¿Cómo distingo el crecimiento del decrecimiento solo mirando la fórmula?

Mira la base $b$ en $y = a \cdot b^t$. Si $b > 1$, la cantidad crece (por ejemplo, $1{,}04$ significa $+4\%$). Si $0 < b < 1$, decrece (por ejemplo, $0{,}96$ significa $-4\%$).

¿Una cantidad que decrece llega alguna vez a cero?

En el modelo, no. En cada periodo se conserva una fracción fija de un número positivo, así que el resultado sigue siendo positivo. La gráfica se acerca cada vez más a la recta $y = 0$, su asíntota horizontal. En la vida real se deja de contar cuando la cantidad es demasiado pequeña para importar.

¿Qué es el período de semidesintegración?

El período de semidesintegración (o vida media) es el tiempo que tarda en quedar exactamente la mitad de la cantidad. Es un caso especial del decrecimiento exponencial con su propia fórmula y se estudia en la lección Problemas de período de semidesintegración.

Recursos para profesores

Decrecimiento exponencial

Q: ¿Cuál es la diferencia entre la tasa de decrecimiento y el factor de decrecimiento?

La tasa de decrecimiento $r$ es lo que pierdes en cada periodo (por ejemplo $15\% = 0{,}15$). El factor de decrecimiento es lo que conservas: $1 - r = 0{,}85$. El factor de decrecimiento es el número que va en la base de la potencia.

Q: ¿Una cantidad que decrece llega alguna vez a cero?

En el modelo, no. En cada periodo se conserva una fracción fija de un número positivo, así que el resultado sigue siendo positivo. La gráfica se acerca cada vez más a la recta $y = 0$, su asíntota horizontal. En la vida real se deja de contar cuando la cantidad es demasiado pequeña para importar.

Q: ¿Qué es el período de semidesintegración?

El período de semidesintegración (o vida media) es el tiempo que tarda en quedar exactamente la mitad de la cantidad. Es un caso especial del decrecimiento exponencial con su propia fórmula y se estudia en la lección Problemas de período de semidesintegración.

Aprende cómo una cantidad disminuye en un porcentaje constante, usa la fórmula y = a(1 - r)^t y resuelve problemas de depreciación, medicamentos y enfriamiento.

Avanzado25 minLección

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Definición

Hay decrecimiento exponencial cuando una cantidad disminuye en el mismo porcentaje en cada periodo de igual duración. Lo que se pierde es cada vez menos, porque cada nueva pérdida es un porcentaje de lo que queda.

y = a(1 - r)^t

Donde:

$a$ = valor inicial (la cantidad en $t = 0$ )
$r$ = tasa de decrecimiento, el porcentaje que se pierde en cada periodo, escrito como decimal ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = factor de decrecimiento $b$ , la parte que se conserva en cada periodo ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = número de periodos

En la forma general

y = a \cdot b^t

la base indica el tipo:

$b > 1$ : crecimiento exponencial
$0 < b < 1$ : decrecimiento exponencial

Después de

t

periodos, la fracción que queda es

(1 - r)^t

, sin importar cuál sea la cantidad inicial.

Pruébalo ahora

¿Qué función muestra un decrecimiento exponencial?

Ejemplos resueltos

Para cada función, decide si muestra crecimiento o decrecimiento y halla el cambio porcentual por periodo: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ y $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Mira la base de $f$

$b = 0{,}92$ y $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ muestra decrecimiento

Halla la tasa de decrecimiento de $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ pierde un $8\%$ por periodo

Mira la base de $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , así que $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ crece un $3\%$ por periodo

Lee los valores iniciales

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ y $g(0) = 50$ → Valores iniciales $300$ y $50$

Respuesta: $f$ es un decrecimiento exponencial del $8\%$ por periodo (empieza en $300$ ); $g$ es un crecimiento exponencial del $3\%$ por periodo (empieza en $50$ ).

Errores comunes

Usar la tasa de decrecimiento como base: escribir $25000 \cdot 0{,}15^t$ para una pérdida del $15\%$

Por qué está mal: $0{,}15^t$ conserva solo el $15\%$ cada año, es decir, una pérdida del $85\%$ anual. La base debe ser la parte que se conserva.

Correcto: Factor de decrecimiento $= 1 - r$ . Una disminución del $15\%$ da $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Restar la misma cantidad en cada periodo: 'el 20 % de 1000 es 200, así que después de 5 años el valor es 0'

Por qué está mal: Eso es pensamiento lineal. La pérdida de cada año es el $20\%$ del valor actual, no del valor original, así que las pérdidas se reducen.

Correcto: Multiplica por $0{,}8$ cada año: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Después de 5 años quedan $327{,}68$ .

Calcular $a \cdot 1 - r^t$ en lugar de $a(1 - r)^t$

Por qué está mal: El exponente afecta a todo el factor de decrecimiento. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , pero $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Correcto: Calcula primero $1 - r$ , después elévalo a $t$ y al final multiplica por $a$ .

Creer que una cantidad que decrece acaba valiendo exactamente cero

Por qué está mal: Al multiplicar un número positivo por un factor como $0{,}8$ siempre se obtiene un número positivo.

Correcto: En el modelo $y = a(1 - r)^t$ los valores se acercan cada vez más a $0$ (asíntota horizontal $y = 0$ ) pero nunca lo alcanzan.

Visual interactivo

Gráfica de la función

a = 400r = 0,2

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = a(1 − r)^tAsíntota

Tabla de valores

t	0	1	2	3	4	5
y	400	320	256	204,8	163,84	131,072

Explorador de sucesiones

Primer término (a₁ = 100)

Razón común (r = 0,8)

100,

80,

64,

51,2,

40,96,

32,768,

26,214,

20,972

, ...

Fórmula

a_n = 100 × 0,8^(n-1)

a_1

100

a_5

40,96

a_10

13,422

a_20

1,441

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué función muestra un decrecimiento exponencial?

Problemas de práctica: Decrecimiento exponencial

1. ¿Qué función muestra un decrecimiento exponencial?
2. Una cantidad disminuye un 15% cada año. ¿Cuál es el factor de decrecimiento b? Escríbelo como decimal.
3. ¿En qué porcentaje disminuye f(t) = 500 \cdot 0{,}6^t en cada periodo?
4. La función 1 es y = 150 \cdot 1{,}04^t y la función 2 es y = 150 \cdot 0{,}96^t. ¿Cuál muestra decrecimiento?
5. Un modelo exponencial tiene factor de decrecimiento 0,93. ¿Cuál es la tasa de decrecimiento en porcentaje? Escribe solo el número (por ejemplo, 5 para el 5%).
6. Un portátil cuesta 1000 dólares y pierde el 20% de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 2 años (en dólares)?
7. Un móvil cuesta 600 dólares y pierde el 20% de su valor cada año. ¿Qué expresión da su valor después de t años?
8. Analiza el modelo f(t) = 2000 \cdot 0{,}7^t y calcula f(2).
9. Una cantidad pierde el 20% en cada periodo. ¿Qué porcentaje de la cantidad inicial queda después de 4 periodos? Escribe solo el número, con dos decimales.
10. Un coche se compra por 20000 dólares y pierde el 10% de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 3 años (en dólares)?
11. ¿Qué afirmación sobre y = 80 \cdot 0{,}75^t NO es verdadera?
12. Una paciente toma 500 mg de un medicamento. El cuerpo elimina el 10% de la cantidad que queda cada hora. ¿Cuántos miligramos quedan después de 5 horas? Redondea al miligramo entero.
13. Una máquina vale 10000 dólares. Modelo A: pierde 1500 dólares al año. Modelo B: pierde el 15% al año. ¿Qué modelo da el valor más alto después de 5 años?
14. Un café está a 85°C en una habitación a 20°C. En un modelo sencillo, la diferencia entre el café y la habitación se reduce un 10% cada minuto. ¿Qué temperatura tiene el café después de 3 minutos, en °C? Redondea a una cifra decimal.
15. Una máquina cuesta 12000 dólares. Plan A: pierde 1500 dólares al año. Plan B: pierde el 20% al año. Después de 4 años, ¿cuántos dólares más vale con el plan A que con el plan B?
16. El valor de una bicicleta baja de 400 a 324 en 2 años, perdiendo el mismo porcentaje cada año. ¿Cuál es la disminución porcentual anual? Escribe solo el número.
17. Una moto cuesta 1000 dólares y pierde el 20% de su valor cada año. ¿Después de cuántos años completos vale por primera vez menos de 450 dólares?
18. Un paciente recibe 800 mg de un medicamento. Cada hora el cuerpo elimina el 40% de la cantidad que todavía queda. ¿Cuántos miligramos quedan después de 3 horas y qué porcentaje de la dosis es?

Por qué es importante

El decrecimiento exponencial describe muchas cosas que disminuyen con el tiempo:

Depreciación: un coche o un móvil nuevo pierde cada año un porcentaje de su valor, así que pierde más dinero al principio
Medicamentos: el cuerpo elimina cada hora un porcentaje fijo de un fármaco, y eso decide cada cuánto hace falta una dosis
Enfriamiento: una bebida caliente se enfría rápido al principio y luego cada vez más despacio al acercarse a la temperatura ambiente
Luz y sonido: cada metro de agua o de pared absorbe un porcentaje de la luz o del sonido que lo atraviesa

Conocer la fórmula del decrecimiento te permite predecir valores, comparar ofertas (una cantidad fija menos al año o un porcentaje menos) y entender por qué algunas cosas nunca llegan del todo a cero.

Aplicaciones del mundo real

Depreciación de móviles y portátiles

Los aparatos electrónicos pierden cada año un porcentaje de su valor. Las webs de segunda mano y las aseguradoras usan modelos de decrecimiento para estimar cuánto vale un aparato usado.

Ejemplo:

Un portátil de 1000 dólares que pierde el $30\%$ al año vale $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ dólares después de 2 años.

1Inténtalo tú mismo

Un móvil nuevo cuesta 1200 dólares y pierde el $25\%$ de su valor cada año.

¿Cuánto vale el móvil después de 2 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la fórmula del decrecimiento: $1200 \cdot 0{,}75^2$

Dosis de medicamentos

Los médicos y farmacéuticos usan el decrecimiento exponencial para saber cuánto fármaco queda en el cuerpo y cuándo toca la siguiente dosis.

Ejemplo:

Si el cuerpo elimina el $15\%$ de un fármaco cada hora, después de 4 horas $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , así que queda aproximadamente el $52{,}2\%$ de la dosis.

2Inténtalo tú mismo

Un paciente toma 200 mg de un medicamento. El cuerpo elimina el $30\%$ de la cantidad que queda cada hora.

¿Cuántos miligramos quedan después de 4 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $200 \cdot 0{,}7^4$

Bebidas que se enfrían

Los ingenieros y los técnicos de alimentos modelan el enfriamiento con un decrecimiento: la diferencia de temperatura entre un objeto y la habitación se reduce un porcentaje cada minuto.

Ejemplo:

Café a $90°C$ en una habitación a $20°C$ : si la diferencia de $70$ se reduce un $10\%$ por minuto, después de 1 minuto es $63$ , así que el café está a $83°C$ .

3Inténtalo tú mismo

Una taza de té está a $80°C$ en una habitación a $20°C$ . En un modelo sencillo la diferencia de temperatura se reduce un $20\%$ cada minuto.

¿Qué temperatura tiene el té después de 3 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Puntos clave

1El decrecimiento exponencial sigue $y = a(1 - r)^t$ : la cantidad pierde el mismo porcentaje en cada periodo
2La tasa de decrecimiento $r$ es el porcentaje perdido; el factor de decrecimiento $1 - r$ es la parte que se conserva (una disminución del $15\%$ da $0{,}85$ )
3En $y = a \cdot b^t$ , una base $0 < b < 1$ indica decrecimiento y $b > 1$ indica crecimiento
4Después de $t$ periodos la fracción que queda es $(1 - r)^t$ ; multiplica por $100\%$ para obtener el porcentaje restante
5La disminución lineal resta siempre la misma cantidad y puede llegar a cero; la exponencial pierde cada vez menos y solo se acerca a cero
6Redondea solo al final e indica el redondeo (al centavo, a una cifra decimal)

Preguntas frecuentes

La tasa de decrecimiento

r

es lo que pierdes en cada periodo (por ejemplo

15\% = 0{,}15

). El factor de decrecimiento es lo que conservas:

1 - r = 0{,}85

. El factor de decrecimiento es el número que va en la base de la potencia.

Glosario

Decrecimiento exponencial: Una disminución en el mismo porcentaje en periodos iguales, modelada por $y = a(1 - r)^t$
Tasa de decrecimiento: El porcentaje que se pierde por periodo, escrito como decimal $r$ (por ejemplo $0{,}15$ para el $15\%$ )
Factor de decrecimiento: La parte que se conserva en cada periodo, $b = 1 - r$ , con $0 < b < 1$
Valor inicial: La cantidad $a$ en el instante $t = 0$
Depreciación: La pérdida de valor de un objeto, como un coche o un móvil, con el paso del tiempo
Asíntota horizontal: La recta $y = 0$ a la que se acerca la gráfica de un decrecimiento sin llegar nunca a tocarla

Tarjeta de fórmulas

Fórmula del decrecimiento exponencial

y = a(1 - r)^t

$a$ = valor inicial, $r$ = tasa de decrecimiento en forma decimal, $1 - r$ = factor de decrecimiento, $t$ = número de periodos.

Factor de decrecimiento a partir del porcentaje

b = 1 - r

Una disminución del $p\%$ por periodo da $b = 1 - \frac{p}{100}$. Ejemplo: $15\% \to 0{,}85$.

Porcentaje restante

(1 - r)^t \times 100\%

El porcentaje de la cantidad inicial que queda después de $t$ periodos, sea cual sea la cantidad inicial.

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