Dibujar una curva de crecimiento con una tabla

Representa $y = 3 \cdot 2^x$ para $x = -2$ hasta $x = 3$. Indica la ordenada en el origen, la asíntota, el dominio y el recorrido.

Calcula los valores para $x$ negativos: $3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ y $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ = Puntos $(-2; 0{,}75)$ y $(-1; 1{,}5)$

Calcula los valores para $x = 0$ hasta $3$: $3 \cdot 2^0 = 3$, $3 \cdot 2^1 = 6$, $3 \cdot 2^2 = 12$, $3 \cdot 2^3 = 24$ = Puntos $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$

Dibuja los puntos y únelos: Cada paso a la derecha duplica $y$; cada paso a la izquierda lo reduce a la mitad = Una curva creciente, plana a la izquierda y empinada a la derecha

Lee las características: $a = 3$ da la ordenada en el origen; no se suma nada, así que $k = 0$ = Ordenada en el origen 3, punto $(0, 3)$, asíntota $y = 0$, dominio todos los reales, recorrido $y > 0$

Answer: La gráfica pasa por $(-2; 0{,}75)$, $(-1; 1{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$. Sube de izquierda a derecha, corta el eje de ordenadas en $(0, 3)$, se acerca a la asíntota $y = 0$ por la izquierda, tiene dominio todos los reales y recorrido $y > 0$.

Una curva decreciente: base entre 0 y 1

Representa $y = 8 \cdot (0{,}5)^x$ para $x = -2$ hasta $x = 3$ y compárala con la gráfica de $y = 8 \cdot 2^x$.

Calcula los valores: $8 \cdot (0{,}5)^{-2} = 8 \cdot 4 = 32$, $8 \cdot (0{,}5)^{-1} = 16$, $8 \cdot (0{,}5)^0 = 8$, $8 \cdot (0{,}5)^1 = 4$, $8 \cdot (0{,}5)^2 = 2$, $8 \cdot (0{,}5)^3 = 1$ = Puntos $(-2, 32)$, $(-1, 16)$, $(0, 8)$, $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

Describe la forma: Cada paso a la derecha reduce $y$ a la mitad, así que la curva baja y se aplana hacia el eje de abscisas a la derecha = Curva decreciente, asíntota $y = 0$

Compara con $y = 8 \cdot 2^x$: $(0{,}5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$, así que $8 \cdot (0{,}5)^x = 8 \cdot 2^{-x}$: el valor en $x$ es igual al valor de $8 \cdot 2^x$ en $-x$ = Las dos gráficas son simétricas respecto al eje de ordenadas

Answer: La gráfica baja desde $(-2, 32)$, pasando por $(0, 8)$, hasta $(3, 1)$ y se acerca a $y = 0$ por la derecha. Es la imagen reflejada de $y = 8 \cdot 2^x$ respecto al eje de ordenadas; ambas comparten el punto $(0, 8)$, la asíntota $y = 0$ y el recorrido $y > 0$.

Trasladar una gráfica a la derecha y hacia arriba

Esboza $y = 2^{x-1} + 3$. Halla la asíntota, la ordenada en el origen, el dominio y el recorrido.

Identifica la transformación: Compara con $y = a \cdot b^{x-h} + k$: $a = 1$, $b = 2$, $h = 1$, $k = 3$ = Trasladar $y = 2^x$ 1 a la derecha y 3 hacia arriba

Mueve tres puntos de $y = 2^x$: $(0, 1) \to (1, 4)$, $(1, 2) \to (2, 5)$, $(2, 4) \to (3, 7)$: suma 1 a cada $x$ y 3 a cada $y$ = Puntos $(1, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$

Mueve la asíntota: La asíntota $y = 0$ sube 3 unidades; la traslación horizontal no la cambia = Asíntota $y = 3$

Halla la ordenada en el origen: Sustituye $x = 0$: $2^{0-1} + 3 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$ = Ordenada en el origen 3,5, punto $(0; 3{,}5)$

Indica dominio y recorrido: $a > 0$, así que la gráfica queda por encima de $y = 3$ = Dominio todos los reales, recorrido $y > 3$

Answer: La gráfica es $y = 2^x$ trasladada 1 a la derecha y 3 hacia arriba: pasa por $(0; 3{,}5)$, $(1, 4)$, $(2, 5)$ y $(3, 7)$, tiene asíntota $y = 3$, dominio todos los reales y recorrido $y > 3$.

Una gráfica reflejada por debajo de su asíntota

Haz una tabla de valores de $y = -2^x + 4$ desde $x = -2$ hasta $x = 3$. Describe la gráfica y halla dónde corta el eje de abscisas.

Lee bien la expresión: $-2^x$ significa $-(2^x)$: primero se calcula $2^x$ y luego se cambia el signo. Así que $a = -1$, $b = 2$, $k = 4$ = Reflexión de $y = 2^x$ respecto al eje de abscisas y luego 4 hacia arriba

Calcula los valores: $x = -2$: $-0{,}25 + 4 = 3{,}75$; $x = -1$: $-0{,}5 + 4 = 3{,}5$; $x = 0$: $-1 + 4 = 3$; $x = 1$: $-2 + 4 = 2$; $x = 2$: $-4 + 4 = 0$; $x = 3$: $-8 + 4 = -4$ = Puntos $(-2; 3{,}75)$, $(-1; 3{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 0)$, $(3, -4)$

Halla la asíntota y el recorrido: Muy a la izquierda, $2^x$ está muy cerca de 0, así que $y$ se acerca a 4 por debajo = Asíntota $y = 4$, recorrido $y < 4$

Halla el corte con el eje de abscisas: $-2^x + 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ = Punto de corte $(2, 0)$

Answer: La gráfica baja desde justo debajo de $y = 4$ por la izquierda, pasa por $(0, 3)$ y $(2, 0)$ y cae con fuerza hasta $(3, -4)$. Asíntota $y = 4$, dominio todos los reales, recorrido $y < 4$, corte con el eje de abscisas $(2, 0)$, ordenada en el origen 3.

Hallar la ecuación a partir de dos puntos

La gráfica de $y = a \cdot b^x$ pasa por $(1, 6)$ y $(3, 24)$. Halla $a$ y $b$, y después la ordenada en el origen.

Escribe una ecuación para cada punto: $a \cdot b^1 = 6$ y $a \cdot b^3 = 24$ = Dos ecuaciones con $a$ y $b$

Divide la segunda ecuación entre la primera: $\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = \frac{24}{6} \Rightarrow b^2 = 4$ = $b = 2$ (la base tiene que ser positiva)

Sustituye $b$ para hallar $a$: $a \cdot 2 = 6 \Rightarrow a = 3$ = $a = 3$

Escribe la ecuación y compruébala: $y = 3 \cdot 2^x$; comprobación con $(3, 24)$: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ = Ordenada en el origen 3, punto $(0, 3)$

Answer: $y = 3 \cdot 2^x$, así que $a = 3$, $b = 2$ y la gráfica corta el eje de ordenadas en $(0, 3)$. Con los puntos $(0, 3)$ y $(1, 6)$ es todavía más rápido: $a$ es el valor de $y$ en $x = 0$, y $b = 6 \div 3 = 2$.

Mistake: Dejar la asíntota en $y = 0$ después de una traslación vertical, por ejemplo en $y = 2^x + 3$

Why: Sumar $k$ sube cada punto $k$ unidades, también el nivel al que se acerca la curva. La gráfica de $y = 2^x + 3$ nunca baja de 3.

Correct: Para $y = a \cdot b^{x-h} + k$ la asíntota es $y = k$. Para $y = 2^x + 3$ es $y = 3$ y el recorrido es $y > 3$.

Mistake: Trasladar en el sentido equivocado: creer que $y = 2^{x-3}$ mueve la gráfica 3 unidades a la izquierda

Why: Con $x - 3$ necesitas un $x$ más grande para obtener el mismo exponente que antes. El punto $(0, 1)$ de $y = 2^x$ está ahora en $(3, 1)$.

Correct: $x - h$ traslada $h$ a la derecha, $x + h$ traslada $h$ a la izquierda. $y = 2^{x-3}$ va 3 a la derecha, $y = 2^{x+3}$ va 3 a la izquierda.

Mistake: Tomar $a$ (o $a + k$) como ordenada en el origen cuando la gráfica también está trasladada horizontalmente

Why: La ordenada en el origen es $a$ solo para $y = a \cdot b^x$. Después de una traslación horizontal, el exponente en $x = 0$ ya no es 0.

Correct: Sustituye siempre $x = 0$. Para $y = 2^{x-1} + 3$: $2^{-1} + 3 = 3{,}5$, ni 1 ni 4.

Mistake: Tratar $-2^x$ como $(-2)^x$

Why: Las potencias se calculan antes que el signo menos, así que $-2^x = -(2^x)$. La base es 2, no $-2$, y $(-2)^x$ ni siquiera es una función exponencial.

Correct: $-2^x$ es la gráfica de $2^x$ reflejada respecto al eje de abscisas: en $x = 2$ da $-4$, mientras que $(-2)^2 = 4$.

Leer datos de laboratorio en una gráfica

Los biólogos representan el número de células frente al tiempo. Si los puntos están sobre una curva exponencial, dos medidas bastan para escribir el modelo y predecir cantidades posteriores.

Un cultivo con 100 células al principio y 200 células una hora después sigue $y = 100 \cdot 2^x$, así que a las 4 horas la curva está en $100 \cdot 16 = 1600$ células.

Visualizaciones de un vídeo con un nivel base

Algunas cantidades tienen una parte que crece exponencialmente sobre una parte constante. La parte constante es la traslación vertical $k$, y en la gráfica es la asíntota.

Un vídeo recibe cada día 100 visualizaciones fijas desde el buscador, más una parte compartida que se duplica cada día: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$. Si retrocedemos en el tiempo, la parte compartida tiende a 0, así que la gráfica se acerca a $V = 100$.

Doblar una hoja de papel

Cada doblez duplica el grosor de una hoja, así que el grosor tras $n$ dobleces es una función exponencial cuya gráfica sube cada vez más deprisa.

Una hoja de 0,1 mm de grosor tiene un grosor $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Tras 7 dobleces son $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

Q: ¿Una gráfica exponencial llega a tocar su asíntota?

A: No. En $y = a \cdot b^x + k$, el término $a \cdot b^x$ nunca es 0, así que $y$ nunca es igual a $k$. La curva se acerca tanto como quieras, por eso el recorrido es $y > k$ o $y < k$ y nunca incluye $k$.

Q: ¿Cuántos puntos necesito para esbozar la gráfica?

A: Con cuatro o cinco basta: el corte con el eje de ordenadas, uno o dos puntos a cada lado y la asíntota. Una tabla desde $x = -2$ hasta $x = 3$ muestra tanto el lado plano como el lado empinado.

Q: ¿Por qué $y = 2^x$ e $y = (0{,}5)^x$ parecen imágenes reflejadas?

A: Porque $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. El valor de $(0{,}5)^x$ en $x = 3$ es igual al valor de $2^x$ en $x = -3$, así que cada punto $(x, y)$ de una gráfica tiene su pareja $(-x, y)$ en la otra.

Q: ¿Una traslación horizontal cambia la asíntota?

A: No. Trasladar a la izquierda o a la derecha desliza la curva a lo largo de la asíntota, que sigue en $y = k$. Solo la traslación vertical $k$ mueve la asíntota. Eso sí, una traslación horizontal cambia la ordenada en el origen.