,89 US$
Mensual	12	1647,01 US$	647,01 US$
Diario	365	1648,66 US$	648,66 US$
Continua	∞	1648,72 US$	648,72 US$

Crecimiento en el tiempo

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Una sustancia se desintegra de forma continua a una tasa del 4% anual. ¿Qué fórmula modela la cantidad $A$ después de $t$ años, partiendo de $P$ ?

Problemas de práctica: Crecimiento y decrecimiento continuos

1. Una sustancia se desintegra de forma continua a una tasa del 4% anual. ¿Qué fórmula modela la cantidad A después de t años, partiendo de P?
2. En el modelo A = 250e^{0{,}07t}, ¿cuál es el valor inicial?
3. Usa A = Pe^{rt} con P = 1000, r = 0{,}04 y t = 5. Usa e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. ¿Cuánto vale A? Redondea a un decimal.
4. Una población sigue N = 300e^{0{,}12t}, con t en años. ¿Cuál es la tasa de crecimiento continua en porcentaje? Escribe solo el número, sin el signo %.
5. Inviertes 1500 dólares al 3% con capitalización continua durante 10 años. Usa e^{0{,}3} \approx 1{,}3499. ¿Cuánto tienes al final? Redondea al dólar.
6. Un cultivo de 400 bacterias crece de forma continua al 25% por hora. ¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas? Usa e ≈ 2,71828 y redondea a un número entero.
7. ¿Qué describe el modelo N = 50e^{-0{,}3t}?
8. Dos cuentas empiezan con la misma cantidad, la misma tasa y el mismo tiempo. Una capitaliza anualmente y la otra de forma continua. ¿Cuál termina con más dinero?
9. 200 gramos de una sustancia radiactiva se desintegran de forma continua a una tasa del 5% anual. Usa e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065. ¿Cuántos gramos quedan después de 10 años? Redondea a un decimal.
10. ¿Cuánto debes depositar ahora, al 5% con capitalización continua, para tener 10000 dólares dentro de 10 años? Usa e^{0{,}5} \approx 1{,}6487 y redondea al dólar.
11. Un paciente recibe 60 mg de un medicamento. El cuerpo lo elimina de forma continua a una tasa del 20% por hora. Usa e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488. ¿Cuántos mg se han eliminado después de 3 horas? Redondea a un decimal.
12. Inviertes 3000 dólares al 4% durante 5 años. Usa 1{,}04^{5} \approx 1{,}2167 y e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Compara la capitalización anual y la continua. Redondea cada cantidad al dólar.
13. ¿Cuánto debes depositar hoy, al 4% con capitalización continua, para tener 6000 dólares dentro de 5 años? Usa la calculadora (e ≈ 2,71828) y redondea el resultado final al dólar.
14. Oferta A: 6% con capitalización anual. Oferta B: 5,85% con capitalización continua. Usa e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602. ¿Qué oferta da más dinero después de un año?
15. Se invierten 5000 dólares al 8% durante 10 años. Usa 1{,}08^{10} \approx 2{,}158925 y e^{0{,}8} \approx 2{,}225541. ¿Cuántos dólares más da la capitalización continua que la anual? Redondea al dólar.
16. Quieres invertir 2000 dólares durante 10 años. El banco A paga un 5% con capitalización anual y el banco B un 4,9% con capitalización continua. Usa 1{,}05^{10} \approx 1{,}6289 y e^{0{,}49} \approx 1{,}6323. Redondea cada cantidad al dólar. ¿Cuántos dólares más da el mejor banco?
17. Una muestra de 500 gramos de una sustancia radiactiva se desintegra de forma continua al 2% anual. Usa e⁻¹ ≈ 0,3679. ¿Cuántos gramos quedan después de 50 años? Redondea al gramo.
18. Un cultivo empieza con 1000 bacterias y crece de forma continua al 30% por hora. Usa e^{0{,}6} \approx 1{,}8221 y e^{1{,}2} \approx 3{,}3201. ¿Por qué factor crece el cultivo de la hora 2 a la hora 4? Halla primero el número de bacterias después de 2 horas y después de 4 horas (número entero) y luego da el factor con dos decimales.

Por qué es importante

Muchos procesos no esperan al final del año para cambiar: cambian en cada momento.

Finanzas: algunas cuentas de ahorro y préstamos capitalizan los intereses de forma continua, y $Pe^{rt}$ es el límite superior de lo que puede dar cualquier forma de capitalización con la misma tasa
Biología: las bacterias de un laboratorio se dividen todo el tiempo, no según un horario, así que su crecimiento se modela con $e$
Física y medicina: los átomos radiactivos se desintegran en momentos aleatorios y un medicamento sale de la sangre poco a poco, y ambos siguen $Pe^{-kt}$
Ciencias en general: casi todas las fórmulas de crecimiento o decrecimiento en química, física y economía se escriben con base $e$

Cuando sepas leer

Pe^{rt}

, podrás comparar ofertas de bancos, predecir resultados de laboratorio y entender cómo los científicos fechan objetos antiguos.

Aplicaciones del mundo real

Banca: ahorro con capitalización continua

Los bancos comparan ofertas con la capitalización más generosa posible, que es la continua. Muestra el techo de lo que puede rendir una tasa.

Ejemplo:

Al 5% con capitalización continua, 1 dólar se convierte en $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ dólares en un año, así que la tasa anual efectiva es de un 5,13%, algo más que el 5%.

1Inténtalo tú mismo

Pones 4000 dólares en una cuenta al 4,5% con capitalización continua y los dejas 4 años.

¿Cuánto hay en la cuenta después de 4 años? Redondea al dólar.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biología: bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos modelan un cultivo de bacterias con alimento abundante mediante $N(t) = N_0 e^{rt}$, donde $r$ es la tasa de crecimiento continua por hora.

Ejemplo:

Un cultivo de 1000 bacterias que crece a una tasa continua del 30% por hora tiene $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bacterias después de 2 horas.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo de laboratorio empieza con 2000 bacterias y crece de forma continua al 40% por hora.

¿Cuántas bacterias hay después de 5 horas? Redondea a un número entero.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Medicina: trazadores radiactivos

Los hospitales usan sustancias radiactivas como el yodo 131 para diagnóstico y tratamiento. La cantidad que queda sigue $A = Pe^{-kt}$, así los médicos saben cuánto queda cada día.

Ejemplo:

El yodo 131 se desintegra de forma continua a un 8,6% diario aproximadamente. Después de 1 día, $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , así que queda alrededor del 91,8% de la muestra.

3Inténtalo tú mismo

Un hospital recibe 100 mg de yodo 131, que se desintegra de forma continua a una tasa del 8,6% diario.

¿Cuánto queda después de 10 días? Redondea a un decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Puntos clave

1Crecimiento continuo: $A = Pe^{rt}$ ; decrecimiento continuo: $A = Pe^{-kt}$ , con las tasas en forma decimal
2Un exponente positivo significa crecimiento y un exponente negativo significa decrecimiento
3En la calculadora, escribe $e^{x}$ como e^(x) (sin tecla $e$ , como 2.71828^x) y pon paréntesis alrededor del exponente
4Con la misma tasa y el mismo tiempo, la capitalización continua siempre da un poco más que la anual
5Para hallar el valor inicial, divide: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Despejar el tiempo $t$ requiere logaritmos, que verás en lecciones posteriores

Preguntas frecuentes

Capitalizar

n

veces al año a una tasa

r

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Cuando

n

se hace cada vez más grande, esta expresión se acerca a

e^{rt}

. Por eso

e

es lo que se obtiene cuando el crecimiento ocurre en cada instante.

Glosario

Crecimiento continuo: Aumento que ocurre en cada instante, modelado por $A = Pe^{rt}$ con $r > 0$
Decrecimiento continuo: Disminución que ocurre en cada instante, modelada por $A = Pe^{-kt}$ con $k > 0$
Capitalización continua: Intereses que se suman en cada instante; el límite de capitalizar cada vez más a menudo
Tasa continua: La tasa $r$ o $k$ del exponente, escrita como decimal ( $4\% = 0{,}04$ )
Número $e$ (de Euler): La constante $e \approx 2{,}71828$ , base natural del crecimiento y el decrecimiento continuos
Valor inicial: El valor de partida $P$ en el instante $t = 0$

Tarjeta de fórmulas

Crecimiento continuo

A = P e^{rt}

$P$ = valor inicial, $r$ = tasa de crecimiento continua (decimal), $t$ = tiempo, $A$ = cantidad después del tiempo $t$.

Decrecimiento continuo

A = P e^{-kt}

$k$ = tasa de decrecimiento continua (decimal, positiva). El signo menos hace que la cantidad disminuya.

Capitalización anual (para comparar)

A = P(1 + r)^t

Intereses que se suman una vez al año. Da un poco menos que $Pe^{rt}$ con la misma tasa.

Valor inicial

P = \frac{A}{e^{rt}}

Divide la cantidad final entre el factor de crecimiento $e^{rt}$.

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Visual interactivo

Gráfica de la función

Tabla de valores

Calculadora de interés

Interés compuesto

Mismo dinero, distinta capitalización

Crecimiento en el tiempo

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Historial

Problemas de práctica

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Banca: ahorro con capitalización continua

Biología: bacterias en el laboratorio

Medicina: trazadores radiactivos

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Crecimiento continuo

Decrecimiento continuo

Capitalización anual (para comparar)

Valor inicial

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