Una ciudad que crece

Una ciudad tiene $50000$ habitantes y crece un $2\%$ al año. Estima su población dentro de 5 años.

Identifica $P_0$, $r$ y $t$: $P_0 = 50000$, $r = 0{,}02$, $t = 5$ = Valores identificados

Halla el factor de crecimiento: $1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ = Factor de crecimiento $1{,}02$

Escribe el modelo: $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ = Modelo listo

Evalúa en $t = 5$: $P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ = $P(5) \approx 55204$

Answer: Dentro de 5 años la ciudad tendrá unos **55204** habitantes.

Bacterias con tiempo de duplicación

Una muestra contiene $300$ bacterias. Su número se duplica cada $30$ minutos. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 3 horas?

Escribe el modelo de duplicación: $P(t) = 300 \cdot 2^{t/30}$, con $t$ en minutos = Modelo de duplicación

Pasa el tiempo a minutos: $3$ horas $= 180$ minutos = $t = 180$

Cuenta las duplicaciones: $\frac{t}{d} = \frac{180}{30} = 6$ = 6 duplicaciones

Calcula: $P(180) = 300 \cdot 2^6 = 300 \cdot 64 = 19200$ = $19200$

Answer: Al cabo de 3 horas hay **19200** bacterias.

Estimar el tiempo de duplicación con la regla del 70

Un país de $8$ millones de habitantes crece un $3{,}5\%$ al año. ¿Cuánto tarda aproximadamente en llegar a $16$ millones? ¿Y a $32$ millones?

Aplica la regla del 70: $d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20$ años = Tiempo de duplicación de unos 20 años

Una duplicación: $8$ millones $\to 16$ millones en unos $20$ años = Unos 20 años

Dos duplicaciones: $16$ millones $\to 32$ millones en unos $20 + 20 = 40$ años = Unos 40 años

Comprueba con el modelo exacto: $1{,}035^{20} \approx 1{,}99$, muy cerca de $2$ = La estimación es buena

Answer: La población llega a unos **16 millones en 20 años** y a unos **32 millones en 40 años**. La regla del 70 es una estimación, y aquí el tiempo de duplicación exacto es de unos 20,15 años, así que la estimación falla por menos de un cuarto de año.

Construir un modelo a partir de dos recuentos

Una población de ciervos se contó en $1200$ en 2020 y en $1320$ en 2021. Suponiendo el mismo crecimiento porcentual anual, predice la población en 2025.

Halla el factor de crecimiento: $1 + r = \frac{P_1}{P_0} = \frac{1320}{1200} = 1{,}1$ = Factor de crecimiento $1{,}1$

Halla la tasa de crecimiento: $r = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%$ al año = $r = 10\%$

Escribe el modelo (2020 es $t = 0$): $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ = Modelo listo

Predice 2025 ($t = 5$): $P(5) = 1200 \cdot 1{,}1^5 = 1200 \cdot 1{,}61051 \approx 1933$ = Unos $1933$ ciervos

Answer: El modelo $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ predice unos **1933 ciervos** en 2025.

Previsión lineal frente a exponencial

Un pueblo tenía $20000$ habitantes en 2020 y $22000$ en 2022. Haz una previsión para 2030 con un modelo lineal y con un modelo exponencial.

Modelo lineal: mismo aumento cada año: $\frac{22000 - 20000}{2} = 1000$ habitantes al año = $L(t) = 20000 + 1000t$

Previsión lineal para 2030 ($t = 10$): $L(10) = 20000 + 1000 \cdot 10 = 30000$ = $30000$

Modelo exponencial: factor cada 2 años: $\frac{22000}{20000} = 1{,}1$ cada 2 años, así que $P(t) = 20000 \cdot 1{,}1^{t/2}$ = $\times 1{,}1$ cada 2 años

Previsión exponencial para 2030: $P(10) = 20000 \cdot 1{,}1^5 = 20000 \cdot 1{,}61051 \approx 32210$ = $32210$

Compara: $32210 - 30000 = 2210$ = La exponencial da $2210$ más

Answer: Previsión lineal: **30000**. Previsión exponencial: unos **32210**. Los dos modelos encajan con los dos recuentos, pero difieren en unas 2210 personas al cabo de solo 10 años.

Mistake: Usar el porcentaje tal cual en el factor de crecimiento: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Why: Una tasa del $2\%$ es $0{,}02$ en forma decimal. Escribir $1 + 2 = 3$ significaría que la ciudad se triplica cada año.

Correct: Convierte primero el porcentaje: $2\% = 0{,}02$, así que el factor de crecimiento es $1{,}02$ y $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$.

Mistake: Olvidar dividir entre el tiempo de duplicación: $300 \cdot 2^{180}$

Why: El exponente debe contar duplicaciones, no minutos. En 180 minutos solo hay $\frac{180}{30} = 6$ duplicaciones.

Correct: Usa $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$: $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$.

Mistake: Usar la tasa decimal en la regla del 70: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ años

Why: La regla del 70 está pensada para la tasa escrita como porcentaje. Con el decimal sale un resultado 100 veces demasiado grande.

Correct: Divide 70 entre el número del porcentaje: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ años, y recuerda que es una estimación.

Mistake: Dividir entre el recuento posterior al calcular la tasa: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Why: La tasa de crecimiento se mide respecto a la población de partida, no a la final.

Correct: Divide el recuento nuevo entre el antiguo: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$, así que $r = 10\%$.

Planificación urbana

Los urbanistas prevén cuántos habitantes tendrá una ciudad para construir a tiempo suficientes colegios, viviendas y transporte público.

Una ciudad de $250000$ habitantes que crece un $1\%$ al año tendría unos $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ habitantes dentro de 10 años.

Bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos usan tiempos de duplicación para predecir cuándo un cultivo será lo bastante grande para estudiarlo, o a qué velocidad puede extenderse una infección antes del tratamiento.

Algunas bacterias se duplican aproximadamente cada 20 minutos en condiciones ideales, es decir, 3 duplicaciones, o un factor $2^3 = 8$, por hora.

Recuperación de la fauna

Los equipos de conservación cuentan los animales cada año, construyen un modelo de crecimiento con los recuentos y comprueban si una especie protegida se recupera. También saben que una reserva solo puede alimentar a un número limitado de animales, su capacidad de carga, así que el crecimiento se frenará más adelante.

Si una manada pasa de $500$ a $540$ animales en un año, el factor de crecimiento es $\frac{540}{500} = 1{,}08$, así que la manada crece un $8\%$ al año mientras haya comida de sobra.

Q: ¿Por qué funciona la regla del 70?

A: El tiempo de duplicación exacto es $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, y para tasas pequeñas $\ln(1 + r)$ está muy cerca de $r$. Como $\ln 2 \approx 0{,}693$, el tiempo de duplicación es aproximadamente $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{porcentaje}}$, redondeado a 70. Verás los logaritmos en una lección posterior; por ahora, usa la regla como estimación rápida.

Q: ¿Qué precisión tiene la regla del 70?

A: Para tasas de hasta un $10\%$ aproximadamente, el error suele ser menor de un año. Con un $2\%$ da $35$ años y el valor exacto es de unos $35{,}0$ años. Con un $7\%$ da $10$ años y el valor exacto es de unos $10{,}2$ años. Para tasas grandes, el error crece.

Q: ¿Qué es la capacidad de carga?

A: La capacidad de carga es la mayor población que un entorno puede mantener con su comida, su agua y su espacio. Cuando una población se acerca a ella, el crecimiento se frena y la curva se aplana en forma de S. Esto se llama crecimiento logístico; en esta lección solo lo describimos, sin fórmula.

Q: ¿Debo usar un modelo lineal o uno exponencial?

A: Mira los datos. Si la población aumenta más o menos el mismo **número** cada año, usa un modelo lineal. Si aumenta más o menos el mismo **porcentaje** cada año (los cocientes $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ son casi iguales), usa un modelo exponencial.