¿Crecimiento o decrecimiento?

Para cada función, decide si muestra crecimiento o decrecimiento y halla el cambio porcentual por periodo: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ y $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$.

Mira la base de $f$: $b = 0{,}92$ y $0 < 0{,}92 < 1$ = $f$ muestra decrecimiento

Halla la tasa de decrecimiento de $f$: $r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ = $f$ pierde un $8\%$ por periodo

Mira la base de $g$: $b = 1{,}03 > 1$, así que $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ = $g$ crece un $3\%$ por periodo

Lee los valores iniciales: $f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ y $g(0) = 50$ = Valores iniciales $300$ y $50$

Answer: $f$ es un **decrecimiento** exponencial del $8\%$ por periodo (empieza en $300$); $g$ es un **crecimiento** exponencial del $3\%$ por periodo (empieza en $50$).

Depreciación de un coche

Un coche nuevo cuesta 25000 dólares y pierde el $15\%$ de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 4 años? Redondea al centavo.

Identificar los valores: $a = 25000$, $r = 0{,}15$, $t = 4$ = Valores identificados

Calcular el factor de decrecimiento: $1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $b = 0{,}85$

Escribir la fórmula: $V(4) = 25000 \cdot 0{,}85^4$ = Fórmula planteada

Calcular la potencia: $0{,}85^4 = 0{,}52200625$ = Queda aproximadamente el $52{,}2\%$ del valor

Multiplicar y redondear: $25000 \cdot 0{,}52200625 = 13050{,}15625 \approx 13050{,}16$ = 13050,16 dólares

Answer: Después de 4 años el coche vale aproximadamente **13050,16 dólares**, un poco más de la mitad de su precio.

Un medicamento en el cuerpo

Una paciente toma una dosis de 400 mg de un medicamento. Cada hora el cuerpo elimina el $20\%$ del medicamento que todavía queda. ¿Cuánto queda después de 5 horas y qué porcentaje de la dosis es? Redondea a una cifra decimal.

Calcular el factor de decrecimiento: $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ = $b = 0{,}8$

Escribir el modelo: $M(t) = 400 \cdot 0{,}8^t$ = Modelo escrito

Calcular la potencia: $0{,}8^5 = 0{,}32768$ = Queda $0{,}32768$ de la dosis

Hallar la cantidad: $400 \cdot 0{,}32768 = 131{,}072 \approx 131{,}1$ = $131{,}1$ mg

Pasar el factor a porcentaje: $0{,}32768 \times 100\% = 32{,}768\% \approx 32{,}8\%$ = Queda el $32{,}8\%$

Answer: Después de 5 horas quedan aproximadamente **131,1 mg**, que es aproximadamente el **32,8 %** de la dosis.

El café que se enfría (modelo sencillo)

Una taza de café está a $90°C$ en una habitación a $20°C$. En un modelo sencillo, la diferencia entre el café y la habitación se reduce un $10\%$ cada minuto. ¿Qué temperatura tiene el café después de 5 minutos? Redondea a una cifra decimal.

Hallar la diferencia inicial: $90 - 20 = 70$ = $D_0 = 70$ grados

Modelar la diferencia: $D(t) = 70 \cdot 0{,}9^t$ = Factor de decrecimiento $0{,}9$

Calcular la potencia: $0{,}9^5 = 0{,}59049$ = $0{,}59049$

Hallar la diferencia después de 5 minutos: $70 \cdot 0{,}59049 = 41{,}3343$ = $D(5) \approx 41{,}33$ grados

Volver a sumar la temperatura ambiente: $20 + 41{,}3343 = 61{,}3343 \approx 61{,}3$ = $61{,}3°C$

Answer: Después de 5 minutos el café está a unos **61,3°C**. Solo decrece la diferencia con la habitación, así que el café se acerca a $20°C$ pero nunca baja de ahí.

Disminución lineal frente a exponencial

Un móvil cuesta 800 dólares. Modelo A: pierde 100 dólares al año. Modelo B: pierde el $20\%$ al año. Compara los valores después de 3, 6 y 8 años (redondea al centavo).

Escribir los dos modelos: A: $V = 800 - 100t$; B: $V = 800 \cdot 0{,}8^t$ = Lineal frente a exponencial

Comparar después de 3 años: A: $800 - 300 = 500$; B: $800 \cdot 0{,}512 = 409{,}6$ = B es menor

Comparar después de 6 años: A: $800 - 600 = 200$; B: $800 \cdot 0{,}262144 = 209{,}7152 \approx 209{,}72$ = Ahora A es menor

Comparar después de 8 años: A: $800 - 800 = 0$; B: $800 \cdot 0{,}16777216 \approx 134{,}22$ = A llega a cero, B no

Explicar el patrón: A resta siempre la misma cantidad; B resta el $20\%$ de un valor cada vez más pequeño = Las pérdidas exponenciales se reducen con el tiempo

Answer: El modelo exponencial pierde más al principio (409,60 frente a 500 dólares después de 3 años), pero sus pérdidas anuales son cada vez menores: después de 6 años es mayor (209,72 frente a 200), y después de 8 años el valor lineal es 0 mientras que el exponencial todavía es de unos 134,22 dólares.

Mistake: Usar la tasa de decrecimiento como base: escribir $25000 \cdot 0{,}15^t$ para una pérdida del $15\%$

Why: $0{,}15^t$ conserva solo el $15\%$ cada año, es decir, una pérdida del $85\%$ anual. La base debe ser la parte que se **conserva**.

Correct: Factor de decrecimiento $= 1 - r$. Una disminución del $15\%$ da $25000 \cdot 0{,}85^t$.

Mistake: Restar la misma cantidad en cada periodo: 'el 20 % de 1000 es 200, así que después de 5 años el valor es 0'

Why: Eso es pensamiento lineal. La pérdida de cada año es el $20\%$ del valor **actual**, no del valor original, así que las pérdidas se reducen.

Correct: Multiplica por $0{,}8$ cada año: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$. Después de 5 años quedan $327{,}68$.

Mistake: Calcular $a \cdot 1 - r^t$ en lugar de $a(1 - r)^t$

Why: El exponente afecta a todo el factor de decrecimiento. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$, pero $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$.

Correct: Calcula primero $1 - r$, después elévalo a $t$ y al final multiplica por $a$.

Mistake: Creer que una cantidad que decrece acaba valiendo exactamente cero

Why: Al multiplicar un número positivo por un factor como $0{,}8$ siempre se obtiene un número positivo.

Correct: En el modelo $y = a(1 - r)^t$ los valores se acercan cada vez más a $0$ (asíntota horizontal $y = 0$) pero nunca lo alcanzan.

Depreciación de móviles y portátiles

Los aparatos electrónicos pierden cada año un porcentaje de su valor. Las webs de segunda mano y las aseguradoras usan modelos de decrecimiento para estimar cuánto vale un aparato usado.

Un portátil de 1000 dólares que pierde el $30\%$ al año vale $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ dólares después de 2 años.

Dosis de medicamentos

Los médicos y farmacéuticos usan el decrecimiento exponencial para saber cuánto fármaco queda en el cuerpo y cuándo toca la siguiente dosis.

Si el cuerpo elimina el $15\%$ de un fármaco cada hora, después de 4 horas $0{,}85^4 \approx 0{,}522$, así que queda aproximadamente el $52{,}2\%$ de la dosis.

Bebidas que se enfrían

Los ingenieros y los técnicos de alimentos modelan el enfriamiento con un decrecimiento: la diferencia de temperatura entre un objeto y la habitación se reduce un porcentaje cada minuto.

Café a $90°C$ en una habitación a $20°C$: si la diferencia de $70$ se reduce un $10\%$ por minuto, después de 1 minuto es $63$, así que el café está a $83°C$.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre la tasa de decrecimiento y el factor de decrecimiento?

A: La tasa de decrecimiento $r$ es lo que pierdes en cada periodo (por ejemplo $15\% = 0{,}15$). El factor de decrecimiento es lo que conservas: $1 - r = 0{,}85$. El factor de decrecimiento es el número que va en la base de la potencia.

Q: ¿Cómo distingo el crecimiento del decrecimiento solo mirando la fórmula?

A: Mira la base $b$ en $y = a \cdot b^t$. Si $b > 1$, la cantidad crece (por ejemplo, $1{,}04$ significa $+4\%$). Si $0 < b < 1$, decrece (por ejemplo, $0{,}96$ significa $-4\%$).

Q: ¿Una cantidad que decrece llega alguna vez a cero?

A: En el modelo, no. En cada periodo se conserva una fracción fija de un número positivo, así que el resultado sigue siendo positivo. La gráfica se acerca cada vez más a la recta $y = 0$, su asíntota horizontal. En la vida real se deja de contar cuando la cantidad es demasiado pequeña para importar.

Q: ¿Qué es el período de semidesintegración?

A: El período de semidesintegración (o vida media) es el tiempo que tarda en quedar exactamente la mitad de la cantidad. Es un caso especial del decrecimiento exponencial con su propia fórmula y se estudia en la lección Problemas de período de semidesintegración.