¿Por qué el exponente es $\frac{t}{T}$ y no simplemente $t$?

El factor $\frac{1}{2}$ se aplica una vez por período, no una vez por unidad de tiempo. Al dividir el tiempo $t$ entre el período $T$ cuentas cuántos períodos han pasado.

¿Y si el tiempo no es un número entero de períodos?

La fórmula sigue funcionando, por ejemplo $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Usa una calculadora (escribe 400 × 0.5^1.5) o un valor dado como $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Hallar un tiempo desconocido en ese caso requiere logaritmos, que verás en una lección posterior.

¿Qué relación hay entre el período de semidesintegración y la tasa de decrecimiento?

En la lección de decrecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por $b = 1 - r$ en cada unidad de tiempo. El período de semidesintegración usa la misma idea, pero elige la unidad de tiempo para que el factor sea exactamente $\frac{1}{2}$, lo que facilita mucho el cálculo mental.

Recursos para profesores

Problemas de período de semidesintegración

Q: ¿Llega a desaparecer por completo una sustancia?

Matemáticamente, no: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ nunca es cero. En la práctica, tras unos 10 períodos queda menos del $0{,}1\,\%$ ($\frac{1}{1024}$), y eso se suele considerar desaparecido.

Aprende a usar el período de semidesintegración para hallar cuánto queda de una sustancia, cuánto tiempo ha pasado y cuánto dura un período.

Avanzado25 minLección

Ficha imprimible

Definición

El período de semidesintegración

T

(también llamado vida media en muchos libros) de una sustancia es el tiempo que tarda en desaparecer la mitad de ella (desintegrarse, descomponerse o salir del cuerpo). Después de cada período, la cantidad se multiplica por

\frac{1}{2}

N_0

es la cantidad inicial, la cantidad que queda tras un tiempo

t

es:

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

donde:

$N_0$ = valor inicial (en $t = 0$ )
$T$ = período de semidesintegración (misma unidad de tiempo que $t$ )
$\frac{t}{T}$ = el número de períodos que han pasado

Tras

n

períodos completos, queda

\frac{N_0}{2^n}

Períodos	0	1	2	3	4	5
Fracción restante	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Porcentaje restante	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

Es un decrecimiento exponencial con factor de decrecimiento

\frac{1}{2}

por período: la cantidad es cada vez más pequeña, pero nunca llega exactamente a cero.

Pruébalo ahora

Una sustancia tiene un período de semidesintegración de

10

años. ¿Qué fracción queda después de

2

períodos?

Ejemplos resueltos

Una muestra de laboratorio contiene $80$ mg de una sustancia con un período de semidesintegración de $4$ horas. ¿Cuánto queda después de $12$ horas?

Halla el número de períodos

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 períodos

Escribe la fórmula

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Fórmula planteada

Calcula la potencia

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → Queda $\frac{1}{8}$ de la muestra

Multiplica

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (o divide entre dos tres veces: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Respuesta: Después de 12 horas quedan 10 mg de la sustancia.

Errores comunes

Dividir entre dos cada hora (o día, o año) en vez de una vez por período

Por qué está mal: Con un período de 4 horas, algunos alumnos calculan $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ tras 12 horas. Pero la cantidad solo se reduce a la mitad cada 4 horas, no cada hora.

Correcto: El exponente es el número de períodos $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , así que el resultado es $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Restar la mitad de la cantidad INICIAL en cada período

Por qué está mal: Calcular $100 \to 50 \to 0$ trata el decrecimiento como lineal. Cada período quita la mitad de lo que queda AHORA, no la mitad de la cantidad inicial.

Correcto: Divide entre dos la cantidad actual cada vez: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Una muestra nunca llega exactamente a cero.

Usar el denominador como número de períodos

Por qué está mal: Si queda $\frac{1}{8}$ , algunos alumnos dicen que han pasado 8 períodos. Pero tras 8 períodos solo quedaría $\frac{1}{256}$ .

Correcto: Escribe el denominador como potencia de 2: $8 = 2^3$ , así que han pasado 3 períodos.

Confundir la fracción que queda con la fracción desintegrada

Por qué está mal: Tras 3 períodos queda $\frac{1}{8}$ , así que se han desintegrado $\frac{7}{8}$ . La pregunta puede pedir cualquiera de las dos.

Correcto: Lee bien la pregunta: fracción desintegrada $= 1 -$ fracción restante. Tras 3 períodos: queda el $12{,}5\,\%$ y se ha desintegrado el $87{,}5\,\%$ .

Visual interactivo

Explorador de sucesiones

Primer término (a₁ = 64)

Razón común (r = 0,5)

64,

32,

16,

, ...

Fórmula

a_n = 64 × 0,5^(n-1)

a_1

a_5

a_10

0,125

a_20

0,000122

Gráfica de la función

N = 80T = 4

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

N(t) = N₀·(1/2)^(t/T)Asíntota

Tabla de valores

t	0	4	8	12	16
y	80	40	20	10	5

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

Una sustancia tiene un período de semidesintegración de $10$ años. ¿Qué fracción queda después de $2$ períodos?

Problemas de práctica: Problemas de período de semidesintegración

1. Una sustancia tiene un período de semidesintegración de 10 años. ¿Qué fracción queda después de 2 períodos?
2. Una muestra de 60 g tiene un período de semidesintegración de 5 días. ¿Cuántos gramos quedan después de 5 días?
3. Una muestra empieza con 50 mg y tiene un período de semidesintegración de 3 horas. ¿Qué función da la cantidad N(t) después de t horas?
4. Una muestra de medicamento tiene 320 mg y una vida media de 2 horas. ¿Cuántos mg quedan después de 6 horas?
5. El yodo 131 tiene un período de semidesintegración de 8 días. ¿Cuántos períodos pasan en 24 días?
6. ¿Qué porcentaje de una muestra radiactiva queda después de 3 períodos? (Da el porcentaje como número, por ejemplo 50 para 50 %.)
7. De una muestra queda 1/16 de la cantidad inicial. ¿Cuántos períodos han pasado?
8. Una herramienta de madera contiene 1/4 de su carbono 14 original. El período de semidesintegración del carbono 14 es de 5730 años. ¿Cuántos años tiene la herramienta?
9. Una muestra de 240 g se reduce a 30 g en 18 horas. ¿Cuántas horas dura su período de semidesintegración?
10. Un hospital tiene 500 mg de yodo 131 (período de 8 días). ¿Cuántos mg quedan después de 40 días?
11. Un alumno dice: una muestra de 100 g pierde 50 g en cada período, así que después de 2 períodos no queda nada. ¿Cuánto queda realmente después de 2 períodos?
12. Un paciente toma 800 mg de un medicamento con una vida media de 5 horas. ¿Cuántos mg quedan después de 20 horas?
13. Una sustancia tiene un período de semidesintegración de 3 días. ¿Después de cuántos días queda solo 1/32?
14. ¿Qué porcentaje de una muestra radiactiva se ha desintegrado (ha desaparecido) después de 3 períodos?
15. Un paciente toma 800 mg de un medicamento con una vida media de 4 horas. ¿Cuántos mg quedan después de 6 horas? Usa \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536 y redondea al mg más cercano.
16. Un fósil contiene 1/64 de su carbono 14 original. El período de semidesintegración del carbono 14 es de 5730 años. ¿Cuántos años tiene el fósil?
17. Una muestra de 2000 g se reduce a 250 g en 21 días. Halla el período de semidesintegración y luego cuántos gramos quedan después de 35 días (desde el principio).
18. Un paciente toma 300 mg de un medicamento con una vida media de 4 horas. El medicamento se considera eliminado cuando quedan menos de 10 mg. ¿Después de cuántas horas (un número entero de períodos) ocurre eso por primera vez?

Por qué es importante

Con el período de semidesintegración, científicos, médicos e ingenieros miden lo rápido que desaparece algo:

Arqueología: el carbono 14 tiene un período de semidesintegración de $5730$ años, así que el carbono que queda en huesos y madera revela su edad
Medicina: la vida media de un medicamento indica a los médicos cuándo dar la siguiente dosis
Hospitales: el yodo 131, que se usa para tratar enfermedades de la tiroides, tiene un período de $8$ días, y así el personal sabe cuándo un paciente puede volver a casa sin riesgo
Energía y seguridad: los residuos nucleares deben almacenarse hasta que pasen suficientes períodos

La buena noticia: cuando el tiempo es un número entero de períodos, puedes resolver estos problemas dividiendo entre dos, sin herramientas avanzadas.

Aplicaciones del mundo real

Datación por carbono 14

Los seres vivos absorben carbono 14. Al morir, se desintegra con un período de 5730 años, así que la fracción que queda revela la edad de huesos, madera y carbón vegetal.

Ejemplo:

Un trozo de madera con $\frac{1}{4}$ de su carbono 14 original tiene $2 \times 5730 = 11460$ años.

1Inténtalo tú mismo

El carbón de una antigua hoguera contiene $\frac{1}{16}$ de su carbono 14 original. El período de semidesintegración del carbono 14 es de $5730$ años.

¿Qué edad tiene el carbón?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla el número de períodos y luego multiplica por $5730$ :

Medicamentos en la sangre

Los médicos usan la vida media de un medicamento para decidir cuándo dar la siguiente dosis, de modo que la cantidad en el cuerpo sea segura y eficaz.

Ejemplo:

De una dosis de $400$ mg con una vida media de $6$ horas quedan $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg tras $12$ horas.

2Inténtalo tú mismo

Un paciente toma $600$ mg de un medicamento con una vida media de $4$ horas.

¿Cuántos mg quedan después de $16$ horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Tratamiento con yodo 131

El yodo 131 se usa para tratar enfermedades de la tiroides. Su período de 8 días indica al hospital lo rápido que baja la radiación y cuándo se pueden almacenar o eliminar los restos con seguridad.

Ejemplo:

$100$ mg de yodo 131 se convierten en $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg tras $16$ días.

3Inténtalo tú mismo

Un hospital almacena $160$ mg de yodo 131 (período de $8$ días).

¿Cuántos mg quedan después de $24$ días?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Puntos clave

1El período de semidesintegración $T$ es el tiempo que tarda en desaparecer la mitad de una sustancia
2La cantidad que queda es $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , donde $\frac{t}{T}$ es el número de períodos
3Tras $n$ períodos, la fracción que queda es $\frac{1}{2^n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Para hallar el tiempo transcurrido, escribe la fracción restante como $\frac{1}{2^n}$ y multiplica $n$ por el período
5Para hallar el período, cuenta cuántas veces se divide entre dos la cantidad en los datos y divide el tiempo entre ese número
6Cada período quita la mitad de lo que queda en ese momento, así que la cantidad nunca llega exactamente a cero

Preguntas frecuentes

Matemáticamente, no:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

nunca es cero. En la práctica, tras unos 10 períodos queda menos del

0{,}1\,\%

(

\frac{1}{1024}

), y eso se suele considerar desaparecido.

Glosario

Período de semidesintegración (vida media): El tiempo $T$ que tarda en desintegrarse o desaparecer la mitad de una sustancia
Valor inicial: La cantidad $N_0$ al principio, cuando $t = 0$
Número de períodos: El cociente $\frac{t}{T}$ : cuántas veces se ha dividido entre dos la cantidad
Desintegración radiactiva: El proceso en el que átomos inestables se transforman en otros átomos, perdiendo una fracción fija en cada intervalo de tiempo igual
Datación por carbono 14: Un método que halla la edad de un material que estuvo vivo a partir de la fracción de carbono 14 que queda (período de $5730$ años)

Tarjeta de fórmulas

Fórmula del período de semidesintegración

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = valor inicial, $T$ = período de semidesintegración, $t$ = tiempo transcurrido (misma unidad que $T$).

Tras n períodos

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Divide entre 2 una vez por cada período. El tiempo transcurrido es $t = n \cdot T$.

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Fórmula

Gráfica de la función

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