¿Cuándo uso $e^{rt}$ en lugar de $(1 + r)^t$?

Usa $e^{rt}$ solo cuando el problema diga que el crecimiento o el decrecimiento es **continuo** (o que la capitalización es continua). Si habla de años, meses, trimestres o no dice nada de capitalización, usa $(1 + r)^t$ o $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Mi calculadora no tiene tecla $e$. ¿Qué hago?

Usa el valor que da el problema, como $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, o escribe $2{,}71828$ en lugar de $e$. La calculadora de esta lección tiene $e$, así que allí puedes escribir e^0.4 directamente. Con 5 decimales de $e$, tu resultado redondea al mismo céntimo o al mismo número entero en los problemas de esta lección.

¿Por qué importa el paso 5 si el cálculo está bien?

La mayoría de las respuestas incorrectas vienen del planteamiento, no de las cuentas: un factor $0{,}15$ en lugar de $0{,}85$, o $t$ en lugar de $\frac{t}{2}$. Preguntarte "¿debería ser mayor o menor que el valor inicial?" detecta esos errores en pocos segundos.

Recursos para profesores

Problemas de aplicación de funciones exponenciales

Resuelve problemas reales con funciones exponenciales usando un método de 5 pasos: interés compuesto, depreciación, difusión viral, vida media y crecimiento continuo.

Avanzado35 minLección

Ficha imprimible

Definición

Un problema exponencial describe una cantidad que cambia por el mismo factor en cada periodo de tiempo de igual duración. Tu tarea es convertir el enunciado en un modelo de la forma

y = a \cdot b^{t}

donde

a

es el valor inicial y

b

es el factor de crecimiento (

b > 1

) o el factor de decrecimiento (

0 < b < 1

El método de 5 pasos sirve para todos los problemas de esta lección:

1.Leer: encuentra el valor inicial, la tasa o el factor, el tiempo y las unidades.
2.Identificar: ¿crecimiento o decrecimiento? Halla el factor $b$ (para una tasa $r$ : $b = 1 + r$ o $b = 1 - r$ ).
3.Escribir el modelo: elige la fórmula adecuada y sustituye los números.
4.Calcular: evalúa con la calculadora y redondea como pide el problema.
5.Comprobar: ¿es razonable el resultado (mayor o menor que el valor inicial?) y está en las unidades correctas?

Repaso de fórmulas (de las lecciones anteriores):

Interés compuesto, $n$ veces al año: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Crecimiento o decrecimiento continuo: $A = P \cdot e^{rt}$
Período de semidesintegración $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Pruébalo ahora

Un móvil pierde el 15% de su valor cada año. ¿Qué factor

b

usas en el modelo

V(t) = a \cdot b^t

Ejemplos resueltos

Ingresas 5000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 6% de interés anual, con capitalización mensual. ¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de 10 años?

Leer: anota las cantidades

$P = 5000$ dólares, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (mensual), $t = 10$ años → Valor inicial, tasa, periodos por año y tiempo encontrados

Identificar el factor por mes

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Crecimiento, factor $1{,}005$ por mes

Escribir el modelo

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calcular

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , así que $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Comprobar

Con capitalización anual sale $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . La mensual debe dar algo más, y así es. → Razonable, en dólares

Respuesta: Después de 10 años la cuenta tiene unos 9096,98 dólares.

Errores comunes

Usar $r$ y $t$ en lugar de $\frac{r}{n}$ y $nt$ en el interés compuesto

Por qué está mal: Con capitalización mensual el banco paga $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ cada mes, 120 veces en 10 años. Escribir $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ o $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ confunde el periodo.

Correcto: Tasa por periodo $\frac{r}{n}$ , número de periodos $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Usar la tasa como factor, por ejemplo $b = 0{,}15$ para una pérdida del 15%

Por qué está mal: Perder un 15% significa que se conserva el 85% del valor. $24000 \cdot 0{,}15^5$ es casi cero, y ningún coche pierde tanto en 5 años.

Correcto: Decrecimiento: $b = 1 - r = 0{,}85$ . Crecimiento: $b = 1 + r$ . El factor es lo que queda (o lo que tienes) después de un periodo.

Usar $t$ en lugar de $\frac{t}{T}$ cuando el periodo no es 1

Por qué está mal: "Se triplica cada 2 horas" o "vida media de 6 horas" significa que el factor actúa una vez cada 2 o 6 horas, no cada hora. $40 \cdot 3^{10}$ es demasiado grande.

Correcto: Cuenta primero los periodos: exponente $= \frac{\text{tiempo}}{\text{duración de un periodo}}$ , por ejemplo $3^{10/2} = 3^5$ .

Saltarse la comprobación del resultado

Por qué está mal: Un resultado de decrecimiento mayor que el valor inicial, o uno de crecimiento menor, indica siempre un factor o un exponente equivocado.

Correcto: Paso 5 siempre: el crecimiento termina por encima de $a$ , el decrecimiento entre $0$ y $a$ , y las unidades coinciden con la pregunta.

Visual interactivo

Calculadora de interés

Capital (5000,00 US$)

Tasa de interés (6%)

Período (10 años)

Capitalización

Fórmula

Interés compuesto:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 5000 · (1 + 0,06/12)^(12 · 10) = 9096,98 US$

Interés compuesto

Intereses ganados:4096,98 US$

Monto total:9096,98 US$

Mismo dinero, distinta capitalización

Capitalización	n	Monto total	Intereses ganados
Anual	1	8954,24 US$	3954,24 US$
Mensual	12	9096,98 US$	4096,98 US$
Diario	365	9110,14 US$	4110,14 US$
Continua	∞	9110,59 US$	4110,59 US$

Crecimiento en el tiempo

Explorador de sucesiones

Primer término (a₁ = 200)

Razón común (r = 0,5)

200,

100,

50,

25,

12,5,

6,25

, ...

Fórmula

a_n = 200 × 0,5^(n-1)

a_1

200

a_5

12,5

a_10

0,391

a_20

0,000381

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Un móvil pierde el 15% de su valor cada año. ¿Qué factor $b$ usas en el modelo $V(t) = a \cdot b^t$ ?

Problemas de práctica: Problemas de aplicación de funciones exponenciales

1. Un móvil pierde el 15% de su valor cada año. ¿Qué factor b usas en el modelo V(t) = a \cdot b^t?
2. El número de peces de un lago se modeliza con P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t, con t en años. ¿Qué te indica el número 1{,}04?
3. Cada lista muestra los valores de una cantidad para t = 0, 1, 2, 3. ¿Qué lista sigue un modelo exponencial?
4. Inviertes 2000 dólares al 6% de interés anual con capitalización trimestral. ¿Qué modelo da la cantidad A después de t años?
5. Un coche comprado por 20000 dólares pierde el 10% de su valor cada año. Cuatro alumnos calcularon su valor después de 4 años. ¿Qué resultado es correcto?
6. Un vídeo tiene 500 visualizaciones y el número de visualizaciones se duplica cada día. ¿Cuántas tiene después de 6 días?
7. Una sustancia tiene un período de semidesintegración de 5 horas. Una muestra empieza con 80 mg. ¿Cuántos mg quedan después de 20 horas?
8. Ingresas 1000 dólares al 8% de interés anual con capitalización trimestral. ¿Cuánto hay en la cuenta después de 5 años? Redondea al céntimo.
9. Se invierten 1500 dólares al 5% anual con capitalización continua. Usa e^{0{,}5} \approx 1{,}6487. ¿Cuánto vale la inversión después de 10 años? Redondea al dólar.
10. Una tabla da y = 80 para t = 0, y = 120 para t = 1, y = 180 para t = 2 e y = 270 para t = 3. Decide si es lineal o exponencial y halla el valor exacto de y para t = 5.
11. Un portátil cuesta 1200 dólares y pierde el 20% de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 3 años?
12. El lunes, 4 alumnos conocen un nuevo reto de baile. Cada día se triplica el número de alumnos que lo conocen. ¿Cuántos lo conocen 4 días después?
13. Inviertes 3000 dólares al 5% de interés anual con capitalización semestral (dos veces al año). ¿Cuánto tienes después de 6 años? Redondea al céntimo.
14. Un material radiactivo tiene un período de semidesintegración de 5 años. Una muestra tiene 640 g. ¿Cuántos gramos quedan después de 15 años?
15. Un paciente recibe 500 mg de un medicamento. La cantidad en la sangre decrece de forma continua a una tasa del 10% por hora, así que A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}. Usa e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187. ¿Cuántos mg quedan después de 2 horas? Redondea al mg.
16. El banco A paga un 5% anual con capitalización anual. El banco B paga un 5% anual con capitalización mensual. Ingresas 10000 dólares durante 3 años. ¿Cuánto más paga el banco B? Redondea cada cantidad al céntimo.
17. Un pueblo tenía 2000 habitantes. Dos años después tenía 2880. Supón un crecimiento exponencial P(t) = 2000 \cdot b^t (t en años). Halla b, la tasa de crecimiento anual y la población después de 4 años (redondeada a habitantes enteros).
18. El valor de un coche es V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t dólares, t años después de comprarlo. Interpreta el modelo y halla después de cuántos años enteros el valor baja por primera vez de 10000 dólares.

Por qué es importante

Los modelos exponenciales son el lenguaje del dinero, la medicina, la tecnología y la naturaleza. Saber plantearlos tú mismo te permite comprobar afirmaciones en lugar de creértelas sin más:

Ahorros y préstamos: la diferencia entre capitalizar cada año o cada mes es dinero real a 10 o 20 años
Comprar un coche o un móvil: la depreciación te dice cuánto valdrá cuando lo vendas
Salud: la vida media le dice a una médica cuánto medicamento queda en tu cuerpo al cabo de unas horas
Redes sociales: las publicaciones virales se multiplican por un factor en cada periodo, por eso explotan tan rápido
Ciencias: las poblaciones, los materiales radiactivos y los objetos que se enfrían siguen leyes exponenciales

Esta lección reúne todo lo del tema de funciones exponenciales. El método de 5 pasos es siempre el mismo; solo cambia la fórmula del paso 3.

Aplicaciones del mundo real

Ahorrar para la universidad

Los bancos capitalizan los intereses cada año, cada trimestre, cada mes o cada día. La fórmula $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ te permite comparar ofertas antes de elegir.

Ejemplo:

1000 dólares al 4% con capitalización trimestral durante 3 años: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ dólares.

1Inténtalo tú mismo

Ingresas 4000 dólares en una cuenta que paga un 6% de interés anual, con capitalización trimestral, durante 2 años.

¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de 2 años (al céntimo)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ con $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos modelizan el crecimiento que ocurre en todo momento, no a saltos, con el crecimiento continuo $A = P \cdot e^{rt}$.

Ejemplo:

Un cultivo de 1000 células que crece de forma continua un 2% por hora durante 10 horas: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ células.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 800 células y crece de forma continua a una tasa del 3% por hora. Usa $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

¿Cuántas células hay aproximadamente después de 10 horas (redondeando a la unidad)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $A = P \cdot e^{rt}$ con $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

La cafeína en tu cuerpo

Médicos y farmacéuticos usan la vida media para decidir cada cuánto se toma un medicamento. La cafeína tiene una vida media de unas 5 horas en un adulto.

Ejemplo:

Un café de 100 mg a las 8:00 todavía deja $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg a las 13:00.

3Inténtalo tú mismo

Una bebida energética contiene 160 mg de cafeína. Supón una vida media de 5 horas.

¿Cuánta cafeína queda después de 10 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ con $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Puntos clave

1Todo problema exponencial encaja en $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ es el valor inicial y $b$ el factor por periodo
2Usa los 5 pasos: leer, identificar crecimiento o decrecimiento y el factor, escribir el modelo, calcular, comprobar
3Una tasa $r$ da el factor $b = 1 + r$ para crecimiento y $b = 1 - r$ para decrecimiento
4Interés compuesto: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; continuo: $A = P \cdot e^{rt}$ ; período de semidesintegración: $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Si el factor actúa una vez cada $T$ unidades de tiempo, el exponente es $\frac{t}{T}$
6En una tabla, diferencias constantes indican lineal y cocientes constantes indican exponencial

Preguntas frecuentes

Busca expresiones como "por ciento al año", "se duplica", "se triplica", "se reduce a la mitad" o "vida media": el cambio es un factor. Si el enunciado dice "aumenta 50 cada año", el cambio es una cantidad fija, así que es lineal. En una tabla, comprueba los cocientes entre valores consecutivos.

Glosario

Modelo exponencial: Una fórmula $y = a \cdot b^{t}$ que describe una cantidad que cambia por el mismo factor $b$ en cada periodo de igual duración
Factor de crecimiento / de decrecimiento: El número $b$ por el que multiplicas en cada periodo: $b = 1 + r$ para crecimiento, $b = 1 - r$ para decrecimiento
Interés compuesto: Interés que se suma al saldo $n$ veces al año, de modo que los intereses posteriores también se ganan sobre los anteriores
Depreciación: La pérdida de valor de un objeto (coche, móvil, máquina) con el tiempo, a menudo un porcentaje fijo al año
Período de semidesintegración (vida media): El tiempo $T$ que tarda una cantidad que decrece en reducirse a la mitad
Crecimiento continuo: Crecimiento que ocurre en cada instante, modelizado con $A = P \cdot e^{rt}$

Tarjeta de fórmulas

Modelo exponencial general

y = a \cdot b^{t}

$a$ = valor inicial, $b$ = factor por periodo ($b = 1 + r$ crecimiento, $b = 1 - r$ decrecimiento), $t$ = número de periodos.

Interés compuesto

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = cantidad inicial, $r$ = tasa anual en forma decimal, $n$ = capitalizaciones por año, $t$ = años.

Crecimiento o decrecimiento continuo

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ para crecimiento, $r < 0$ para decrecimiento, $e \approx 2{,}71828$.

Período de semidesintegración

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = cantidad inicial, $T$ = período de semidesintegración, $t$ = tiempo transcurrido (misma unidad que $T$).

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Definición

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Errores comunes

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Calculadora de interés

Interés compuesto

Mismo dinero, distinta capitalización

Crecimiento en el tiempo

Explorador de sucesiones

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