Cómo (1 + 1/n)^n se acerca a e

Calcula $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ para $n = 1$, $n = 2$ y $n = 12$. ¿Qué observas?

Toma $n = 1$: $\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$ = $2$

Toma $n = 2$: $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ = $2{,}25$

Toma $n = 12$ (con la calculadora): $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$ = $\approx 2{,}61304$

Compara con valores de $n$ mayores: $n = 365$ da $\approx 2{,}71457$, $n = 1\,000\,000$ da $\approx 2{,}71828$ = Los valores crecen cada vez más despacio

Answer: Los resultados $2$, $2{,}25$, $2{,}61304$, ... siguen aumentando, pero se estabilizan cerca de $e \approx 2{,}71828$ y nunca lo superan.

Capitalizar cada vez más a menudo

Pones 1000 dólares en una cuenta imaginaria que paga un 100 % de interés al año. ¿Cuánto tienes después de un año si los intereses se añaden cada año, cada mes o cada día?

Usa la fórmula del interés compuesto: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ con $P = 1000$, $r = 1$ (100 %), $t = 1$ año = $A = 1000\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

Anual: $n = 1$: $1000 \cdot 2^1 = 2000$ = 2000 dólares

Mensual: $n = 12$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1000 \cdot 2{,}61304$ = unos 2613,04 dólares

Diaria: $n = 365$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 1000 \cdot 2{,}71457$ = unos 2714,57 dólares

Encuentra el límite: Añadir intereses en cada instante da $1000 \cdot e \approx 1000 \cdot 2{,}71828$ = unos 2718,28 dólares

Answer: Anual: 2000 dólares, mensual: unos 2613,04 dólares, diaria: unos 2714,57 dólares. Da igual con qué frecuencia se añadan los intereses: la cantidad nunca supera unos 2718,28 dólares, que es $1000 \cdot e$.

Evaluar la función exponencial natural

Sea $f(x) = e^x$. Usando $e \approx 2{,}71828$ y $e^2 \approx 7{,}389$, halla $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$ y $f(2)$. Redondea a tres decimales.

Halla $f(0)$: Cualquier número distinto de cero elevado a $0$ es $1$: $e^0 = 1$ = $f(0) = 1$

Halla $f(1)$: $e^1 = e \approx 2{,}71828$ = $f(1) \approx 2{,}718$

Halla $f(-1)$: $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}71828} \approx 0{,}36788$ = $f(-1) \approx 0{,}368$

Halla $f(2)$: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ = $f(2) \approx 7{,}389$

Answer: $f(0) = 1$, $f(1) \approx 2{,}718$, $f(-1) \approx 0{,}368$, $f(2) \approx 7{,}389$. Cada paso de $1$ hacia la derecha multiplica el valor por $e$.

¿Dónde queda y = e^x?

Compara $2^x$, $e^x$ y $3^x$ en $x = 2$ y en $x = -1$. Usa $e^2 \approx 7{,}389$ y $e^{-1} \approx 0{,}368$.

Evalúa en $x = 2$: $2^2 = 4$, $e^2 \approx 7{,}389$, $3^2 = 9$ = $4 < 7{,}389 < 9$

Evalúa en $x = -1$: $2^{-1} = 0{,}5$, $e^{-1} \approx 0{,}368$, $3^{-1} \approx 0{,}333$ = $0{,}333 < 0{,}368 < 0{,}5$

Evalúa en $x = 0$: $2^0 = e^0 = 3^0 = 1$ = Las tres se cortan en $(0, 1)$

Describe la gráfica: Como $2 < e < 3$, el valor de $e^x$ siempre queda entre los otros dos = La curva de $e^x$ queda entre $2^x$ y $3^x$

Answer: Para $x > 0$, $e^x$ está por encima de $2^x$ y por debajo de $3^x$; para $x < 0$ el orden se invierte, pero $e^x$ sigue en medio. Las tres curvas cortan el eje y en $1$ y tienen el eje x como asíntota horizontal.

Un primer vistazo a la capitalización continua

Se invierten 1000 dólares al 12 % anual durante un año. Compara la capitalización anual, mensual, diaria y continua. Para la capitalización continua usa $A = Pe^{rt}$ y $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$.

Anual: $1000 \cdot 1{,}12 = 1120$ = 1120,00 dólares

Mensual: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12} = 1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ = 1126,83 dólares

Diaria: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{365}\right)^{365} \approx 1127{,}47$ = 1127,47 dólares

Continua: $A = Pe^{rt} = 1000 \cdot e^{0{,}12 \cdot 1} \approx 1000 \cdot 1{,}1275$ = 1127,50 dólares

Answer: Las cantidades son 1120,00, 1126,83, 1127,47 y 1127,50 dólares. Capitalizar más a menudo ayuda, pero la ganancia se vuelve diminuta, y el tope es $Pe^{rt}$. La lección Crecimiento y decrecimiento continuos estudia esta fórmula en detalle.

Mistake: Pensar que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ crece sin límite, o que se reduce a $1$

Why: Hay dos efectos que compiten: $1 + \frac{1}{n}$ se acerca a $1$, pero el exponente $n$ se hace más grande. Ninguno de los dos gana del todo.

Correct: Compruébalo con una tabla: $2$, $2{,}25$, $2{,}613$, $2{,}7146$, $2{,}71828$. Los valores aumentan, pero se estabilizan en $e \approx 2{,}71828$.

Mistake: Tratar $e$ como una variable, igual que $x$

Why: En álgebra las letras suelen representar incógnitas, así que algunos alumnos intentan despejar $e$ o sustituirla por otros números.

Correct: $e$ es una constante fija, igual que $\pi$. En $y = e^x$ la variable es $x$; $e \approx 2{,}71828$ nunca cambia.

Mistake: Calcular $e^2$ como $2e \approx 5{,}437$

Why: Un exponente indica una multiplicación repetida, no una multiplicación por el exponente.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$.

Mistake: Escribir $e = 2{,}71828$ o $e = 2{,}72$ como si fuera exacto

Why: $e$ es irracional, así que ningún decimal finito ni ninguna fracción es exactamente igual a $e$.

Correct: Escribe $e \approx 2{,}71828$ y redondea solo al final del cálculo, con la precisión que pida el problema.

Bancos y frecuencia de capitalización

Los bancos anuncian una tasa anual, pero pueden añadir los intereses cada año, cada mes o cada día. Cuanto más a menudo se añaden, más se acerca el resultado al límite continuo basado en $e$.

Al 12 % anual, 1000 dólares se convierten en 1120,00 dólares con capitalización anual y en unos 1127,50 dólares con capitalización continua ($1000 \cdot e^{0{,}12}$).

Cultivos celulares en crecimiento

Las células de un cultivo de laboratorio se dividen en todo momento, no una vez al día, así que los biólogos describen su crecimiento con la base $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Un cultivo de 200 células modelado por $N = 200e^{t}$ ($t$ en horas) tiene $200e^{1} \approx 544$ células después de 1 hora.

El amigo invisible y 1/e

En un amigo invisible en el que cada persona saca un nombre de un sombrero, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es casi exactamente $\frac{1}{e}$ en cuanto el grupo tiene más de unas pocas personas.

En una clase de 25 alumnos, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es de aproximadamente $0{,}368$, así que hay que repetir el sorteo en un 63 % de los casos.

Q: ¿Por qué se llama a e la base natural?

A: Porque aparece por sí sola en la naturaleza y en las finanzas siempre que algo crece de forma continua y no a saltos. En cálculo, $e^x$ es la única función exponencial cuya pendiente en cada punto es igual a su propio valor, lo que hace que las fórmulas con base $e$ sean las más sencillas.

Q: ¿Quién descubrió el número e?

A: Jacob Bernoulli lo encontró hacia 1683 estudiando el interés compuesto, igual que en esta lección. Más tarde Leonhard Euler le dio el nombre $e$, demostró muchas de sus propiedades y calculó muchos de sus decimales; por eso se llama número de Euler.

Q: ¿Es e lo mismo que la constante de Euler?

A: No. El número de Euler $e \approx 2{,}71828$ es la base de la función exponencial natural. La constante de Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ es otro número, de la teoría de números. En este tema solo se usa $e$.

Q: ¿Cómo uso e en una calculadora?

A: La mayoría de las calculadoras científicas tienen una tecla $e^x$. La calculadora de esta lección también tiene $e$: escribe e^0.5 para $e^{0{,}5}$, que da aproximadamente $1{,}6487$. Sin tecla $e$, escribe 2.71828 en su lugar, por ejemplo 2.71828^0.5.