Contar períodos

Una muestra de laboratorio contiene $80$ mg de una sustancia con un período de semidesintegración de $4$ horas. ¿Cuánto queda después de $12$ horas?

Halla el número de períodos: $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ = 3 períodos

Escribe la fórmula: $N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = Fórmula planteada

Calcula la potencia: $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ = Queda $\frac{1}{8}$ de la muestra

Multiplica: $80 \times \frac{1}{8} = 10$ (o divide entre dos tres veces: $80 \to 40 \to 20 \to 10$) = $10$ mg

Answer: Después de 12 horas quedan **10 mg** de la sustancia.

Yodo 131 en un hospital

El yodo 131 tiene un período de semidesintegración de $8$ días. Un hospital tiene $200$ mg. ¿Cuánto queda después de $40$ días y qué porcentaje es?

Halla el número de períodos: $\frac{40}{8} = 5$ = 5 períodos

Halla la fracción restante: $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32}$

Halla la cantidad: $200 \times \frac{1}{32} = 6{,}25$ = $6{,}25$ mg

Escríbelo como porcentaje: $\frac{1}{32} = 0{,}03125 = 3{,}125\,\%$ = $3{,}125\,\%$

Answer: Después de 40 días quedan **6,25 mg**, que es el **3,125 %** de la cantidad inicial.

¿Qué edad tiene el hueso? (carbono 14)

Un hueso contiene $\frac{1}{8}$ del carbono 14 que tenía cuando el animal estaba vivo. El período de semidesintegración del carbono 14 es de $5730$ años. ¿Qué edad tiene el hueso?

Escribe la fracción como potencia de $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $n = 3$

Interpreta el exponente: El exponente es el número de períodos: $\frac{t}{5730} = 3$ = Han pasado 3 períodos

Halla el tiempo: $t = 3 \times 5730 = 17190$ = $17190$ años

Answer: El hueso tiene unos **17190 años**.

Hallar el período a partir de datos

Una muestra de $96$ g se reduce a $12$ g en $15$ horas. ¿Cuál es su período de semidesintegración?

Halla cuántas veces más pequeña es la muestra: $\frac{96}{12} = 8$ = La muestra es 8 veces más pequeña

Escribe 8 como potencia de 2: $8 = 2^3$, así que $96 \to 48 \to 24 \to 12$ = 3 períodos

Divide el tiempo entre el número de períodos: $T = \frac{15}{3} = 5$ = $T = 5$ horas

Comprueba: $96 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 96 \times \frac{1}{8} = 12$ ✓ = Correcto

Answer: El período de semidesintegración es de **5 horas**.

Un medicamento entre dos períodos

Un paciente toma $400$ mg de un medicamento con una vida media de $6$ horas. ¿Cuánto queda en la sangre después de $9$ horas? Usa $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ y redondea a una cifra decimal.

Halla el número de períodos: $\frac{9}{6} = 1{,}5$ = 1,5 períodos (no es un número entero)

Escribe la fórmula: $N(9) = 400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$ = Fórmula planteada

Usa la potencia dada: $400 \times 0{,}3536 = 141{,}44$ = $\approx 141{,}4$ mg

Comprueba que el resultado tiene sentido: A las 6 horas hay $200$ mg y a las 12 horas $100$ mg. $141{,}4$ está entre ambos ✓ = Razonable

Answer: Después de 9 horas quedan unos **141,4 mg** del medicamento en la sangre.

Mistake: Dividir entre dos cada hora (o día, o año) en vez de una vez por período

Why: Con un período de 4 horas, algunos alumnos calculan $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ tras 12 horas. Pero la cantidad solo se reduce a la mitad cada 4 horas, no cada hora.

Correct: El exponente es el número de períodos $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$, así que el resultado es $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$.

Mistake: Restar la mitad de la cantidad INICIAL en cada período

Why: Calcular $100 \to 50 \to 0$ trata el decrecimiento como lineal. Cada período quita la mitad de lo que queda AHORA, no la mitad de la cantidad inicial.

Correct: Divide entre dos la cantidad actual cada vez: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$. Una muestra nunca llega exactamente a cero.

Mistake: Usar el denominador como número de períodos

Why: Si queda $\frac{1}{8}$, algunos alumnos dicen que han pasado 8 períodos. Pero tras 8 períodos solo quedaría $\frac{1}{256}$.

Correct: Escribe el denominador como potencia de 2: $8 = 2^3$, así que han pasado 3 períodos.

Mistake: Confundir la fracción que queda con la fracción desintegrada

Why: Tras 3 períodos queda $\frac{1}{8}$, así que se han desintegrado $\frac{7}{8}$. La pregunta puede pedir cualquiera de las dos.

Correct: Lee bien la pregunta: fracción desintegrada $= 1 -$ fracción restante. Tras 3 períodos: queda el $12{,}5\,\%$ y se ha desintegrado el $87{,}5\,\%$.

Datación por carbono 14

Los seres vivos absorben carbono 14. Al morir, se desintegra con un período de 5730 años, así que la fracción que queda revela la edad de huesos, madera y carbón vegetal.

Un trozo de madera con $\frac{1}{4}$ de su carbono 14 original tiene $2 \times 5730 = 11460$ años.

Medicamentos en la sangre

Los médicos usan la vida media de un medicamento para decidir cuándo dar la siguiente dosis, de modo que la cantidad en el cuerpo sea segura y eficaz.

De una dosis de $400$ mg con una vida media de $6$ horas quedan $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg tras $12$ horas.

Tratamiento con yodo 131

El yodo 131 se usa para tratar enfermedades de la tiroides. Su período de 8 días indica al hospital lo rápido que baja la radiación y cuándo se pueden almacenar o eliminar los restos con seguridad.

$100$ mg de yodo 131 se convierten en $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg tras $16$ días.

Q: ¿Llega a desaparecer por completo una sustancia?

A: Matemáticamente, no: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ nunca es cero. En la práctica, tras unos 10 períodos queda menos del $0{,}1\,\%$ ($\frac{1}{1024}$), y eso se suele considerar desaparecido.

Q: ¿Por qué el exponente es $\frac{t}{T}$ y no simplemente $t$?

A: El factor $\frac{1}{2}$ se aplica una vez por período, no una vez por unidad de tiempo. Al dividir el tiempo $t$ entre el período $T$ cuentas cuántos períodos han pasado.

Q: ¿Y si el tiempo no es un número entero de períodos?

A: La fórmula sigue funcionando, por ejemplo $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Usa una calculadora (escribe 400 × 0.5^1.5) o un valor dado como $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Hallar un tiempo desconocido en ese caso requiere logaritmos, que verás en una lección posterior.

Q: ¿Qué relación hay entre el período de semidesintegración y la tasa de decrecimiento?

A: En la lección de decrecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por $b = 1 - r$ en cada unidad de tiempo. El período de semidesintegración usa la misma idea, pero elige la unidad de tiempo para que el factor sea exactamente $\frac{1}{2}$, lo que facilita mucho el cálculo mental.