¿Cuántos puntos necesito para esbozar la gráfica?

Con cuatro o cinco basta: el corte con el eje de ordenadas, uno o dos puntos a cada lado y la asíntota. Una tabla desde $x = -2$ hasta $x = 3$ muestra tanto el lado plano como el lado empinado.

¿Por qué $y = 2^x$ e $y = (0{,}5)^x$ parecen imágenes reflejadas?

Porque $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. El valor de $(0{,}5)^x$ en $x = 3$ es igual al valor de $2^x$ en $x = -3$, así que cada punto $(x, y)$ de una gráfica tiene su pareja $(-x, y)$ en la otra.

¿Una traslación horizontal cambia la asíntota?

No. Trasladar a la izquierda o a la derecha desliza la curva a lo largo de la asíntota, que sigue en $y = k$. Solo la traslación vertical $k$ mueve la asíntota. Eso sí, una traslación horizontal cambia la ordenada en el origen.

Recursos para profesores

Gráficas de funciones exponenciales

Q: ¿Una gráfica exponencial llega a tocar su asíntota?

No. En $y = a \cdot b^x + k$, el término $a \cdot b^x$ nunca es 0, así que $y$ nunca es igual a $k$. La curva se acerca tanto como quieras, por eso el recorrido es $y > k$ o $y < k$ y nunca incluye $k$.

Dibuja y = a·b^x a partir de una tabla de valores, lee la ordenada en el origen y la asíntota, y observa cómo traslaciones, reflexiones y estiramientos mueven la gráfica.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

Para representar una función exponencial

f(x) = a \cdot b^x

(con

b > 0

b \neq 1

), haz una tabla de valores, dibuja los puntos y únelos con una curva suave que se acerca a una asíntota horizontal.

Las dos formas básicas (aquí con

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Si $b > 1$ , la gráfica sube de izquierda a derecha: casi plana junto al eje de abscisas a la izquierda, cada vez más empinada a la derecha.
Si $0 < b < 1$ , la gráfica baja de izquierda a derecha: empinada a la izquierda, casi plana junto al eje de abscisas a la derecha.

**Características de

y = a \cdot b^x

:**

Ordenada en el origen: $a$ , la gráfica pasa por $(0, a)$ porque $b^0 = 1$
Asíntota horizontal: $y = 0$ (el eje de abscisas); la curva se acerca cada vez más pero nunca la toca
Dominio: todos los números reales
Recorrido: $y > 0$ si $a > 0$ , e $y < 0$ si $a < 0$

Transformaciones:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ traslada la gráfica $h$ unidades a la derecha (a la izquierda si $h$ es negativo)
$k$ traslada la gráfica $k$ unidades hacia arriba (hacia abajo si $k$ es negativo) y mueve la asíntota a $y = k$
$a < 0$ refleja la gráfica respecto al eje de abscisas (antes de la traslación), así que queda por debajo de su asíntota
un factor $a$ con $\lvert a \rvert > 1$ estira la gráfica verticalmente, y con $0 < \lvert a \rvert < 1$ la comprime
Recorrido de la gráfica transformada: $y > k$ si $a > 0$ , e $y < k$ si $a < 0$

Pruébalo ahora

¿Cuál es la asíntota horizontal de

y = 2^x - 7

? Escribe el número

k

y = k

Ejemplos resueltos

Representa $y = 3 \cdot 2^x$ para $x = -2$ hasta $x = 3$ . Indica la ordenada en el origen, la asíntota, el dominio y el recorrido.

Calcula los valores para $x$ negativos

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ y $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Puntos $(-2; 0{,}75)$ y $(-1; 1{,}5)$

Calcula los valores para $x = 0$ hasta $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Puntos $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Dibuja los puntos y únelos

Cada paso a la derecha duplica $y$ ; cada paso a la izquierda lo reduce a la mitad → Una curva creciente, plana a la izquierda y empinada a la derecha

Lee las características

$a = 3$ da la ordenada en el origen; no se suma nada, así que $k = 0$ → Ordenada en el origen 3, punto $(0, 3)$ , asíntota $y = 0$ , dominio todos los reales, recorrido $y > 0$

Respuesta: La gráfica pasa por $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Sube de izquierda a derecha, corta el eje de ordenadas en $(0, 3)$ , se acerca a la asíntota $y = 0$ por la izquierda, tiene dominio todos los reales y recorrido $y > 0$ .

Errores comunes

Dejar la asíntota en $y = 0$ después de una traslación vertical, por ejemplo en $y = 2^x + 3$

Por qué está mal: Sumar $k$ sube cada punto $k$ unidades, también el nivel al que se acerca la curva. La gráfica de $y = 2^x + 3$ nunca baja de 3.

Correcto: Para $y = a \cdot b^{x-h} + k$ la asíntota es $y = k$ . Para $y = 2^x + 3$ es $y = 3$ y el recorrido es $y > 3$ .

Trasladar en el sentido equivocado: creer que $y = 2^{x-3}$ mueve la gráfica 3 unidades a la izquierda

Por qué está mal: Con $x - 3$ necesitas un $x$ más grande para obtener el mismo exponente que antes. El punto $(0, 1)$ de $y = 2^x$ está ahora en $(3, 1)$ .

Correcto: $x - h$ traslada $h$ a la derecha, $x + h$ traslada $h$ a la izquierda. $y = 2^{x-3}$ va 3 a la derecha, $y = 2^{x+3}$ va 3 a la izquierda.

Tomar $a$ (o $a + k$ ) como ordenada en el origen cuando la gráfica también está trasladada horizontalmente

Por qué está mal: La ordenada en el origen es $a$ solo para $y = a \cdot b^x$ . Después de una traslación horizontal, el exponente en $x = 0$ ya no es 0.

Correcto: Sustituye siempre $x = 0$ . Para $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , ni 1 ni 4.

Tratar $-2^x$ como $(-2)^x$

Por qué está mal: Las potencias se calculan antes que el signo menos, así que $-2^x = -(2^x)$ . La base es 2, no $-2$ , y $(-2)^x$ ni siquiera es una función exponencial.

Correcto: $-2^x$ es la gráfica de $2^x$ reflejada respecto al eje de abscisas: en $x = 2$ da $-4$ , mientras que $(-2)^2 = 4$ .

Visual interactivo

Gráfica de la función

a = 3b = 2h = 0k = 0

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = a·b^(x − h) + kAsíntota

Tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2	3
y	0,75	1,5	3	6	12	24

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	-2	-1	0	1	2	3
2^x	0,25	0,5	1	2	4	8
0,5^x	4	2	1	0,5	0,25	0,125

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿En qué punto corta la gráfica de $y = 5 \cdot 3^x$ el eje de ordenadas?

Por qué es importante

Una gráfica muestra de un vistazo lo que una fórmula esconde. Cuando sabes esbozar una gráfica exponencial, puedes:

Reconocer datos exponenciales: cuando una gráfica de seguidores, células o ahorros se curva hacia arriba cada vez más rápido, una tabla de valores te dice si de verdad se multiplica por el mismo factor en cada paso.
Leer el valor inicial y el suelo: la ordenada en el origen es donde empieza la cantidad, y la asíntota $y = k$ es el nivel al que se acerca sin cruzarlo nunca, por ejemplo una base que siempre está ahí.
Comprobar un modelo rápidamente: un esbozo te dice enseguida si una fórmula sube o baja, dónde corta los ejes y qué valores son imposibles (fuera del recorrido).
Construir un modelo a partir de datos: dos puntos como $(0, 3)$ y $(1, 6)$ bastan para hallar $a$ y $b$ y predecir los valores siguientes.

Estas habilidades vuelven a aparecer más adelante en este tema: decrecimiento, período de semidesintegración, crecimiento continuo y ecuaciones exponenciales, y después en los logaritmos.

Aplicaciones del mundo real

Leer datos de laboratorio en una gráfica

Los biólogos representan el número de células frente al tiempo. Si los puntos están sobre una curva exponencial, dos medidas bastan para escribir el modelo y predecir cantidades posteriores.

Ejemplo:

Un cultivo con 100 células al principio y 200 células una hora después sigue $y = 100 \cdot 2^x$ , así que a las 4 horas la curva está en $100 \cdot 16 = 1600$ células.

1Inténtalo tú mismo

Un cultivo celular tiene 200 células en $x = 0$ horas y 600 células en $x = 1$ hora, y la gráfica es exponencial: $y = a \cdot b^x$ .

¿Cuántas células predice el modelo en $x = 3$ horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla $a$ y $b$ , y luego calcula $a \cdot b^3$ :

Visualizaciones de un vídeo con un nivel base

Algunas cantidades tienen una parte que crece exponencialmente sobre una parte constante. La parte constante es la traslación vertical $k$, y en la gráfica es la asíntota.

Ejemplo:

Un vídeo recibe cada día 100 visualizaciones fijas desde el buscador, más una parte compartida que se duplica cada día: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Si retrocedemos en el tiempo, la parte compartida tiende a 0, así que la gráfica se acerca a $V = 100$ .

2Inténtalo tú mismo

Las visualizaciones diarias siguen $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , donde $t$ es el número de días desde que se compartió el vídeo.

¿Cuántas visualizaciones recibe el vídeo el día $t = 4$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Doblar una hoja de papel

Cada doblez duplica el grosor de una hoja, así que el grosor tras $n$ dobleces es una función exponencial cuya gráfica sube cada vez más deprisa.

Ejemplo:

Una hoja de 0,1 mm de grosor tiene un grosor $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Tras 7 dobleces son $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Inténtalo tú mismo

Una hoja de papel mide 0,1 mm de grosor, y su grosor tras $n$ dobleces es $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

¿Tras cuántos dobleces supera la pila 1 mm por primera vez?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Haz una tabla de $0{,}1 \cdot 2^n$ y busca el primer valor mayor que 1:

Puntos clave

1Para representar $y = a \cdot b^x$ , haz una tabla de valores (por ejemplo $x = -2$ hasta $3$ ), dibuja los puntos y únelos con una curva suave
2Si $b > 1$ la gráfica sube de izquierda a derecha; si $0 < b < 1$ baja; $y = b^x$ e $y = (1/b)^x$ son simétricas respecto al eje de ordenadas
3Para $y = a \cdot b^x$ : ordenada en el origen $a$ , asíntota $y = 0$ , dominio todos los reales, recorrido $y > 0$ si $a > 0$
4En $y = a \cdot b^{x-h} + k$ : $h$ traslada a la derecha, $k$ hacia arriba y lleva la asíntota a $y = k$ , y $a < 0$ pone la gráfica por debajo de la asíntota
5Después de una traslación, halla la ordenada en el origen sustituyendo $x = 0$ ; el recorrido es $y > k$ o $y < k$
6Dos puntos dan la ecuación: $a$ es el valor en $x = 0$ , y el cociente de las ordenadas da una potencia de $b$

Preguntas frecuentes

No. En

y = a \cdot b^x + k

, el término

a \cdot b^x

nunca es 0, así que

y

nunca es igual a

k

. La curva se acerca tanto como quieras, por eso el recorrido es

y > k

y < k

y nunca incluye

k

Glosario

Tabla de valores: Una lista de valores de $x$ elegidos con sus valores de $y$ correspondientes, que se usa para dibujar puntos de una gráfica
Asíntota horizontal: Una recta horizontal $y = k$ a la que la gráfica se acerca cada vez más sin llegar nunca a ella
Ordenada en el origen: El valor de $y$ donde la gráfica corta el eje de ordenadas; se halla sustituyendo $x = 0$
Dominio: Todos los valores de $x$ para los que la función está definida; en toda función exponencial son todos los números reales
Recorrido: Todos los valores de $y$ que alcanza la función; para $y = a \cdot b^x + k$ es $y > k$ (si $a > 0$ ) o $y < k$ (si $a < 0$ )
Transformación: Una traslación, reflexión o estiramiento que mueve o deforma una gráfica, descrita por $h$ , $k$ y $a$ en $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Tarjeta de fórmulas

Función exponencial

y = a \cdot b^x

Pasa por $(0, a)$, asíntota $y = 0$, creciente si $b > 1$, decreciente si $0 < b < 1$

Forma transformada

y = a \cdot b^{x-h} + k

Traslación $h$ a la derecha y $k$ hacia arriba; asíntota $y = k$; recorrido $y > k$ si $a > 0$, $y < k$ si $a < 0$

Imagen reflejada

(1/b)^x = b^{-x}

Las gráficas de $b^x$ y $(1/b)^x$ son simétricas respecto al eje de ordenadas

Base a partir de dos puntos

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Divide las ordenadas de dos puntos de $y = a \cdot b^x$ para obtener una potencia de $b$

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