¿Quién descubrió el número e?

Jacob Bernoulli lo encontró hacia 1683 estudiando el interés compuesto, igual que en esta lección. Más tarde Leonhard Euler le dio el nombre $e$, demostró muchas de sus propiedades y calculó muchos de sus decimales; por eso se llama número de Euler.

¿Es e lo mismo que la constante de Euler?

No. El número de Euler $e \approx 2{,}71828$ es la base de la función exponencial natural. La constante de Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ es otro número, de la teoría de números. En este tema solo se usa $e$.

¿Cómo uso e en una calculadora?

La mayoría de las calculadoras científicas tienen una tecla $e^x$. La calculadora de esta lección también tiene $e$: escribe e^0.5 para $e^{0{,}5}$, que da aproximadamente $1{,}6487$. Sin tecla $e$, escribe 2.71828 en su lugar, por ejemplo 2.71828^0.5.

Recursos para profesores

La base natural e

Q: ¿Por qué se llama a e la base natural?

Porque aparece por sí sola en la naturaleza y en las finanzas siempre que algo crece de forma continua y no a saltos. En cálculo, $e^x$ es la única función exponencial cuya pendiente en cada punto es igual a su propio valor, lo que hace que las fórmulas con base $e$ sean las más sencillas.

Descubre de dónde viene el número e, por qué vale aproximadamente 2,71828 y cómo se comporta la función exponencial natural y = e^x.

Avanzado30 minLección

Ficha imprimible

Definición

La base natural

e

es un número especial, aproximadamente

2{,}71828

. Aparece cuando calculas la expresión

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

para valores de

n

cada vez más grandes:

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

Los valores siguen creciendo, pero nunca pasan de cierto límite. Ese límite es el número

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

Datos clave:

$e$ es irracional: sus decimales nunca terminan ni se repiten, así que $2{,}71828$ es solo una aproximación
$e$ está entre $2$ y $3$ , por lo que la gráfica de la función exponencial natural $y = e^x$ queda entre las gráficas de $y = 2^x$ y $y = 3^x$
Como toda función $y = b^x$ , pasa por $(0, 1)$ , porque $e^0 = 1$
La base $e$ se usa tanto que a $e^x$ se le suele llamar simplemente la función exponencial

Pruébalo ahora

¿Qué número es la mejor aproximación de

e

Ejemplos resueltos

Calcula $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ para $n = 1$ , $n = 2$ y $n = 12$ . ¿Qué observas?

Toma $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Toma $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Toma $n = 12$ (con la calculadora)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Compara con valores de $n$ mayores

$n = 365$ da $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ da $\approx 2{,}71828$ → Los valores crecen cada vez más despacio

Respuesta: Los resultados $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... siguen aumentando, pero se estabilizan cerca de $e \approx 2{,}71828$ y nunca lo superan.

Errores comunes

Pensar que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ crece sin límite, o que se reduce a $1$

Por qué está mal: Hay dos efectos que compiten: $1 + \frac{1}{n}$ se acerca a $1$ , pero el exponente $n$ se hace más grande. Ninguno de los dos gana del todo.

Correcto: Compruébalo con una tabla: $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . Los valores aumentan, pero se estabilizan en $e \approx 2{,}71828$ .

Tratar $e$ como una variable, igual que $x$

Por qué está mal: En álgebra las letras suelen representar incógnitas, así que algunos alumnos intentan despejar $e$ o sustituirla por otros números.

Correcto: $e$ es una constante fija, igual que $\pi$ . En $y = e^x$ la variable es $x$ ; $e \approx 2{,}71828$ nunca cambia.

Calcular $e^2$ como $2e \approx 5{,}437$

Por qué está mal: Un exponente indica una multiplicación repetida, no una multiplicación por el exponente.

Correcto: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

Escribir $e = 2{,}71828$ o $e = 2{,}72$ como si fuera exacto

Por qué está mal: $e$ es irracional, así que ningún decimal finito ni ninguna fracción es exactamente igual a $e$ .

Correcto: Escribe $e \approx 2{,}71828$ y redondea solo al final del cálculo, con la precisión que pida el problema.

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Calculadora de interés

Capital (1000,00 US$)

Tasa de interés (100%)

Período (1 año)

Capitalización

Fórmula

Interés compuesto:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 1)^1 = 2000,00 US$

Interés compuesto

Intereses ganados:1000,00 US$

Monto total:2000,00 US$

Mismo dinero, distinta capitalización

Capitalización	n	Monto total	Intereses ganados
Anual	1	2000,00 US$	1000,00 US$
Mensual	12	2613,04 US$	1613,04 US$
Diario	365	2714,57 US$	1714,57 US$
Continua	∞	2718,28 US$	1718,28 US$

Gráfica de la función

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Tabla de valores

x	-1	0	1	2
2^x	0,5	1	2	4
e^x	0,367879	1	2,71828	7,38906
3^x	0,333333	1	3	9

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Calculadora de expresiones

Prueba estos:

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Problemas de práctica

18 problemas

Problema 1 de 18

Fácil

¿Qué número es la mejor aproximación de $e$ ?

Por qué es importante

El número

e

aparece siempre que algo crece o disminuye en proporción a su tamaño actual:

Bancos: cuando los intereses se añaden cada vez con más frecuencia (cada mes, cada día, cada segundo), el resultado se acerca a un límite basado en $e$ . Esto se llama capitalización continua
Biología: las bacterias y los cultivos celulares que crecen sin pausas se modelan con $e^x$
Física y química: la desintegración radiactiva, el enfriamiento y la carga de un condensador usan potencias de $e$
Probabilidad: si muchas personas sacan nombres para un amigo invisible, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es de aproximadamente $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Cálculo: $e^x$ es la única función exponencial cuya tasa de cambio en cada punto es igual a su propio valor, lo que la convierte en la elección natural en ciencias

Por eso las calculadoras científicas tienen una tecla

e^x

, y por eso las lecciones siguientes (crecimiento continuo, modelos de población) usan la base

e

Aplicaciones del mundo real

Bancos y frecuencia de capitalización

Los bancos anuncian una tasa anual, pero pueden añadir los intereses cada año, cada mes o cada día. Cuanto más a menudo se añaden, más se acerca el resultado al límite continuo basado en $e$.

Ejemplo:

Al 12 % anual, 1000 dólares se convierten en 1120,00 dólares con capitalización anual y en unos 1127,50 dólares con capitalización continua ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Inténtalo tú mismo

Depositas 1000 dólares al 12 % anual, con capitalización mensual, durante un año.

¿Cuánto hay en la cuenta después de un año, redondeado al céntimo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Cultivos celulares en crecimiento

Las células de un cultivo de laboratorio se dividen en todo momento, no una vez al día, así que los biólogos describen su crecimiento con la base $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Ejemplo:

Un cultivo de 200 células modelado por $N = 200e^{t}$ ( $t$ en horas) tiene $200e^{1} \approx 544$ células después de 1 hora.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 200 células y se modela con $N = 200e^{t}$ , con $t$ en horas.

¿Cuántas células hay aproximadamente después de 2 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $200 \cdot e^2$ :

El amigo invisible y 1/e

En un amigo invisible en el que cada persona saca un nombre de un sombrero, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es casi exactamente $\frac{1}{e}$ en cuanto el grupo tiene más de unas pocas personas.

Ejemplo:

En una clase de 25 alumnos, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es de aproximadamente $0{,}368$ , así que hay que repetir el sorteo en un 63 % de los casos.

3Inténtalo tú mismo

Un grupo grande saca nombres para un amigo invisible. La probabilidad de que nadie saque su propio nombre es $\frac{1}{e}$ .

¿Cuál es la probabilidad, en porcentaje, de que al menos una persona saque su propio nombre?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $1 - \frac{1}{e}$ :

Puntos clave

1A medida que $n$ crece, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ se acerca cada vez más al número $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ es irracional: $2{,}71828$ es una aproximación, no el valor exacto
3Capitalizar con más frecuencia (cada año, cada mes, cada día) da más dinero, pero la cantidad se acerca a un límite: la capitalización continua
4La función exponencial natural $y = e^x$ pasa por $(0, 1)$ y tiene el eje x como asíntota horizontal
5Como $2 < e < 3$ , la gráfica de $y = e^x$ queda entre las gráficas de $y = 2^x$ y $y = 3^x$
6El crecimiento continuo usa $A = Pe^{rt}$ , que estudiarás en la lección Crecimiento y decrecimiento continuos

Preguntas frecuentes

Porque aparece por sí sola en la naturaleza y en las finanzas siempre que algo crece de forma continua y no a saltos. En cálculo,

e^x

es la única función exponencial cuya pendiente en cada punto es igual a su propio valor, lo que hace que las fórmulas con base

e

sean las más sencillas.

Glosario

Número e (de Euler): La constante irracional $e \approx 2{,}71828$ , el límite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cuando $n$ crece
Función exponencial natural: La función $f(x) = e^x$ , una función exponencial de base $e$
Número irracional: Un número que no se puede escribir como fracción; sus decimales nunca terminan ni se repiten (ejemplos: $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Frecuencia de capitalización: Cuántas veces al año se añaden intereses al saldo, se escribe $n$ (anual $n = 1$ , mensual $n = 12$ , diaria $n = 365$ )
Capitalización continua: El límite al añadir intereses cada vez con más frecuencia; la cantidad es $A = Pe^{rt}$

Tarjeta de fórmulas

Definición de e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Para $n$ muy grande, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ está muy cerca de $e$.

Función exponencial natural

f(x) = e^x

Pasa por $(0, 1)$, siempre es positiva, asíntota horizontal $y = 0$, queda entre $2^x$ y $3^x$.

Interés compuesto

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capital inicial, $r$ = tasa anual en forma decimal, $n$ = capitalizaciones por año, $t$ = años.

Capitalización continua

A = Pe^{rt}

El límite del interés compuesto cuando $n$ crece sin límite.

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Calculadora de interés

Interés compuesto

Mismo dinero, distinta capitalización

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