Interés compuesto mensual

Ingresas 5000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 6% de interés anual, con capitalización mensual. ¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de 10 años?

Leer: anota las cantidades: $P = 5000$ dólares, $r = 0{,}06$, $n = 12$ (mensual), $t = 10$ años = Valor inicial, tasa, periodos por año y tiempo encontrados

Identificar el factor por mes: $1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ = Crecimiento, factor $1{,}005$ por mes

Escribir el modelo: $A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ = $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calcular: $1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$, así que $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ = $A \approx 9096{,}98$

Comprobar: Con capitalización anual sale $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$. La mensual debe dar algo más, y así es. = Razonable, en dólares

Answer: Después de 10 años la cuenta tiene unos **9096,98 dólares**.

Depreciación de un coche

Un coche nuevo cuesta 24000 dólares y pierde el 15% de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 5 años? Redondea al céntimo.

Leer: anota las cantidades: $a = 24000$ dólares, tasa $15\% = 0{,}15$ por año, $t = 5$ años = Valor inicial, tasa y tiempo encontrados

Identificar: ¿crecimiento o decrecimiento?: El valor baja, así que es decrecimiento: $b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = Factor de decrecimiento $0{,}85$

Escribir el modelo: $V(t) = 24000 \cdot 0{,}85^{t}$, así que $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^{5}$ = $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^5$

Calcular: $0{,}85^5 \approx 0{,}443705$, así que $V(5) \approx 10648{,}93$ = $V(5) \approx 10648{,}93$

Comprobar: El valor es menor que 24000 y mayor que 0. Una pérdida lineal de $3600$ al año daría solo $6000$: con decrecimiento exponencial se pierde menos cada año, porque el 15% de un valor más pequeño es más pequeño. = Razonable, en dólares

Answer: Después de 5 años el coche vale unos **10648,93 dólares**.

Una publicación se hace viral

A las 12:00, un vídeo gracioso se ha compartido 40 veces. El número de veces que se comparte se triplica cada 2 horas. ¿Cuántas veces se habrá compartido a las 22:00 del mismo día?

Leer: anota las cantidades: $a = 40$ veces, factor $3$ cada $2$ horas, tiempo $t = 10$ horas (de 12:00 a 22:00) = Valor inicial, factor y tiempo encontrados

Identificar el factor y el periodo: Crecimiento con $b = 3$, pero cada 2 horas, así que el exponente es $\frac{t}{2}$ = Crecimiento, $b = 3$ cada 2 horas

Escribir el modelo: $S(t) = 40 \cdot 3^{t/2}$, así que $S(10) = 40 \cdot 3^{10/2} = 40 \cdot 3^5$ = $S(10) = 40 \cdot 3^5$

Calcular: $3^5 = 243$, así que $S(10) = 40 \cdot 243 = 9720$ = $9720$ veces

Comprobar: 5 periodos en que se triplica: $40 \to 120 \to 360 \to 1080 \to 3240 \to 9720$. Un número entero que crece rápido: tiene sentido. = Razonable, un número de veces compartido

Answer: A las 22:00 el vídeo se ha compartido unas **9720 veces**.

Medicamento y vida media

Un paciente toma 200 mg de un medicamento. Su vida media en el cuerpo es de 6 horas. ¿Cuánto queda después de 18 horas?

Leer: anota las cantidades: $N_0 = 200$ mg, vida media $T = 6$ horas, $t = 18$ horas = Valor inicial, vida media y tiempo encontrados

Identificar: ¿crecimiento o decrecimiento?: La cantidad se reduce a la mitad, así que es decrecimiento con factor $\frac{1}{2}$ cada 6 horas = Decrecimiento, factor $\frac{1}{2}$

Escribir el modelo: $N(t) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, así que $N(18) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $N(18) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Calcular: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, así que $N(18) = \frac{200}{8} = 25$ = $25$ mg

Comprobar: Reducir a la mitad tres veces: $200 \to 100 \to 50 \to 25$. Menos que la dosis, nunca negativo, en mg. = Razonable, en mg

Answer: Después de 18 horas quedan **25 mg** del medicamento.

¿Lineal o exponencial? Leer una tabla

Un canal tuvo estos suscriptores: semana 0: 500, semana 1: 600, semana 2: 720, semana 3: 864. ¿El patrón es lineal o exponencial? Predice el número de la semana 5.

Comprobar las diferencias: $600 - 500 = 100$, $720 - 600 = 120$, $864 - 720 = 144$ = Diferencias no constantes: no es lineal

Comprobar los cocientes: $\frac{600}{500} = 1{,}2$, $\frac{720}{600} = 1{,}2$, $\frac{864}{720} = 1{,}2$ = Cociente constante $b = 1{,}2$: exponencial

Escribir el modelo: $a = 500$ (semana 0), $b = 1{,}2$: $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^{t}$ = $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$

Calcular la semana 5: $S(5) = 500 \cdot 1{,}2^5 = 500 \cdot 2{,}48832 = 1244{,}16$ = Unos $1244$ suscriptores

Interpretar y comprobar: $a = 500$ es el número inicial, $b = 1{,}2$ significa un crecimiento del 20% por semana. Una estimación lineal ($+100$ por semana) daría solo $1000$. = Razonable, un número entero de personas

Answer: El patrón es **exponencial** ($S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$, 20% por semana), y en la semana 5 el canal tiene unos **1244 suscriptores**.

Mistake: Usar $r$ y $t$ en lugar de $\frac{r}{n}$ y $nt$ en el interés compuesto

Why: Con capitalización mensual el banco paga $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ cada mes, 120 veces en 10 años. Escribir $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ o $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ confunde el periodo.

Correct: Tasa por periodo $\frac{r}{n}$, número de periodos $nt$: $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$.

Mistake: Usar la tasa como factor, por ejemplo $b = 0{,}15$ para una pérdida del 15%

Why: Perder un 15% significa que se conserva el 85% del valor. $24000 \cdot 0{,}15^5$ es casi cero, y ningún coche pierde tanto en 5 años.

Correct: Decrecimiento: $b = 1 - r = 0{,}85$. Crecimiento: $b = 1 + r$. El factor es lo que queda (o lo que tienes) después de un periodo.

Mistake: Usar $t$ en lugar de $\frac{t}{T}$ cuando el periodo no es 1

Why: "Se triplica cada 2 horas" o "vida media de 6 horas" significa que el factor actúa una vez cada 2 o 6 horas, no cada hora. $40 \cdot 3^{10}$ es demasiado grande.

Correct: Cuenta primero los periodos: exponente $= \frac{\text{tiempo}}{\text{duración de un periodo}}$, por ejemplo $3^{10/2} = 3^5$.

Mistake: Saltarse la comprobación del resultado

Why: Un resultado de decrecimiento mayor que el valor inicial, o uno de crecimiento menor, indica siempre un factor o un exponente equivocado.

Correct: Paso 5 siempre: el crecimiento termina por encima de $a$, el decrecimiento entre $0$ y $a$, y las unidades coinciden con la pregunta.

Ahorrar para la universidad

Los bancos capitalizan los intereses cada año, cada trimestre, cada mes o cada día. La fórmula $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ te permite comparar ofertas antes de elegir.

1000 dólares al 4% con capitalización trimestral durante 3 años: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ dólares.

Bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos modelizan el crecimiento que ocurre en todo momento, no a saltos, con el crecimiento continuo $A = P \cdot e^{rt}$.

Un cultivo de 1000 células que crece de forma continua un 2% por hora durante 10 horas: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ células.

La cafeína en tu cuerpo

Médicos y farmacéuticos usan la vida media para decidir cada cuánto se toma un medicamento. La cafeína tiene una vida media de unas 5 horas en un adulto.

Un café de 100 mg a las 8:00 todavía deja $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg a las 13:00.

Q: ¿Cómo sé si un problema es exponencial y no lineal?

A: Busca expresiones como "por ciento al año", "se duplica", "se triplica", "se reduce a la mitad" o "vida media": el cambio es un factor. Si el enunciado dice "aumenta 50 cada año", el cambio es una cantidad fija, así que es lineal. En una tabla, comprueba los cocientes entre valores consecutivos.

Q: ¿Cuándo uso $e^{rt}$ en lugar de $(1 + r)^t$?

A: Usa $e^{rt}$ solo cuando el problema diga que el crecimiento o el decrecimiento es **continuo** (o que la capitalización es continua). Si habla de años, meses, trimestres o no dice nada de capitalización, usa $(1 + r)^t$ o $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Q: Mi calculadora no tiene tecla $e$. ¿Qué hago?

A: Usa el valor que da el problema, como $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, o escribe $2{,}71828$ en lugar de $e$. La calculadora de esta lección tiene $e$, así que allí puedes escribir e^0.4 directamente. Con 5 decimales de $e$, tu resultado redondea al mismo céntimo o al mismo número entero en los problemas de esta lección.

Q: ¿Por qué importa el paso 5 si el cálculo está bien?

A: La mayoría de las respuestas incorrectas vienen del planteamiento, no de las cuentas: un factor $0{,}15$ en lugar de $0{,}85$, o $t$ en lugar de $\frac{t}{2}$. Preguntarte "¿debería ser mayor o menor que el valor inicial?" detecta esos errores en pocos segundos.